高考数学一轮 知识点各个击破 第五章 数列课件 文 新人教A版.ppt

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法第二节等差数列及其前n项和第三节等比数列及其前n项和第四节数列求和第五节数列的综合应用 目录 第五章数列 知识能否忆起 1 数列的定义 分类与通项公式 1 数列的定义 数列 按照排列的一列数 数列的项 数列中的 一定顺序 每一个数 2 数列的分类 有限 无限 3 数列的通项公式 如果数列 an 的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 2 数列的递推公式如果已知数列 an 的首项 或前几项 且与它的 n 2 或前几项 间的关系可用一个公式来表示 那么这个公式叫数列的递推公式 任一项an 序号n 前一项an 1 答案 b 小题能否全取 2 设数列 an 的前n项和sn n2 则a8的值为 a 15b 16c 49d 64解析 a8 s8 s7 64 49 15 答案 a 答案 a a 递增数列b 递减数列c 常数列d 摆动数列 解析 a4 a3 2 33 2 3 5 54 答案 54 1 对数列概念的理解 1 数列是按一定 顺序 排列的一列数 一个数列不仅与构成它的 数 有关 而且还与这些 数 的排列顺序有关 这有别于集合中元素的无序性 因此 若组成两个数列的数相同而排列次序不同 那么它们就是不同的两个数列 2 数列中的数可以重复出现 而集合中的元素不能重复出现 这也是数列与数集的区别 2 数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集n 或它的有限子集 1 2 3 n 的特殊函数 数列的通项公式也就是相应的函数解析式 即f n an n n 答案 c 1 根据数列的前几项求它的一个通项公式 要注意观察每一项的特点 观察出项与n之间的关系 规律 可使用添项 通分 分割等办法 转化为一些常见数列的通项公式来求 对于正负符号变化 可用 1 n或 1 n 1来调整 2 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法 它蕴含着 从特殊到一般 的思想 由an与sn的关系求通项an 1 sn 2n2 3n 2 sn 3n 1 已知数列 an 的前n项和sn 求数列的通项公式 其求解过程分为三步 1 先利用a1 s1求出a1 2 用n 1替换sn中的n得到一个新的关系 利用an sn sn 1 n 2 便可求出当n 2时an的表达式 3 对n 1时的结果进行检验 看是否符合n 2时an的表达式 如果符合 则可以把数列的通项公式合写 如果不符合 则应该分n 1与n 2两段来写 答案 d 例3 已知数列 an 的通项公式为an n2 21n 20 1 n为何值时 an有最小值 并求出最小值 2 n为何值时 该数列的前n项和最小 数列的性质 1 数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系 构造相应的函数an f n 利用求解函数最值的方法求解 但要注意自变量的取值 2 前n项和最值的求法 1 先求出数列的前n项和sn 根据sn的表达式求解最值 2 根据数列的通项公式 若am 0 且am 10 则sm最小 这样便可直接利用各项的符号确定最值 答案 c 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法 它们都可以确定数列中的任意一项 只是由递推公式确定数列中的项时 不如通项公式直接 下面介绍由递推公式求通项公式的几种方法 1 累加法 典例1 2011 四川高考 数列 an 的首项为3 bn 为等差数列且bn an 1 an n n 若b3 2 b10 12 则a8 a 0b 3c 8d 11 解析 由已知得bn 2n 8 an 1 an 2n 8 所以a2 a1 6 a3 a2 4 a8 a7 6 由累加法得a8 a1 6 4 2 0 2 4 6 0 所以a8 a1 3 答案 b 1 求a2 a3 2 求 an 的通项公式 2 累乘法 3 构造新数列 典例3 已知数列 an 满足a1 1 an 1 3an 2 则an 答案 2 3n 1 1 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 c 答案 b 答案 c 知识能否忆起 第2项 差 an 1 an d 一 等差数列的有关概念 等差中项 a1 n 1 d 二 等差数列的有关公式 三 等差数列的性质1 若m n p q n 且m n p q an 为等差数列 则am an ap aq 2 在等差数列 an 中 ak a2k a3k a4k 仍为等差数列 公差为kd 3 若 an 为等差数列 则sn s2n sn s3n s2n 仍为等差数列 公差为n2d 4 等差数列的增减性 d 0时为递增数列 且当a10时前n项和sn有最大值 小题能否全取 1 2013 福建高考 等差数列 an 中 a1 a5 10 a4 7 则数列 an 的公差为 答案 b 答案 d 答案 b a 58b 88c 143d 176 答案 2n 1 1 与前n项和有关的三类问题 1 知三求二 已知a1 d n an sn中的任意三个 即可求得其余两个 这体现了方程思想 3 利用二次函数的图象确定sn的最值时 最高点的纵坐标不一定是最大值 最低点的纵坐标不一定是最小值 