高考数学一轮 知识点各个击破 第一章 集合与常用逻辑用语课件 文 新人教A版.ppt

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合第二节命题及其关系 充分条件与必要条件第三节简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 目录 第一章集合与常用逻辑用语 知识能否忆起 一 元素与集合1 集合中元素的三个特性 2 集合中元素与集合的关系 元素与集合之间的关系有和两种 表示符号为和 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 3 常见集合的符号表示 4 集合的表示法 列举法 描述法 韦恩图 n n 或n z q r 二 集合间的基本关系 a b a b b a a b b a b 非空集合 b b 三 集合的基本运算 x x a 或x b x x a 且x b x x u 且x a 小题能否全取 1 2012 大纲全国卷 已知集合a x x是平行四边形 b x x是矩形 c x x是正方形 d x x是菱形 则 a a bb c bc d cd a d解析 选项a错 应当是b a 选项b对 正方形一定是矩形 但矩形不一定是正方形 选项c错 正方形一定是菱形 但菱形不一定是正方形 选项d错 应当是d a 答案 b 2 2012 浙江高考 设集合a x 1 x 4 集合b x x2 2x 3 0 则a rb a 1 4 b 3 4 c 1 3 d 1 2 3 4 解析 因为 rb x x 3 或x 1 所以a rb x 3 x 4 答案 b 3 教材习题改编 a 1 2 3 b x r x2 ax 1 0 a a 则a b b时a的值是 a 2b 2或3c 1或3d 1或2解析 验证a 1时b 满足条件 验证a 2时b 1 也满足条件 答案 d 4 2012 盐城模拟 如图 已知u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 集合a 2 3 4 5 6 8 b 1 3 4 5 7 c 2 4 5 7 8 9 用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 解析 阴影部分表示的集合为a c ub 2 8 答案 2 8 答案 0 1 正确理解集合的概念研究一个集合 首先要看集合中的代表元素 然后再看元素的限制条件 当集合用描述法表示时 注意弄清其元素表示的意义是什么 注意区分 x y f x y y f x x y y f x 三者的不同 2 注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合 空集是任何集合的子集 在解题时 若未明确说明集合非空时 要考虑到集合为空集的可能性 例如 a b 则需考虑a 和a 两种可能的情况 例1 1 2012 新课标全国卷 已知集合a 1 2 3 4 5 b x y x a y a x y a 则b中所含元素的个数为 a 3b 6c 8d 10 2 已知集合m 1 m n n log2n 若m n 则 m n 2013 自主解答 1 b x y x a y a x y a a 1 2 3 4 5 x 2 y 1 x 3 y 1 2 x 4 y 1 2 3 x 5 y 1 2 3 4 b 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 5 4 b中所含元素的个数为10 答案 1 10 2 1或0 1 研究集合问题 一定要抓住元素 看元素应满足的属性 对于含有字母的集合 在求出字母的值后 要注意检验集合的元素是否满足互异性 2 对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等 分几种情况列出方程 组 进行求解 要注意检验是否满足互异性 1 1 2012 北京东城区模拟 设p q为两个非空实数集合 定义集合p q a b a p b q 若p 0 2 5 q 1 2 6 则p q中元素的个数为 a 9b 8c 7d 6 2 已知集合a a 2 2a2 5a 12 且 3 a 则a 解析 1 p q a b a p b q p 0 2 5 q 1 2 6 当a 0时 a b的值为1 2 6 当a 2时 a b的值为3 4 8 当a 5时 a b的值为6 7 11 p q 1 2 3 4 6 7 8 11 p q中有8个元素 例2 1 2012 湖北高考 已知集合a x x2 3x 2 0 x r b x 0 x 5 x n 则满足条件a c b的集合c的个数为 a 1b 2c 3d 4 2 已知集合a x log2x 2 b a 若a b 则实数a的取值范围是 c 其中c 自主解答 1 由x2 3x 2 0 得x 1或x 2 a 1 2 由题意知b 1 2 3 4 满足条件的c可为 1 2 1 2 3 1 2 4 1 2 3 4 2 由log2x 2 得04 即c 4 答案 1 4 2 4 1 判断两集合的关系常有两种方法 一是化简集合 从表达式中寻找两集合间的关系 二是用列举法表示各集合 从元素中寻找关系 2 已知两集合间的关系求参数时 关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系 进而转化为参数满足的关系 解决这类问题常常需要合理利用数轴 venn图帮助分析 2 2012 郑州模拟 已知集合a 2 3 b x mx 6 0 若b a 则实数m的值为 a 3b 