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文档简介

第二节二重积分的计算 一直角坐标系中的计算方法 二极坐标系中的计算方法 1 一直角坐标系中的计算方法 计算二重积分的基本思想 化为两次定积分 分别用平行于x轴和y轴的直线对区域进行分割 如图 x y 可见 除边缘外 其余均为矩形 其面积为 可以证明 其中dxdy称为面积元素 2 利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分 1 当积分区域为 以下均设函数且在D上连续 如图所示 相应的曲顶柱体如右图 3 在区间 a b 内任取一点x 过此点作与yoz面平行的平面 它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形 底为 高为 其面积为 所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式 得 4 于是 得二重积分的计算公式 类似地 若积分区域为 如右图所示 则二重积分的计算 公式为 5 总结 二重积分的计算就是转化为二次定积分 显然 确定积分次序和积分上 下限是关键 这主要由积分区域D所确定 所谓 先积线 后积点 以第一种情况为例加以说明 如图 x 区间 a b 是x的取值范围 在此区间内任取一点x 过该点自下而上作一条平行于y轴的射线 6 后穿过的边界是y的积分上限 第二种情形可同理讨论 对于其他情形 都可化为这两种情况加以转化 如下图 7 不妨用两种情形分别进行计算 加以比较 法一先y后x 1 将积分区域投影到x轴上 得到x的范围 0 1 x 8 所以 法二 将积分区域投影到y轴上 得到y的范围 0 1 1 y 于是 9 所以 小结 在二重积分的计算中 有时积分次序的选择显得相当重要 因而具体计算时 应注意观察积分区域的特征和被积函数的特点 选择恰当的积分次序 以便使计算尽可能简单 10 解 解方程组 得这条直线和抛物线的交点为 8 4 2 2 如右图 1 先对y后对x积分 8 得 所以 11 2 4 所以 小结 显然1 较2 麻烦 12 解 此三条直线的交点分别为 1 1 0 1 0 0 所围区域如右 先对x后对y积分 注意 若先对y后对x积分 13 的原函数无法用初等函数表示出来 因而此二重积分不能计算出来 例4交换下列二重积分的积分次序 解 这是先对y后对x的积分 积分区域为 14 故改变积分次序后得 二 极坐标系中的计算方法 1直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中的二重积分 如图所示的极坐标系中的积分区域D 过极点O引射线和以极点为圆心的同心圆 它们将区域D分成许多 15 在圆周上任取一点 其中 设其直角坐标为 它们的关系为 所以 16 因此 此公式可将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分 其中为极坐标系中的面积元素 2化为二次积分 一般均是先对r积分再对 积分 因而主要是确定r 的积分上下限 分情况讨论 17 1 极点在区域D外 如图 则 2 极点在区域D的边界上 如图 则 18 1 极点在区域D内 如图 则 解 积分区域是如图所示的环域 用极坐标计算方便 因而 19 例6计算 其中 解 积分区域是如图
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