2 设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题 要善于设元 若奇数个数成等差数列且和为定值时 可设为 a 2d a d a a d a 2d 若偶数个数成等差数列且和为定值时 可设为 a 3d a d a d a 3d 其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元 例1 在数列 an 中 a1 3 an 2an 1 2n 3 n 2 且n n 1 求a2 a3的值 等差数列的判断与证明 自主解答 1 a1 3 an 2an 1 2n 3 n 2 且n n a2 2a1 22 3 1 a3 2a2 23 3 13 1 证明 an 为等差数列的方法 1 用定义证明 an an 1 d d为常数 n 2 an 为等差数列 2 用等差中项证明 2an 1 an an 2 an 为等差数列 3 通项法 an为n的一次函数 an 为等差数列 2 用定义证明等差数列时 常采用的两个式子an 1 an d和an an 1 d 但它们的意义不同 后者必须加上 n 2 否则n 1时 a0无定义 1 已知数列 an 的前n项和sn是n的二次函数 且a1 2 a2 2 s3 6 1 求sn 2 证明 数列 an 是等差数列 解 1 设sn an2 bn c a 0 例2 2012 重庆高考 已知 an 为等差数列 且a1 a3 8 a2 a4 12 1 求 an 的通项公式 2 记 an 的前n项和为sn 若a1 ak sk 2成等比数列 求正整数k的值 等差数列的基本运算 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用 而a1和d是等差数列的两个基本量 用它们表示已知和未知是常用方法 答案 1 44 2 6 答案 1 b 2 a 1 等差数列的性质是等差数列的定义 通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形 熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效 方便 快捷地解决许多等差数列问题 2 应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系 a 6b 7c 8d 9 2 2013 海淀期末 若数列 an 满足 a1 19 an 1 an 3 n n 则数列 an 的前n项和数值最大时 n的值为 题型技法点拨 快得分 系列之 六 特值法解等差数列问题 答案 n 2 特殊值法在解一些选择题和填空题中经常用到 就是通过取一些特殊值 特殊点 特殊函数 特殊数列 特殊图形等来求解或否定问题的目的 用特殊值法解题时要注意 所选取的特例一定要简单 且符合题设条件 答案 c 解析 法一 a2 a1 1 a1 a1 4 a1 2 a9 a8 1 a8 a1 2a4 a1 4a2 a1 18 法二 a2 a1 1 a1 a1 4 a1 2 令p n q 1 所以an 1 an a1 即an 1 an 2 an 是等差数列 且首项为2 公差为2 故a9 2 9 1 2 18 答案 b 法二 令n 1 只有b项符合 教师备选题 给有能力的学生加餐 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 2 已知等差数列 an 的前n项和为sn 且满足 a2 a4 14 s7 70 1 求数列 an 的通项公式 所以an 3n 2 2 在 1 的条件下是否存在常数 使 cn 1 cn 是等差数列 如果存在 求出满足条件的 如果不存在 请说明理由 知识能否忆起 2 同一个常数 公比 1 等比数列的有关概念 1 定义 g a1qn 1 2 等比数列的有关公式 1 通项公式 an 2 等比中项 3 等比数列 an 的常用性质 1 在等比数列 an 中 若m n p q 2r m n p q r n 则am an ap aq a 特别地 a1an a2an 1 a3an 2 2 在公比为q的等比数列 an 中 数列am am k am 2k am 3k 仍是等比数列 公比为 数列sm s2m sm s3m s2m 仍是等比数列 此时q 1 an amqn m qk 小题能否全取 1 教材习题改编 等比数列 an 中 a4 4 则a2 a6等于 答案 c 答案 c 答案 a a 64b 81c 128d 243 1 等比数列的特征 1 从等比数列的定义看 等比数列的任意项都是非零的 公比q也是非零常数 2 由an 1 qan q 0并不能立即断言 an 为等比数列 还要验证a1 0 2 等比数列的前n项和sn 1 等比数列的前n项和sn是用错位相减法求得的 注意这种思想方法在数列求和中的运用 2 在运用等比数列的前n项和公式时 必须注意对q 1与q 1分类讨论 防止因忽略q 1这一特殊情形导致解题失误 例1 已知数列 an 的前n项和为sn 且an sn n 1 设cn an 1 求证 cn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 等比数列的判定与证明 等比数列的判定方法 a 一定是等比数列b 一定是等差数列c 既是等差数列又是等比数列d 既不是等差数列又不是等比数列 答案 a 例2 2011 全国高考 设等比数列 an 的前n项和为sn 已知a2 6 6a1 