2c 2或3d 0或2或3 答案 d 例3 1 2011 江西高考 若全集u 1 2 3 4 5 6 m 2 3 n 1 4 则集合 5 6 等于 a m nb m nc um un d um un 2 2012 安徽合肥质检 设集合a x x2 2x 8 0 b x x 1 则图中阴影部分表示的集合为 a x x 1 b x 4 x 2 c x 8 x 1 d x 1 x 2 自主解答 1 m n 1 2 3 4 um un u m n 5 6 2 x2 2x 8 0 4 x 2 a x 4 x 2 又 b x x 1 图中阴影部分表示的集合为a ub x 1 x 2 答案 1 d 2 d 将例3 1 中的条件 m 2 3 改为 m n n 试求满足条件的集合m的个数 解 由m n n得m n 含有2个元素的集合m有1个 含有3个元素的集合m有4个 含有4个元素的集合m有6个 含有5个元素的集合m有4个 含有6个元素的集合m有1个 因此 满足条件的集合m有1 4 6 4 1 16个 1 在进行集合的运算时要尽可能地借助venn图和数轴使抽象问题直观化 一般地 集合元素离散时用venn图表示 集合元素连续时用数轴表示 用数轴表示时注意端点值的取舍 2 在解决有关a b a b等集合问题时 一定先考虑a或b是否为空集 以防漏解 另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用 3 2013 锦州模拟 已知全集u r 集合a x x2 2x 0 b x y lg x 1 则 ua b等于 a x x 2 或x0 x x 2 或x0 x x 1 ua x 0 x 2 ua b x 1 x 2 答案 c 以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点 此类题目常常以 问题 为核心 以 探究 为途径 以 发现 为目的 常见的命题形式有新定义 新运算 新性质 这类试题只是以集合为依托 考查考生理解问题 解决创新问题的能力 1 创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合 对集合的知识加以深入地创新 结合原有集合的相关知识和相应数学知识 来解决新定义的集合创新问题 a 1b 3c 7d 31 答案 b 题后悟道 该题是集合新定义的问题 定义了集合中元素的性质 此类题目只需准确提取信息并加工利用 便可顺利解决 2 创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则 并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等 从而达到解决问题的目的 典例2 设p和q是两个集合 定义集合p q x x p 且x q 如果p x log2x 1 q x x 2 1 那么p q a x 0 x 1 b x 0 x 1 c x 1 x 2 d x 2 x 3 解析 由log2x 1 得0 x 2 所以p x 0 x 2 由 x 2 1 得1 x 3 所以q x 1 x 3 由题意 得p q x 0 x 1 答案 b 题后悟道 解决创新集合新运算问题常分为三步 1 对新定义进行信息提取 确定化归的方向 2 对新定义所提取的信息进行加工 探求解决方法 3 对定义中提出的知识进行转换 有效地输出 其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键 也是解题的难点 3 创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题 通过创新性质 结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题 a 1b 1c 0d i 解析 s a b c d 由集合中元素的互异性可知当a 1时 b 1 c2 1 c i 由 对任意x y s 必有xy s 知 i s c i d i或c i d i b c d 1 0 1 答案 b 题后悟道 此题是属于创新集合新性质的题目 通过非空集合s中的元素属性的分析 结合题目中引入的相应的创新性质 确定集合的元素 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 1 2 集合s a b c d e 包含 a b 的s的子集共有 a 2个b 3个c 5个d 8个解析 包含 a b 的s的子集有 a b a b c a b d a b e a b c d a b c e a b d e a b c d e 共8个 答案 d 3 某班有36名同学参加数学 物理 化学课外探究小组 每名同学至多参加两个小组 已知参加数学 物理 化学小组的人数分别为26 15 13 同时参加数学和物理小组的有6人 同时参加物理和化学小组的有4人 则同时参加数学和化学小组的有 人 解析 由题意知 同时参加三个小组的人数为0 设同时参加数学和化学小组的人数为x venn图如图所示 20 x 6 5 4 9 x x 36 解得x 8 答案 8 4 已知集合a x x2 2x a 0 b x a x 4a 9 若a b中至少有一个不是空集 则a的取值范围是 解析 若a b全为空集 则实数a满足4 4a4a 9 即1 a 3 则满足题意的a的取值范围为 1 3 答案 1 3 答案 d 知识能否忆起 一 命题的概念在数学中用语言 符号或式子表达的 可以的陈述句叫做命题 其中的语句叫做真命题 的语句叫做假命题 判断真假 判断为真 为假 判断 二 四种命题及其关系1 