高考数学 8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程配套课件 文 新人教A版 .ppt

第一节直线的倾斜角与斜率 直线的方程 完全与教材同步 主干知识精心提炼 素质和能力源于基础 基础知识是耕作 半亩方塘 的工具 视角从 考纲点击 中切入 思维从 考点梳理 中拓展 智慧从 即时应用 中升华 科学的训练式梳理峰回路转 别有洞天 去尽情畅游吧 它会带你走进不一样的精彩 三年4考高考指数 1 在平面直角坐标系中 结合具体图形 确定直线位置的几何要素 2 理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过两点的直线斜率的计算公式 3 能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直 4 掌握直线方程的几种形式 点斜式 两点式及一般式 了解斜截式与一次函数的关系 1 直线的斜率 方程以及两直线的位置关系是高考的重点 2 常和圆锥曲线综合命题 重点考查函数与方程思想和数形结合思想 3 多以选择题和填空题的形式出现 属于中低档题目 1 直线的倾斜角与斜率 1 直线的倾斜角 一个前提 直线l与x轴相交 一个基准 取x轴作为基准 两个方向 x轴 与直线l 当直线l与x轴平行或重合时 规定 它的倾斜角为 正方向 向上方向 0 2 直线的斜率 定义 若直线的倾斜角 不是90 则斜率k 计算公式 若由a x1 y1 b x2 y2 确定的直线不垂直于x轴 则k tan 即时应用 1 过点m 2 m n m 4 的直线的斜率为1 则m的值为 2 直线x y 1 0的倾斜角为 解析 1 由斜率公式得 1 解得m 1 2 x y 1 0的斜率k 即倾斜角 的正切值tan 又 0 答案 1 1 2 2 两条直线的斜率与它们平行 垂直的关系 直线l1 l2不重合 斜率分别为k1 k2且都存在 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 即时应用 1 已知直线l1过点a 1 1 和b 2 1 直线l2过点c 1 0 和d 0 a 若l1 l2 则a 2 直线l的倾斜角为30 若直线l1 l 则直线l1的斜率k1 若直线l2 l 则直线l2的斜率k2 解析 1 l1与l2的斜率分别为k1 k2 由l1 l2可知 a 2 2 由直线斜率的定义知 直线l的斜率k tan30 l1 l k1 k l l2 k2 k 1 k2 答案 1 2 2 3 直线方程的几种形式 即时应用 1 思考 过a x1 y1 b x2 y2 两点的直线方程能否写成 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 提示 能写成 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 当x1 x2且y1 y2时 直线方程为 可化为上式 当x1 x2 y1 y2时 直线方程为 y y1也适合上式 当y1 y2 x1 x2时 直线方程为 x x1也适合上式 综上可知 过a x1 y1 b x2 y2 两点的直线方程能写成 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 2 已知直线l经过点p 2 5 且斜率为 则直线l的方程为 解析 由直线的点斜式方程得 直线l的方程为 y 5 x 2 即3x 4y 14 0 答案 3x 4y 14 0 3 经过两点m 1 2 n 3 4 的直线方程为 解析 经过两点m 1 2 n 3 4 的直线方程为 即3x 2y 1 0 答案 3x 2y 1 0 例题归类全面精准 核心知识深入解读 本栏目科学归纳考向 紧扣高考重点 方法点睛 推门只见窗前月 突出解题方法 要领 答题技巧的指导与归纳 经典例题 投石冲破水中天 例题按层级分梯度进行设计 层层推进 流畅自然 配以形异神似的变式题 帮你举一反三 触类旁通 题型与方法贯通 才能高考无忧 直线的倾斜角与斜率 方法点睛 1 斜率的求法 1 定义法 若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数 一般根据k tan 求斜率 2 公式法 若已知直线上两点a x1 y1 b x2 y2 一般根据斜率公式求斜率 2 直线的斜率k与倾斜角 之间的关系 0 k 0 不存在 k 0 提醒 对于直线的倾斜角 斜率k tan 90 若知其一的范围可求另一个的范围 例1 1 直线x a2 1 y 1 0的倾斜角的取值范围是 a 0 b c 