高中数学 2.1.2 演绎推理课件 新人教A版选修22.ppt

2 1 2演绎推理 一般性 特殊情况 一般 特殊 一般原理 特殊情况 一般原理 特殊情况 m是p s是m s是p 演绎推理 判断 正确的打 错误的打 1 三段论 就是演绎推理 2 演绎推理的结论是一定正确的 3 演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理 提示 1 错误 三段论 是演绎推理的一般模式 却不是演绎推理 2 错误 在演绎推理中 只有 大前提 小前提 及推理形式都正确的情况下 其结论才是正确的 3 错误 演绎推理是由一般到特殊的推理 答案 1 2 3 知识点拨 1 演绎推理的三个特点 1 演绎的前提是一般性原理 演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的特殊事实 结论完全蕴涵于前提之中 2 在演绎推理中 前提与结论之间存在必然的联系 只要前提是真实的 推理的形式是正确的 那么结论也必定是正确的 因而演绎推理是数学中严格证明的工具 3 演绎推理是一种收敛性的思维方法 它较少有创造性 但却具有条理清晰 令人信服的论证作用 且有助于培养科学的 理论化和系统化的思维方式 2 对 三段论 的三点认识 1 三段论中的大前提提供了一个一般性原理 小前提指出了一种特殊情况 两个命题结合起来 揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系 从而得到了第三个命题 结论 2 若集合m的所有元素都具有性质p s是m中的一个子集 那么s中的元素也具有性质p 若m中的元素都不具有性质p 则s中的元素也不具有性质p 3 从以上两点可以看出 三段论推理的结论正确与否 取决于两个前提是否正确 推理形式 即s与m的包含关系 是否正确 类型一三段论 典型例题 1 因为四边形abcd是矩形 所以四边形abcd的对角线相等 补充以上推理的大前提是 a 正方形都是对角线相等的四边形b 矩形都是对角线相等的四边形c 等腰梯形都是对角线相等的四边形d 矩形都是对边平行且相等的四边形 2 把下列演绎推理写成三段论的形式 1 在一个标准大气压下 水的沸点是100 所以在一个标准大气压下把水加热到100 时 水会沸腾 2 一切偶数都能被2整除 255是偶数 所以255能被2整除 3 函数y x 5的图象是一条直线 解题探究 1 大前提 与 小前提 各有什么特征 2 把演绎推理写成三段论的关键是什么 探究提示 1 大前提提供一般性原理 小前提指出一种特殊情况 2 关键在于分清大 小前提和结论 还要准确利用三段论的形式 解析 1 选b 由大前提 小前提 结论三者的关系 知大前提是 矩形都是对角线相等的四边形 故应选b 2 1 在一个标准大气压下 水的沸点是100 大前提在一个标准大气压下把水加热到100 小前提水会沸腾 结论 2 一切偶数都能被2整除 大前提255是偶数 小前提255能被2整除 结论 3 因为一次函数的图象是一条直线 大前提y x 5是一次函数 小前提所以y x 5的图象是一条直线 结论 拓展提升 将演绎推理写成三段论的方法 1 用三段论写推理过程时 关键是明确大 小前提 2 用三段论写推理过程中 有时可省略小前提 有时甚至也可大前提与小前提都省略 3 在寻找大前提时 可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 变式训练 将下列推理写成 三段论 的形式 1 向量是既有大小又有方向的量 故0也有大小和方向 2 正方形的对角线互相垂直 3 0 332是有理数 解题指南 明确大前提 小前提及结论 解析 1 因为向量是既有大小又有方向的量 大前提0是向量 小前提所以0也有大小和方向 结论 2 因为菱形的对角线互相垂直 大前提正方形是菱形 小前提所以正方形的对角线互相垂直 结论 3 因为所有的循环小数都是有理数 大前提0 332是循环小数 小前提所以0 332是有理数 结论 类型二用三段论证明几何问题 典型例题 1 2013 济宁高二检测 有一段演绎推理 直线平行于平面 则平行于平面内所有直线 已知直线b在平面 外 直线a在平面 内 直线b 平面 则直线b 直线a 结论显然是错误的 这是因为 a 大前提错误b 小前提错误c 推理形式错误d 非以上错误 2 如图 abc中 d e f分别是bc ca ab上的点 bfd a de ba 求证ed af 写出 三段论 形式的演绎推理 解题探究 1 产生演绎推理的结论错误的主要原因有哪些 2 三段论 的一般模式是什么 探究提示 1 产生错误的原因主要有 大前提错误或小前提错误或推理过程错误 