高考数学总复习 第四章 第2讲 导数在函数中的应用配套课件 文.ppt

第2讲 导数在函数中的应用 1 函数单调性与导数的关系一般地 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内 如果f x 0 那么函数y f x 在这 个区间内 单调递增 单调递减 2 判别f x0 是极大 极小值的方法 1 若x0满足f x0 0 且在x0的两侧f x 的导数异号 则x0是f x 的极值点 f x0 是极值 2 若f x 在x0两侧满足 左正 右负 则x0是f x 的 点 f x0 是 若f x 在x0两侧满足 左负 右正 则x0是f x 的 点 f x0 是 极大值 极大值 极小值 极小值 3 函数的最值 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件 如果在区间 a b 上 函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 极值 端点值 3 求y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 1 f x x3 3x2 2在区间 1 1 上的最大值是 a 2c 2 b 0d 4 d 2 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 a 2 b 0 3 d 2 c 1 4 c 3 2013年河南郑州模拟 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图4 2 1 则函数f x 在 a b 内的极大值点有 图4 2 1 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 b 3 2 5 2011年广东 函数f x x3 3x2 1在x 处取得极小值 考点1函数的单调性与极值 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线垂直于y轴 1 求a的值 2 求函数f x 的极值 方法与技巧 用导数研究函数的单调性比用函数定义研究单调性要方便 但应注意f x 0 或f x 0 仅是f x 在某个区间上为增函数 或减函数 的充分条件 在 a b 内可导的函数f x 在 a b 上递增 或递减 的充要条件应是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 互动探究 1 2013年课标 已知函数f x x3 ax2 bx c 下列结 论中错误的是 c a x0 r f x0 0b 函数y f x 的图象是中心对称图形c 若x0是f x 的极小值点 则f x 在区间 x0 上单调递减d 若x0是f x 的极值点 则f x0 0解析 f x x3 ax2 bx c f x 3x2 2ax b为开口向上的二次函数 若x0是f x 的极小值点 则f x 在区间 x1 x0 上单调递减 其中x1是f x 的极大值点 考点2函数的最值 1 若f x 在x 2处的切线与直线3x 2y 1 0平行 求 f x 的单调区间 2 求f x 在区间 1 e 上的最小值 f x 与f x 的情况如下表 所以f x 的单调递减区间是 0 1 单调递增区间是 1 互动探究 2 2013年广东 设函数f x x3 kx2 x k r 1 当k 1时 求函数f x 的单调区间 2 当k 0时 求函数f x 在 k k 上的最小值m和最大 值m 解 f x 3x2 2kx 1 1 当k 1时f x 3x2 2x 1 4 12 80 f x 在r上单调递增 2 方法一 当k 0时 f x 3x2 2kx 1 其开口向上 方法二 当k0 所以f x max f k 2k3 k f x min f k k 考点3利用导数解决函数中的恒成立问题 1 若a 3 试确定函数f x 的单调区间 2 若f x 在其图象上任一点 x0 f x0 处的切线斜率都小于 2a2 求实数a的取值范围 所以f x x2 2x 3 由f x 0 解得 13 所以函数f x 的单调递增区间为 1 3 单调递减区间为 1 和 3 2 因为f x x2 2x a 由题意 得f x x2 2x a 2a2对任意x r恒成立 即 x2 2x 2a2 a对任意x r恒成立 方法与技巧 若f x 在其图象上任一点处的切线斜率都小于2a2 即f x x2 2x a 2a2对任意x r恒成立 分离变量得 x2 2x 2a2 a对任意x r恒成立 求 x2 2x的最大值即可 互动探究 3 函数f x a2lnx x2 ax a 0 1 求f x 的单调递增区间 2 若f 1 e 1 求使f x e2对x 1 e 恒成立的实数a的值 注 e为自然对数的底数 解 1 因为f x a2lnx x2 ax 其中x 0 当a 0时 由f x 0 得0 x a 所以f x 的单调递增区间为 0 a 2 由f 1 a 1 e 1 即a e 由 1 知f x 在 1 e 内单调递增 要使f x e2对x 1 e 恒成立 只要f e e2 则a2lne e2 ae e2 即a2 ae 2e2 0 a 2e a e 0 a e 解得a e 思想与方法 运用分类讨论思想讨论函数的