0 d 2 已知点a 2 3 b 3 2 直线l过点p 1 1 且与线段ab有交点 则直线l的斜率k的取值范围为 3 已知两点a m n b n m m n 求直线ab的倾斜角 解题指南 1 直线倾斜角与直线的斜率有关 而已知直线的方程 因此可先求直线的斜率 由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围 2 直线l的斜率的取值范围 可由直线pa pb的斜率确定 3 先由公式法求出斜率 再求倾斜角 规范解答 1 选b 因为直线x a2 1 y 1 0的斜率k且 1 0 所以直线的倾斜角 的取值范围是 2 因为a 2 3 b 3 2 p 1 1 所以kpa 4 kpb 如图所示 因此 直线l斜率k的取值范围为k 4或k 答案 k 4或k 3 因为a m n b n m m n 所以直线ab的斜率k 1 所以直线的倾斜角为 互动探究 本例 1 中的直线方程改为 a2 1 x y 1 0 结果如何 解析 由直线方程 a2 1 x y 1 0可得该直线的斜率k a2 1 1 所以直线的倾斜角 的取值范围为0 或 反思 感悟 1 求解时直线的斜率与倾斜角之间的关系是重要的解题线索 如本例第 3 题由直线的方程 可求出直线的斜率 由斜率的取值范围可求出直线倾斜角的取值范围 2 已知倾斜角的取值范围 求斜率的取值范围 实质上是求k tan 的值域问题 已知斜率k的取值范围求倾斜角的取值范围 实质上是在 0 上解关于正切函数的三角不等式问题 由于函数k tan 在 0 上不单调 故一般借助函数图象来解决此类问题 变式备选 已知两点a 1 2 b m 3 且 1 m 1 求直线ab的倾斜角 的取值范围 解析 当直线ab的斜率不存在时 m 1 此时倾斜角 为 当直线ab的斜率存在时 m 1 由题意知直线ab的斜率 又 1 m 1 m 1 m 1 0或0 m 1 或 直线ab的倾斜角 的取值范围为 或 综上所述 直线ab的倾斜角 的取值范围为 直线平行 垂直关系的判断及应用 方法点睛 两直线平行 垂直的判断方法 1 已知两直线的斜率存在 两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等 两直线垂直 两直线的斜率之积等于 1 2 已知两直线的一般方程可利用直线方程求出斜率 转化为第一种方法 或利用以下方法求解 a1a2 b1b2 0 例2 2012 宁波模拟 已知a 0 3 b 1 0 c 3 0 求d点的坐标 使四边形abcd为直角梯形 a b c d按逆时针方向排列 解题指南 根据已知条件可知ab bc不是直角梯形的直角边 故可分两种情况讨论 1 若以ad bc为底边 dc为直角边 可得d点的坐标 2 若以ab dc为底边 ad为直角边 又可得d点的坐标 规范解答 设所求点d的坐标为 x y 如图所示 由于kab 3 kbc 0 kab kbc 0 1 即ab与bc不垂直 故ab bc都不可作为直角梯形的直角边 1 若cd是直角梯形的直角边 则bc cd ad cd kbc 0 cd的斜率不存在 从而有x 3 又kad kbc 0 即y 3 此时ab与cd不平行 故所求点d的坐标为 3 3 2 若ad是直角梯形的直角边 则ad ab ad cd kad kcd 由于ad ab 3 1 又ab cd 3 解上述两式可得此时ad与bc不平行 故所求点d的坐标为 综上可知 使abcd为直角梯形的点d的坐标为 3 3 或 反思 感悟 1 解决两条直线平行或垂直问题 要充分利用两条直线平行和垂直的充要条件 特别要注意在直线斜率不存在的情况下 可考虑数形结合的思想 2 对于本例来说 由于直角顶点不能确定 要注意利用分类讨论的思想 变式训练 已知直线l1 mx 4y 2 0与直线l2 2x 5y n 0垂直且垂足为 1 p 则m n p 解析 由已知得 1 m 10 l1的方程为5x 2y 1 0 5 1 2 p 1 0 p 2 垂足为 1 2 2 1 5 2 n 0 n 12 m n p 10 12 2 20 答案 20 变式备选 若直线l过点 1 2 且与直线2x 3y 4 0垂直 则直线l的方程为 解析 方法一 直线2x 3y 4 0的斜率为 k 设所求直线的斜率为k 所求直线与直线2x 3y 4 0垂直 k k 1 k 所求直线方程为y 2 x 1 即 3x 2y 1 0 方法二 由已知 设所求直线l的方程为 3x 2y c 0 又l过点 1 2 3 1 2 2 c 0 得 c 1 所以所求直线方程为3x 2y 1 0 答案 3x 2y 1 0 直线方程的综合应用 方法点睛 直线方程的综合问题的类型及解法 