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椭圆的参数方程 例1 如下图 以原点为圆心 分别以a b a b 0 为半径作两个圆 点B是大圆半径OA与小圆的交点 过点A作AN ox 垂足为N 过点B作BM AN 垂足为M 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程 分析 点M的横坐标与点A的横坐标相同 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同 而A B的坐标可以通过引进参数建立联系 设 XOA 例1 如下图 以原点为圆心 分别以a b a b 0 为半径作两个圆 点B是大圆半径OA与小圆的交点 过点A作AN ox 垂足为N 过点B作BM AN 垂足为M 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程 解 设 XOA M x y 则 A acos asin B bcos bsin 由已知 即为点M的轨迹参数方程 消去参数得 即为点M的轨迹普通方程 2 在椭圆的参数方程中 常数a b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长 a b 知识归纳 椭圆的标准方程 椭圆的参数方程中参数 的几何意义 圆的标准方程 圆的参数方程 x2 y2 r2 的几何意义是 AOP 椭圆的参数方程 是 AOX 不是 MOX 练习1 把下列普通方程化为参数方程 把下列参数方程化为普通方程 练习2 已知椭圆的参数方程为 是参数 则此椭圆的长轴长为 短轴长为 焦点坐标是 离心率是 4 2 0 例2 如图 在椭圆x2 8y2 8上求一点P 使P到直线l x y 4 0的距离最小 分析1 分析2 分析3 平移直线l至首次与椭圆相切 切点即为所求 小结 借助椭圆的参数方程 可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示 利用三角知识加以解决 例3 已知椭圆有一内接矩形ABCD 求矩形ABCD的最大面积 练习3 已知A B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点 在第一象限的椭圆弧上求一点P 使四边形OAPB的面积最大 练习4 1 动点P x y 在曲线上变化 求2x 3y的最大值和最小值 2 取一切实数时 连接A 4sin 6cos 和B 4cos 6sin 两点的线段的中点轨迹是 A 圆B 椭圆C 直线D 线段 B 设中点M x y x 2sin 2cos y 3cos 3sin
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