a3 30 求an和sn 等比数列的基本运算 1 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 可迎刃而解 2 在使用等比数列的前n项和公式时 应根据公比q的情况进行分类讨论 切不可忽视q的取值而盲目用求和公式 2 2013 山西适应性训练 已知数列 an 是公差不为零的等差数列 a1 2 且a2 a4 a8成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 求数列 3an 的前n项和 等比数列的性质 例3 1 2012 威海模拟 在由正数组成的等比数列 an 中 若a3a4a5 3 则sin log3a1 log3a2 log3a7 的值为 2 设等比数列 an 的前n项和为sn 若s6 s3 1 2 则s9 s3等于 a 1 2b 2 3c 3 4d 1 3 答案 1 b 2 c 等比数列与等差数列在定义上只有 一字之差 它们的通项公式和性质有许多相似之处 其中等差数列中的 和 倍数 可以与等比数列中的 积 幂 相类比 关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握 同时也有利于类比思想的推广 对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算 若能关注通项公式an f n 的下标n的大小关系 可简化题目的运算 3 1 2012 新课标全国卷 已知 an 为等比数列 a4 a7 2 a5a6 8 则a1 a10 a 7b 5c 5d 7 答案 1 d 2 c 典例 设等比数列 an 的公比为q 前n项和sn 0 n 1 2 3 则q的取值范围为 答案 1 0 0 教师备选题 给有能力的学生加餐 1 2012 大纲全国卷 已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 sn 2an 1 则sn 答案 b 2 等比数列 an 的前n项和为sn 已知s1 s3 s2成等差数列 1 求 an 的公比q 2 若a1 a3 3 求sn 3 已知等差数列 an 的首项a1 1 公差d 0 且第2项 第5项 第14项分别是等比数列 bn 的第2项 第3项 第4项 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 知识能否忆起 一 公式法1 如果一个数列是等差数列或等比数列 则求和时直接利用等差 等比数列的前n项和公式 注意等比数列公比q的取值情况要分q 1或q 1 2 一些常见数列的前n项和公式 1 1 2 3 4 n 2 1 3 5 7 2n 1 3 2 4 6 8 2n n2 n2 n 二 非等差 等比数列求和的常用方法1 倒序相加法如果一个数列 an 首末两端等 距离 的两项的和相等或等于同一常数 那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法 等差数列的前n项和即是用此法推导的 2 分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成 则求和时可用分组转化法 分别求和而后相加减 3 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 那么这个数列的前n项和即可用此法来求 等比数列的前n项和就是用此法推导的 4 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差 在求和时中间的一些项可以相互抵消 从而求得其和 小题能否全取 1 2012 沈阳六校联考 设数列 1 n 的前n项和为sn 则对任意正整数n sn 答案 d 答案 c a 120b 70c 75d 100 3 数列a1 2 ak 2k a10 20共有十项 且其和为240 则a1 ak a10的值为 a 31b 120c 130d 185 答案 c 4 若数列 an 的通项公式为an 2n 2n 1 则数列 an 的前n项和为 答案 2n 1 n2 2 数列求和的方法 1 一般的数列求和 应从通项入手 若无通项 先求通项 然后通过对通项变形 转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式 从而选择合适的方法求和 2 解决非等差 等比数列的求和 主要有两种思路 转化的思想 即将一般数列设法转化为等差或等比数列 这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成 不能转化为等差或等比数列的数列 往往通过裂项相消法 错位相减法 倒序相加法等来求和 例1 2011 山东高考 等比数列 an 中 a1 a2 a3分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且a1 a2 a3中的任何两个数不在下表的同一列 分组转化法求和 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 bn an 1 nlnan 求数列 bn 的前2n项和s2n 自主解答 1 当a1 3时 不合题意 当a1 2时 当且仅当a2 6 a3 18时 符合题意 当a1 10时 不合题意 因此a1 2 a2 6 a3 18 所以公比q 3 故an 2 3n 1 分组转化法求和的常见类型 