1 与函数相结合的问题 解决这类问题 一般是利用直线方程中的x y的关系 将问题转化为关于x 或y 的某函数 借助函数的性质解决 2 与方程 不等式相结合的问题 一般是利用方程 不等式的有关知识来解决 例3 已知直线l过点p 3 2 且与x轴 y轴的正半轴分别交于a b两点 如图所示 求 abo的面积的最小值及此时直线l的方程 解题指南 先设出ab所在的直线方程 再求a b两点的坐标 写出表示 abo的面积的表达式 最后利用相关的数学知识求出最值 规范解答 方法一 由题可设a a 0 b 0 b a 0 b 0 则直线l的方程为 1 l过点p 3 2 1 b 且a 3 b 2 从而s abo 故有s abo 当且仅当a 3 即a 6时 s abo min 12 此时b 4 此时直线l的方程为 1 即2x 3y 12 0 方法二 由题可设直线方程为 1 a 0 b 0 代入p 3 2 得 得ab 24 从而s abo ab 12 当且仅当时 等号成立 s abo取最小值12 此时k 此时直线l的方程为2x 3y 12 0 方法三 依题意知 直线l的斜率存在 设直线l的方程为y 2 k x 3 k 0 则有a 3 0 b 0 2 3k s abo 12 12 12 当且仅当 9k 即k 时 等号成立 s abo取最小值12 此时 直线l的方程为2x 3y 12 0 方法四 如图所示 过p分别作x轴 y轴的垂线pm pn 垂足分别为m n 设 pam bpn 显然 0 则s abo s pbn s四边形npmo s pma 当且仅当tan 即tan 时 s abo取最小值12 此时直线l的斜率为 其方程为2x 3y 12 0 反思 感悟 1 此题是直线方程的综合应用 解题时 可灵活运用直线方程的各种形式 以便简化运算 2 以直线为载体的面积 距离的最值问题 一般要结合函数 不等式的知识或利用对称性解决 变式训练 2012 温州模拟 过点p 2 1 作直线l分别交x y轴正半轴于a b两点 求 1 pa pb 取得最小值时直线l的方程 2 oa ob 取得最小值时直线l的方程 解析 1 显然直线l的斜率不存在时不符合题意 设直线l的方程为 y 1 k x 2 k 0 则点a的坐标是 2 0 点b的坐标为 0 1 2k 所以 pa pb 4 当且仅当k 1时取等号 所求直线l的方程为y 1 x 2 即x y 3 0 2 设直线为 1 a 0 b 0 因为点p l 所以 1 故ab 2b a 2 ab 8 当且仅当a 2b 即a 4 b 2时取等号 所求的直线为 x 2y 4 0 把握高考命题动向 体现区域化考试特点 本栏目以最新的高考试题为研究素材 解析经典考题 洞悉命题趋势 展示现场评卷规则 对例题不仅仅是详解评析 更是从命题层面评价考题 从备考角度提示规律方法 拓展思维 警示误区 考题体验 让你零距离体验高考 亲历高考氛围 提升应战能力 为你顺利穿越数学高考时空增添活力 运筹帷幄 决胜千里 创新探究 与直线方程有关的创新命题 典例 2011 安徽高考 在平面直角坐标系中 如果x与y都是整数 就称点 x y 为整点 下列命题中正确的是 写出所有正确命题的编号 存在这样的直线 既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果k与b都是无理数 则直线y kx b不经过任何整点 直线l经过无穷多个整点 当且仅当l经过两个不同的整点 直线y kx b经过无穷多个整点的充分必要条件是 k与b都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 解题指南 存在性问题 只需举出一种成立情况即可 恒成立问题应根据推理论证后才能成立 注意数形结合 特例的取得与一般性的检验应根据命题的特点选择合适的情形 规范解答 正确 例如y x 当x是整数时 y是无理数 x y 不是整点 不正确 如y x 过整点 1 0 设y kx k 0 是过原点的直线 若此直线过两个整点 x1 y1 x2 y2 则有y1 kx1 y2 kx2 两式相减得y1 y2 k x1 x2 则点 x1 x2 y1 y2 也在直线y kx上 通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点 通过上下平移y kx知对于y kx b也成立 所以 正确 不正确 如y 当x为整数时 y不是整数 此直线不经过无穷多个整点 正确 如直线y x 只经过整点 0 0 答案 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们可以得到以下创新点拨和备考建