四种命题 若q 则p 2 四种命题间的逆否关系 3 四种命题的真假关系 1 两个命题互为逆否命题 它们有的真假性 2 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性 三 充分条件与必要条件1 如果p q 则p是q的 q是p的 2 如果p q q p 则p是q的 相同 没有关系 充分条件 必要条件 充要条件 小题能否全取 1 教材习题改编 下列命题是真命题的为 答案 a 答案 c 3 2012 温州适应性测试 设集合a b 则a b是a b a成立的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析 由a b 得a b a 反过来 由a b a 且 a b b 得a b 因此 a b是a b a成立的充要条件 答案 c 4 在 abc中 若 c 90 则 a b都是锐角 的否命题为 解析 原命题的条件 在 abc中 c 90 结论 a b都是锐角 否命题是否定条件和结论 即 在 abc中 若 c 90 则 a b不都是锐角 答案 在 abc中 若 c 90 则 a b不都是锐角 5 下列命题中所有真命题的序号是 a b 是 a2 b2 成立的充分条件 a b 是 a2 b2 成立的必要条件 a b 是 a c b c 成立的充要条件 答案 1 充分条件与必要条件的两个特征 1 对称性 若p是q的充分条件 则q是p的必要条件 即 p q q p 2 传递性 若p是q的充分 必要 条件 q是r的充分 必要 条件 则p是r的充分 必要 条件 注意区分 p是q的充分不必要条件 与 p的一个充分不必要条件是q 两者的不同 前者是 p q 而后者是 q p 2 从逆否命题 谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性 因而 当判断原命题的真假比较困难时 可转化为判断它的逆否命题的真假 这就是常说的 正难则反 例1 a b c d 自主解答 中否命题为 若x2 y2 0 则x y 0 正确 中 1 4m 当m 0时 0 原命题正确 故其逆否命题正确 中逆命题不正确 中原命题正确故逆否命题正确 答案 b 在判断四个命题之间的关系时 首先要分清命题的条件与结论 再比较每个命题的条件与结论之间的关系 要注意四种命题关系的相对性 一旦一个命题定为原命题 也就相应的有了它的 逆命题 否命题 逆否命题 判定命题为真命题时要进行推理 判定命题为假命题时只需举出反例即可 对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手 1 以下关于命题的说法正确的有 填写所有正确命题的序号 若log2a 0 则函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数 是真命题 命题 若a 0 则ab 0 的否命题是 若a 0 则ab 0 命题 若x y都是偶数 则x y也是偶数 的逆命题为真命题 命题 若a m 则b m 与命题 若b m 则a m 等价 解析 对于 若log2a 0 log21 则a 1 所以函数f x logax在其定义域内是增函数 故 不正确 对于 依据一个命题的否命题的定义可知 该说法正确 对于 原命题的逆命题是 若x y是偶数 则x y都是偶数 是假命题 如1 3 4是偶数 但3和1均为奇数 故 不正确 对于 不难看出 命题 若a m 则b m 与命题 若b m 则a m 是互为逆否命题 因此二者等价 所以 正确 综上可知正确的说法有 答案 例2 1 2012 浙江十校联考 设x r 那么 x 0 是 x 3 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 2 2012 北京高考 设a b r a 0 是 复数a bi是纯虚数 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 自主解答 1 取x 0 则x2 2x 0 故由x 2不能推出x2 2x 0 由x2 2x 0得0 x 2 故由x2 2x 0可以推出x 2 所以 x 2 是 x2 2x 0 的必要而不充分条件 2 当a 0 且b 0时 a bi不是纯虚数 若a bi是纯虚数 则a 0 故 a 0 是 复数a bi是纯虚数 的必要而不充分条件 答案 1 b 2 b 充要条件的判断 重在 从定义出发 利用命题 若p 则q 及其逆命题的真假进行区分 在具体解题中 要注意分清 谁是条件 谁是结论 如 a是b的什么条件 中 a是条件 b是结论 而 a的什么条件是b 中 a是结论 b是条件 有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分 2 下列各题中 p是q的什么条件 1 在 abc中 p a b q sina sinb 2 p x x q x2 x 0 例3 已知p 4 x a 4 q x 2 x 3 0 且q是p的充分而不必要条件 则a的取值范围为 答案 1 6 利用充分条件 必要条件可以求解参数的值或取值范围 其依据是充分 必要条件的定义 其思维方式是 1 若p是q的充分不必要条件 则p q且q p 2 若p是q的必要不充分条件 则p q 且q p 3 若p是q的充要条件 则p q 3 2013 兰州调研 x 3 a 是不等式2x2 5x 3 0成立的一个充分不必要条件 则实数a的取值范围是 答案 d 典例 2012 山东高考 设a 0且a 1 则 函数f x ax在r上是减函数 是 函数g x 2 a x3在r上是增函数 