1 若an bn cn 且 bn cn 为等差或等比数列 可采用分组求和法求 an 的前n项和 1 已知数列 xn 的首项x1 3 通项xn 2np nq n n p q为常数 且x1 x4 x5成等差数列 求 1 p q的值 2 数列 xn 前n项和sn的公式 解 1 由x1 3 得2p q 3 又因为x4 24p 4q x5 25p 5q 且x1 x5 2x4 得3 25p 5q 25p 8q 解得p 1 q 1 例2 2012 江西高考 已知数列 an 的前n项和sn kcn k 其中c k为常数 且a2 4 a6 8a3 1 求an 2 求数列 nan 的前n项和tn 错位相减法求和 用错位相减法求和应注意 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列公比为负数的情形 2 在写出 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 3 在应用错位相减法求和时 若等比数列的公比为参数 应分公比等于1和不等于1两种情况求解 2 2012 济南模拟 已知等比数列 an 的前n项和为sn 且满足sn 3n k 1 求k的值及数列 an 的通项公式 解 1 当n 2时 由an sn sn 1 3n k 3n 1 k 2 3n 1 得等比数列 an 的公比q 3 首项为2 a1 s1 3 k 2 k 1 数列 an 的通项公式为an 2 3n 1 裂项相消法求和 例3 已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 sn nan n n 1 n n 1 求数列 an 的通项公式 自主解答 1 sn nan n n 1 当n 2时 sn 1 n 1 an 1 n 1 n 2 an sn sn 1 nan n n 1 n 1 an 1 n 1 n 2 即an an 1 2 数列 an 是首项a1 1 公差d 2的等差数列 故an 1 n 1 2 2n 1 n n 利用裂项相消法求和应注意 1 抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前面剩两项 后面也剩两项 3 2012 江南十校 联考 在等比数列 an 中 a1 0 n n 且a3 a2 8 又a1 a5的等比中项为16 1 求数列 an 的通项公式 解 1 设数列 an 的公比为q 由题意可得a3 16 a3 a2 8 则a2 8 q 2 an 2n 1 数列求和是高考的重点 题型以解答题为主 主要考查等差 等比数列的求和公式 错位相减法及裂项相消求和 数列求和常与函数 方程 不等式联系在一起 考查内容较为全面 在考查基本运算 基本能力的基础上又注重考查学生分析问题 解决问题的能力 大题规范解答 得全分 系列之 五 利用错位相减法解决数列求和的答题模板 课件演示更丰富 见配套光盘 超链接 1 确定常数k 求an 教你快速规范审题 1 审条件 挖解题信息 2 审结论 明解题方向 3 建联系 找解题突破口 1 审条件 挖解题信息 2 审结论 明解题方向 3 建联系 找解题突破口 教你准确规范解题 常见失分探因 错位相减时 易漏项或求错项数 利用an sn sn 1时 易忽视条件n 2 即不验证a1 是否适合an 教你一个万能模板 利用错位相减法求数列的前n项和 一般可用以下几步解答 将数列 cn 写成两个数列的积的形式cn anbn 其中 an 为等差数列 bn 为等比数列 写出数列 cn 的前n项和sn a1b1 a2b2 anbn 第三步 sn a1b1 a2b2 anbn的两边同乘以公比q 得qsn qa1b1 qa2b2 qanbn 两式错位相减得 q 1 sn 等式两边同时除以q 1 得sn 反思回顾 查看关键点 易错点及解题规范 如本题错位相减时 是否有漏项 教师备选题 给有能力的学生加餐 1 已知 an 是公差不为零的等差数列 a1 1 且a1 a3 a9成等比数列 1 求数列 an 的通项 2 求数列 2an 的前n项和sn 1 求 an 的通项公式和sn 3 已知二次函数f x x2 5x 10 当x n n 1 n n 时 把f x 在此区间内的整数值的个数表示为an 1 求a1和a2的值 2 求n 3时an的表达式 2 当n 3时 f x 是增函数 故an f n 1 f n 2n 4 知识能否忆起 1 数列在实际生活中有着广泛的应用 其解题的基本步骤 可用图表示如下 2 数列应用题常见模型 1 等差模型 如果增加 或减少 的量是一个固定量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 2 等比模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 该模型是等比模型 这个固定的数就是公比 3 递推数列模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定 随项的变化而变化时 应考虑是an与an 1的递推关系 还是前n项和sn与sn 1之间的递推关系 小题能否全取 1 某学校高一 高二 高三共计2460名学生 三个年级的学生人数刚好成等差数列 则该校高二年级的人数是 a 800b 820c 840d 860 答案 b 2 教材习题改编 有一种细菌和一种病毒 每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个 