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第4章不定积分 1不定积分的概念 2换元积分法 3分部积分法 4有理函数及三角函数有理式的积分 4 4有理函数及三角函数有理式的积分 一 有理函数的积分二 三角函数有理式的积分 有理函数的定义 两个多项式的商表示的函数 一 有理函数的积分 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式 这有理函数是假分式 利用多项式除法 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和 由代数学定理 q x b0 x a x b x2 px q x2 rx s 1 分母中若有因式 则分解后为 有理函数化为部分分式之和的一般规律 特殊地 分解后为 特殊地 分解后为 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将值代入 例2 例3 整理得 例4求积分 解 例5求积分 解 说明 将有理函数化为部分分式之和后 只出现三类情况 多项式 讨论积分 令 则 记 这三类积分均可积出 且原函数都是初等函数 结论 有理函数的原函数都是初等函数 三角有理式的定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数 一般记为 二 三角函数有理式的积分 万能置换公式 例6求积分 解 例7求积分 解 一 解 二 说明 通常求含 的积分时 往往更方便 的有理式 用代换 解 三 可以不用万能置换公式 结论 比较以上三种解法 便知万能置换不一定是最佳方法 故三角有理式的计算中先考虑其它手段 万不得已才用万能置换 例8求积分 解 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号 简单无理函数的积分 例9求积分 解 例10求积分 解 说明 无理函数去根号时 取根指数的最小公倍数 例11求积分 解 例12 解 内容小结 1 可积函数的特殊类型 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出 但不一定 要注意综合使用基本积分法 简便计算 简便 思考与练习 如何求下列积分更简便 解 备用题1 求不定积分
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