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 常规解法 函数f x ax在r上是减函数 的充要条件是p 00 即a0且a 1 所以 函数g x 2 a x3在r上是增函数 的充要条件是q 0 a 2且a 1 显然p q 但q p 所以p是q的充分不必要条件 即 函数f x ax在r上是减函数 是 函数g x 2 a x3在r上是增函数 的充分不必要条件 答案 a 1 充分 必要条件的判定方法有定义法 集合法和等价转化法 2 三种不同的方法各适用于不同的类型 定义法适用于定义 定理判断性问题 而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题 等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题 常转化为其逆否命题来判断 巧思妙解 p 函数f x ax在r上是减函数 等价于00 即a 2 而 a 0 a 1 是 a a 2 的真子集 故答案为充分不必要 答案 b 教师备选题 给有能力的学生加餐 1 2012 济南模拟 在命题p的四种形式的命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 中 正确命题的个数记为f p 已知命题p 若两条直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0平行 则a1b2 a2b1 0 那么f p a 1b 2c 3d 4 解析 若两条直线l1 a1x b1y c1 0与l2 a2x b2y c2 0平行 则必有a1b2 a2b1 0 但当a1b2 a2b1 0时 直线l1与l2不一定平行 还有可能重合 因此命题p是真命题 但其逆命题是假命题 从而其否命题为假命题 逆否命题为真命题 所以在命题p的四种形式的命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 中 有2个正确命题 即f p 2 答案 b a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件 答案 b 3 判断命题 若a 0 则x2 x a 0有实根 的逆否命题的真假 知识能否忆起 一 简单的逻辑联结词1 用联结词 且 联结命题p和命题q 记作 读作 2 用联结词 或 联结命题p和命题q 记作 读作 p q p且q p q p或q 假 一真一假 3 全称命题 对m中任意一个x 有p x 成立 可用符号简记为 读作 二 全称量词与存在量词1 全称量词与全称命题 1 短语 在逻辑中通常叫做全称量词 并用符号 表示 2 含有的命题 叫做全称命题 所有的 任意一个 全称量词 x m p x 对任意x属于m 有 p x 成立 3 特称命题 存在m中的一个x0 使p x0 成立 可用符号简记为 读作 2 存在量词与特称命题 1 短语 在逻辑中通常叫做存在量词 并用符号 表示 2 含有的命题 叫做特称命题 存在一个 至少有一个 存在量词 x0 m p x0 存在m中的元 素x0 使p x0 成立 三 含有一个量词的命题的否定 小题能否全取 1 2011 北京高考 若p是真命题 q是假命题 则 a p q是真命题b p q是假命题c 綈p是真命题d 綈q是真命题答案 d 答案 c 答案 d 答案 所有的三角形都不是等边三角形 1 逻辑联结词与集合的关系 或 且 非 三个逻辑联结词 对应着集合运算中的 并 交 补 因此 常常借助集合的 并 交 补 的意义来解答由 或 且 非 三个联结词构成的命题问题 2 正确区别命题的否定与否命题 否命题 是对原命题 若p 则q 的条件和结论分别加以否定而得到的命题 它既否定其条件 又否定其结论 命题的否定 即 非p 只是否定命题p的结论 命题的否定与原命题的真假总是对立的 即两者中有且只有一个为真 而原命题与否命题的真假无必然联系 答案 d 2 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 1 p q p q中有一个为真 则p q为真 即一真全真 2 p q p q中有一个为假 则p q为假 即一假即假 1 1 如果命题 非p或非q 是假命题 给出下列四个结论 命题 p且q 是真命题 命题 p且q 是假命题 命题 p或q 是真命题 命题 p或q 是假命题 其中正确的结论是 a b c d 2 2012 江西盟校联考 已知命题p x 0 1 a ex 命题q x r x2 4x a 0 若命题 p q 是真命题 则实数a的取值范围是 a 4 b 1 4 c e 4 d 1 解析 非p或非q 是假命题 非p 与 非q 均为假命题 p与q均为真命题 p q 是真命题 则p与q都是真命题 p真则 x 0 1 a ex 需a e q真则x2 4x a 0有解 需 16 4a 0 所以a 4 p q为真 则e a 4 答案 1 a 2 c a a b r an an b 有 an 是等差数列c x r 3x 0d x0 r lgx0 0 例2 下列命题中的假命题是 答案 b 1 全称命题真假的判断方法 1 要判断一个全称命题是真命题 必须对限定的集合m中的每一个元素x 证明p x 成立 2 要判断一个全称命题是假命题 只要能举出集合m中的一个特殊值x x0 使p x0 不成立即可 2 存在性命题真假的判断方法要判断一个存在性命题是真命题 只要在限定的集合m中 找到一个x x0 使p x0 成立即可 否则这一存在性命题就是假命题 答案 c 例3 2013 武汉适