现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒 假设病毒不繁殖 问细菌将病毒全部杀死至少需要 a 6秒钟b 7秒钟c 8秒钟d 9秒钟 答案 b 3 数列 an 是各项均为正数的等比数列 bn 是等差数列 且a6 b7 则有 a a3 a9 b4 b10b a3 a9 b4 b10c a3 a9 b4 b10d a3 a9与b4 b10的大小不确定 答案 b 答案 9 5 设曲线y xn 1 n n 在点 1 1 处的切线与x轴的交点的横坐标为xn xn 令an lgxn 则a1 a2 a99的值为 1 对等差 等比数列的概念 性质要有深刻的理解 有些数列题目条件已指明是等差 或等比 数列 有的数列并没有指明 但可以通过分析构造 转化为等差数列或等比数列 然后应用等差 等比数列的相关知识解决问题 2 数列是一种特殊的函数 故数列有着许多函数的性质 等差数列和等比数列是两种最基本 最常见的数列 它们是研究数列性质的基础 与函数 方程 不等式 三角等内容有着广泛的联系 在实际生活中也有着广泛的应用 随着高考对能力要求的进一步提高 这一部分内容也将受到越来越多的关注 例1 在等比数列 an n n 中 a1 1 公比q 0 设bn log2an 且b1 b3 b5 6 b1b3b5 0 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求 bn 的前n项和sn及 an 的通项an 等差数列与等比数列的综合问题 试比较 2 求出的sn与an的大小 解决等差数列与等比数列的综合问题 关键是理清两个数列的关系 如果同一数列中部分项成等差数列 部分项成等比数列 要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究 如果两个数列通过运算综合在一起 要从分析运算入手 把两个数列分割开 弄清两个数列各自的特征 再进行求解 1 2012 河南调研 已知 an 是一个公差大于0的等差数列 且满足a3a6 55 a2 a7 16 1 求数列 an 的通项公式 解 1 设等差数列 an 的公差为d 则依题意知d 0 由a2 a7 16 得2a1 7d 16 由a3a6 55 得 a1 2d a1 5d 55 由 得2a1 16 7d 将其代入 得 16 3d 16 3d 220 即256 9d2 220 d2 4 又d 0 d 2 代入 得a1 1 an 1 n 1 2 2n 1 例2 2011 湖南高考改编 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备m m的价值在使用过程中逐年减少 从第2年到第6年 每年初m的价值比上年初减少10万元 从第7年开始 每年初m的价值为上年初的75 则第n年初m的价值an 等差数列与等比数列的实际应用 1 数列实际应用题的解题策略解等差 等比数列应用题时 首先要认真审题 深刻理解问题的实际背景 理清蕴含在语言中的数学关系 把应用问题抽象为数学中的等差 等比数列问题 然后求解 2 处理分期付款问题的注意事项 1 准确计算出在贷款全部付清时 各期所付款额及利息 注 最后一次付款没有利息 2 明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和 只有掌握了这一点 才可以顺利建立等量关系 1 设n年内 本年度为第一年 总投入为an万元 旅游业总收入为bn万元 写出表达式 2 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入 数列与函数 不等式的综合应用 1 求数列 xn 的通项公式 2 设 xn 的前n项和为sn 求sinsn 数列与函数的综合问题主要有以下两类 1 已知函数条件 解决数列问题 此类问题一般利用函数的性质 图象研究数列问题 2 已知数列条件 解决函数问题 解决此类问题一般要充分利用数列的范围 公式 求和方法对式子化简变形 另外 解题时要注意数列与函数的内在联系 灵活运用函数的思想方法求解 在问题的求解过程中往往会遇到递推数列 因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决 3 2012 温州测试 设等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 2 t s5 s2 24 3t t 0 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn aqn n 若b1 a1 b5 a5 试比较a3与b3的大小 解 1 设等差数列 an 的公差为d 则s5 s2 3a1 9d 24 3t 又a1 2 t 所以d 2 故an 2n t t 0 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题 此类题目的条件或结论不完备 要求考生自己去探索 结合已知条件 进行观察 分析 比较和概括 它对考生的数学思想 数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求 这类问题不仅考查考生的探索能力 而且给考生提供了创新思维的空间 所以备受高考的青睐 是高考重点考查的内容 探索性问题一般可以分为 条件探索性问题 规律探索性问题 结论探索性