高三数学一轮复习 3.7解三角形应用举例课件.ppt

备考方向要明了 考什么 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题 怎么考 考查正 余弦定理在解决与角度 方向 距离及测量等问题有关的实际问题中的应用 如2010年高考t17 归纳知识整合 1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题 高度问题 角度问题 计算面积问题 航海问题 物理问题等 2 实际应用中的常用术语 术语名称 仰角与俯角 方位角 术语意义 在目标视线与水平视线所成的角中 目标视线在水平视线上方的叫做仰角 目标视线在水平视线下方的叫做俯角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角 方位角的范围是 0 360 图形表示 术语名称 术语意义 图形表示 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 通常表达为北 南 偏东 西 度 例 1 北偏东m 2 南偏西n 术语名称 术语意义 图形表示 坡角 坡度 坡面与水平面的夹角 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比 探究 1 仰角 俯角 方位角有什么区别 提示 三者的参照不同 仰角与俯角是相对水平线而言的 而方位角是相对于正北方向而言的 2 如何用方位角 方向角确定一点的位置 提示 利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置 自测牛刀小试 1 从a处望b处的仰角为 从b处望a处的俯角为 则 与 的关系为 解析 根据仰角和俯角的定义可知 答案 2 2012 苏州模拟 如图 测量河对岸的塔高ab时 选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d 测得 bcd 30 bdc 120 cd 10m 并在点c测得塔顶a的仰角为60 则塔高ab m 答案 30 3 如图所示 b c d三点在地面同一直线上 dc a 从c d两点测得a点的仰角分别为 和 则可以求出a点距地面的高ab 4 教材习题改编 海上有a b c三个小岛 测得a b两岛相距10海里 bac 60 abc 75 则b c间的距离是 海里 5 教材习题改编 如图 某城市的电视发射塔cd建在市郊的小山上 小山的高bc为35m 在地面上有一点a 测得a c间的距离为91m 从a观测电视发射塔cd的视角 cad 为45 则这座电视发射塔的高度cd为 m 答案 169 测量距离问题 若将本例中a b两点放到河的两岸 一测量者与a在河的同侧 在所在的河岸边选定一点c 测出ac的距离为50m acb 45 cab 105 后 求a b两点间的距离 1 如图所示 某河段的两岸可视为平行 为了测量该河段的宽度 在河段的一岸边选取两点a b 观察对岸的点c 测得 cab 75 cba 45 且ab 100m 求该河段的宽度 测量高度问题 处理高度问题的注意事项 1 在处理有关高度问题时 要理解仰角 俯角 视线在水平线上方 下方的角分别称为仰角 俯角 是一个关键 2 在实际问题中 可能会遇到空间与平面 地面 同时研究的问题 这时最好画两个图形 一个空间图形 一个平面图形 这样处理起来既清楚又不容易搞错 3 高度问题一般是把它转化成三角形的问题 要注意三角形中的边角关系的应用 若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合 2 如图 山脚下有一小塔ab 在塔底b测得山顶c的仰角为60 在山顶c测得塔顶a的俯角为45 已知塔高ab 20m 求山高cd 测量角度问题 2 如图 位于a处的信息中心获悉 在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险 在原地等待营救 信息中心立即把消息告知在其南偏西30 相距20海里的c处的乙船 现乙船朝北偏东 的方向沿直线cb前往b处救援 求cos 的值 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形 这时需作出这些三角形 先解够条件的三角形 然后逐步求解其他三角形 有时需设出未知量 从几个三角形中列出方程 组 解方程 组 得出所要求的解 1 画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形 如等边三角形 直角三角形 等腰三角形等 这样可以优化解题过程 2 解三角形时 为避免误差的积累 应尽可能用已知的数据 原始数据 少用间接求出的量 创新交汇 数形结合思想在解三角形中的应用三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用 三角函数的应用题是以解三角形 正 余 弦定理 正 余 弦函数等知识为核心 以测量 航海 筑路 天文等为代表的实际应用题 求解此类问题时 应仔细审题 提炼题目信息 画出示意图 利用数形结合的思想并借助正弦定理 余弦定理 勾股定理 三角函数 不等式等知识求解 1 求该船的行驶速度 单位 海里 时 2 若该船不改变航行方向继续行驶 判断它是否会进入警戒水域 并说明理由 1 对于第 1 问 知道两边夹一角 由余弦定理求得bc的长 然后除以行驶时间即可求得速度 对于第 2 问 延长bc交直线ae于点q 然后在 abq中 由正弦定理求得aq的长 判断点q的位置 最后在 qpe中结合已知条件即可作出判断 2 解此类问题 首先根据题意合理画出示意图是解题关键 将条件归纳到某一三角形中是基本的策略 合理运用正 余弦定理并注意与平面几何相关知识结合有助于问题的解决 变式训练 某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口o北偏西30 且与该港口相距20海里的a处 并正以30海里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 1 为了测量两山顶m n间的距离 飞机沿水平方向a b两点进行测量 a b m n在同一个铅垂平面内 如图所示