2 大前提 已知的一般原理小前提 新研究的特殊情况结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 解析 1 选a 直线平行平面 则该直线与平面内的直线平行或异面 故大前提错误 2 因为同位角相等 两直线平行 大前提 bfd与 a是同位角 且 bfd a 小前提所以fd ae 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形 大前提 de ba 且fd ae 小前提所以四边形afde为平行四边形 结论因为平行四边形的对边相等 大前提ed和af为平行四边形afde的对边 小前提所以ed af 结论 互动探究 写出题2的证明过程 证明 bfd a fd aede ba 四边形dfae是平行四边形 ed af 拓展提升 1 用三段论证明命题的步骤 1 理清楚证明命题的一般思路 2 找出每一个结论得出的原因 3 把每个结论的推出过程用 三段论 表示出来 2 三段论中的三个判断三段论是由三个判断组成的 其中的两个为前提 另一个为结论 第一个判断是提供性质的一般判断 叫做大前提 通常是已知的公理 定理 定义等 第二个判断是和大前提有联系的特殊情况 叫做小前提 通常是已知条件或前面证明过程中推理的第三个判断 第三个判断为结论 在推理论证的过程中 一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成 而大前提通常省略不写 或者写在结论后面的括号内 小前提有时也可以省去 而采取某种简明的推理格式 变式训练 如图所示 在梯形abcd中 ab dc ad ac和bd是对角线 求证 ca平分 bcd 解题指南 此题为平面几何问题 只需证明 2 3 证明 等腰三角形两底角相等 大前提 dac是等腰三角形 da dc是两腰 小前提所以 1 2 结论两条平行线被第三条直线所截得的内错角相等 大前提 1和 3是平行线ad bc被ac截出的内错角 小前提 所以 1 3 结论等于同一个量的两个量相等 大前提 2和 3都等于 1 小前提所以 2 3 结论即ca平分 bcd 类型三演绎推理在代数证明中的应用 典型例题 1 若a 0 b 0 则 大前提 小前提所以 结论以上推理过程中错误的是 a 大前提b 小前提c 结论d 无错误 2 定义在实数集r上的函数f x 对任意x y r 有f x y f x y 2f x f y 且f 0 0 求证 f x 是偶函数 证明 令x y 0 则有f 0 f 0 2f 0 f 0 因为f 0 0 所以f 0 1 令x 0 则有f y f y 2f 0 f y 2f y 所以f y f y 因此 f x 是偶函数 以上证明结论 f x 是偶函数 运用了演绎推理的 三段论 其中大前提是 3 已知 an 是各项均为正数的等差数列 lga1 lga2 lga4成等差数列 又 n 1 2 3 证明 bn 为等比数列 解题探究 1 成立吗 2 在三段论的一般模式中 大前提 是指什么 3 证明一个数列 bn 为等比数列的三段论怎样叙述 探究提示 1 不一定 因为x 0时不成立 只有x 0时才成立 2 大前提是指已知的一般原理 3 三段论为 等比数列的定义 大前提 数列 bn 满足 非零常数 小前提 数列 bn 是等比数列 结论 解析 1 选b 由上述形式可看出 是错误的 因为没有限制x的范围 所以小前提错误 2 观察本题的证明过程 容易得到思路 通过两次赋值先求得 f 0 1 再证得 f y f y 从而得到结论 f x 是偶函数 所以这个三段论推理的小前提是 f y f y 结论是 f x 是偶函数 显然大前提是 若对于定义域内任意一个x 都有f x f x 则f x 是偶函数 答案 若对于定义域内任意一个x 都有f x f x 则f x 是偶函数 3 因为lga1 lga2 lga4成等差数列 所以2lga2 lga1 lga4 即a22 a1a4 若 an 的公差为d 即 a1 d 2 a1 a1 3d a1d d2 从而d d a1 0 若d 0 an 为常数列 相应 bn 也是常数列 此时 bn 是首项为正数 公比为1的等比数列 若d a1 0 则这时 bn 是首项公比为的等比数列 综上 bn 为等比数列 拓展提升 代数问题中的三段论代数问题中常见的利用三段论进行证明的命题主要体现在下面一些知识 1 函数类问题 比如函数的单调性 奇偶性 周期性和对称性等 2 导数的应用 利用导数研究函数的单调区间 求函数的极值和最值 证明与函数有关的不等式等 3 三角函数的图象与性质 4 数列的通项公式 递推公式以及求和 数列的性质 5 不等式的证明 变式训练 已知函数求证 函数f x 在 1 上为增函数 解题指南 解决此问题应先找出证明的大前提 然后在大前提下证明小前提满足大前提 从而得出结论 证明 对于任意x1 x2 i 且x1 x2 若f x1 f x2 则y f x 在i上是增函数 大前提设x1 x2是 1 上的任意两实数 且x1 x2 则 因为a 1 且x1 1 x2 1 所以 x1 1 x2 1 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 小前提所以函数f x 在 1 上为增函数 结论 演绎推理与合情推理的关系 典型例题 1 2013 东莞高二检测 下列推理过程是演绎推理的为 a 人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为b 科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼c 我们由a1 1 a2 3 a3 5 推测得an 2n 1 n n d 数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数2 用三段论写出求解下题的主要解答过程 若不等式 ax 2 6的解集为 1 2 求实数a的值 解析 1 选d 根据题意 对于a人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为 这是归纳推理 b 科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼 根据其原理来制造相同的物体 这是类比推理 c 由a1 a2 a3 归纳得出an的通项 是归纳推理 d 数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数 是演绎推理 故选d 2 推理的第一个关键环节 大前提 如果不等式f x 0的解集为 m n 且f m f n 有意义 则m n是方程f x 0的实数根 小前提 不等式 ax 2 6的解集为 1 2 且x 1与x 2都使表达式 ax 2 6有意义 结论 1和2是方程 ax 2 6 0的根 所以 a 2 6 0与 2a 2 6 0同时成立 推理的第二个关键环节 大前提 如果 x a a 0 那么x a 小前提 a 2 6且 2a 2 6 结论 a 2 6且2a 2 6 可得出结论a 4 拓展提升 合情推理与演绎推理的区别与联系 规范解答 演绎推理在函数中的应用 典例 条件分析 3 已知f x 为 友谊函数 且0 x1 x2 1 求证 f x1 f x2 规范解答 1 取x1 x2 0 得f 0 f 0 f 0 又由f 0 0 得f 0 0 3分 2 显然g x 2x 1在 0 1 上满足 g x 0 g 1 1 5分 若x1 0 x2 0 且x1 x2 1 则有g x1 x2 g x1 g x2 0 故g x 2x 1满足条件 所以g x 2x 1为 友谊函数 8分 3 因为0 x1 x2 1 则0 x2 x1 1 所以f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 f x1 12分 失分警示 防范措施 1 赋值的使用在抽象函数中 赋值是常见现象 要注意使用 如本例 1 中令x1 x2 0 2 演绎推理的使用演绎推理的主要形式是三段论 如在判断本例 友谊函数 时 必须同时验证满足3个条件 合理使用 三段论 增强正确性 3 代换技巧的应用在代数换算中 要注意常见的变换技巧 如本例中x2 x2 x1 x1 类题试解 证明f x x3 x在r上是增函数 并指出在证明过程中所运用的 三段论 证明 在r上任取x10 因为f x x3 x 所以f x2 f x1 x23 x2 x13 x1 x23 x13 x2 x1 x2 x1 x22 x2x1 x12 1 因为所以f x2 f x1 0 即f x2 f x1 所以f x x3 x在r上是增函数 在证明过程中所用到的 三段论 大前提是 增函数的定义 小前提是 题中的f x 经过正确的推理满足增函数的定义 结论是 f x 是增函数 1 已知 abc中 a 30 b 60 求证 a b 证明 因为 a 30 b 60 所以 a b 所以a b 其中 划线部分是演绎推理的 a 大前提b 小前提c 结论d 三段论 解析 选b 由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提 2 凡自然数是整数 4是自然数 所以4是整数 以上三段论推理 a 正确b 推理形式正确c 两个自然数概念不一致d 两个