余弦调制滤波器组的设计及应用研究优秀毕业论文.pdf

西北师范大学 硕士学位论文 余弦调制滤波器组的设计及应用研究 姓名 辛守庭 申请学位级别 硕士 专业 电路与系统 指导教师 杨志民 2009 06 西北师范大学硕士学位论文 ii 摘摘 要要 随着现代社会信息量的不断增加 数字信号处理系统中需要处理的数据量越来越 大 为了减少计算量及节省存储空间 在一个信号处理系统中常常需要不同的抽样率及 其相互之间的转换 在此种情况下 从 20 世纪 70 年代开始 多抽样 也叫多速率 数 字信号处理理论开始产生并发展起来 多抽样数字信号处理技术可以有效减小信号处理 的复杂度 降低对数据传输速率的要求和减少数据存储量 滤波器组是多抽样信号处理中的重要组成部分 它在信号处理的诸多领域例如语音 信号处理 图像处理和移动通信等方面都得到了广泛的应用 关于滤波器组的设计方法 有多种 有在时域或频域设计的 有从滤波器组整体考虑设计的或从单个通道滤波器考 虑设计的 近年来 余弦调制滤波器组受到了极大的关注并且被广泛使用 它可以通过对低通 原型滤波器进行优化设计 并通过快速离散余弦变换得 因此该滤波器组具有计算复杂 度低和设计过程简单等优点 本文对多通道滤波器组的设计理论进行了比较详细的研究 重点研究了多通道余弦 调制滤波器组的设计理论及一种基于线性迭代的优化算法设计余弦调制滤波器组的方 法 这种方法只需要对一维目标函数进行线性优化 按照此方法可以得到性能良好的原 型滤波器 进而得到重构误差较小的余弦调制滤波器组 利用此方法设计了一个 6 通道 的滤波器组 用 matlab 程序软件画出了原型滤波器幅频特性图 分析滤波器组幅频特 性图和综合滤波器组图 进行了误差分析 证明此方法的正确性和有效性 用所设计的 3 通道滤波器组 在 matlab simulink 环境下对音频文件和实时音频信号 进行了处理 输出信号较好地重构出输入信号 也证明了此方法的正确性和滤波器组的 实用性 关键词 多速率 余弦调制滤波器组 原型滤波器 分析滤波器组 综合滤波器组 近 似完全重构 西北师范大学硕士学位论文 iii abstract with ever increasing of the modern society s amount of information the amount of data that digital signal processing systems need to deal with is growing in order to reduce the amount of computation and save storage space it is often required different sample rates and their mutual conversion in a signal processing systems in such a case multirate digital signal processing theory generates and develop from 70s of the 20th century multirate data signal processing applying technology can effectively reduce the complexity of signal processing lower data transmission rate and reduce data storage memory the filter banks is the important component of multirate signal processing and it is widely used in many signal processing fields such as speech signal processing image processing and mobile communications etc so far the design way of filter banks have a variety of methods design in the time domain or in frequency domain design at the overall of filter banks or at the single channel of filter banks in recent years cosine modulated filter banks has been a great deal of concern and has been widely used and it can be design by optimizing the low pass prototype filter and gets analysis and synthesis filter banks by using fast discrete cosine transform so the type of filter banks has the advantages of the low computational complexity and the easy design process in this paper the work starts around the design theory of the filter banks and focuses on the design theory of the m channel cosine modulated filter banks and introduces a design method that based on a linear iterative optimization algorithm cosine modulated filter banks this method requires only linear optimization to one dimensional objective function we can get a good performance prototype filter in accordance with this method then get near perfect reconstruction cosine modulated filter banks that has smaller reconstruction error a six channel filter banks is designed with this method the amplitude frequency characteristic maps of the prototype filter and the analysis filter banks and the analysis filter banks is drawn with matlab software error analysis is carried out the result of the analysis verifies the correctness and validity of this method six channel filter banks that is designed with this method is used to process an audio file and real time audio signal on matlab simulink the output signal reconstructed the input signal better it verifies the correctness of this method and the practicality of filter banks 西北师范大学硕士学位论文 iv key words multriate cosine modulated filter banks prototype filter analysis filter banks synthesis filter banks near perfect reconstruction 西北师范大学硕士学位论文 i 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中 不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得西北师范大 学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名 日期 关于论文使用授权的说明关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留 使用学位论文的规定 即 学 校有权保留送交论文的复印件 允许论文被查阅和借阅 学校可以公布论 文的全部或部分内容 可以采用影印 缩印或其他复制手段保存论文 保密的论文在解密后应遵守此规定 签名 导师签名 日期 西北师范大学硕士学位论文 1 第一章第一章 绪论绪论 1 1 多速率滤波器组的作用多速率滤波器组的作用 在对有些数字信号的处理中 常常需要改变数字信号的采样速率 例如 对窄带带 通信号 若原采样速率过高 可通过降采样来减少数据冗余 降低计算量 而对过采样 a d 变换等应用 通过对信号的升采样可获得更好的性能 还有些数字系统中存在不同 采样速率的数字信号 因此需要将一种速率的信号转换为另一种速率的等效信号 数字 信号的采样率变换可以用两种方法来实现 第一种方法是先由数字信号 x n 重构出模拟 信号 a x t 再用所需的速率对其再采样得到 x n 但该方法不可取 因为实际实现时 非理想的重构滤波器 d a 变换和 a d 变换等都会引入误差 第二种方法是完全在数字 域实现采样率的变换 它显然可克服第一种方法的缺点 是本文主要介绍的内容 这种 方法主要使用多采样率滤波器组 或者多速率滤波器组 1 滤波器组是将一组具有低通 带通和高通特性的滤波器通过适当配置来完成信号的 谱分析和谱合成的滤波器 这些滤波器有共同的输入或输出 分别对应于分析滤波器组 和综合滤波器组 滤波器组被广泛应用于音频和图像的子带编解码 2 多载波通信 数 字通信的复用转换等应用中 1 2 多速率滤波器组的研究发展多速率滤波器组的研究发展 早在 20 世纪 70 年代中期 子带数字信号处理的概念就被提出来 主要目的是为了 减少计算复杂度 减少对传输速率的要求和节约存储单元 3 1980 年 johnston 4 提出了 一种两通道正交镜像滤波器组 quadrate mirror filter 简称 qmf 它可以完全消除混迭 失真和相位失真 只存在微小的幅度失真 5 这使子带滤波器组开始逐渐受到人们的关 注 到了 1986 年 smith 和 barnwell 6 提出了共轭正交滤波器组 conjugate quadrate mirror filter 简称 cqf 首次实现了完全重构 接着 在 1987 年滤波器组的发展取得 重大突破 vaidyanathan 7 系统地提出了 m 通道正交滤波器组理论 引入了多相位 polyphase 分解的方法 对滤波器组进行分析和设计 极大地简化了滤波器组设计的思 想 为滤波器组的实现提供了一种可靠的结构 1992 年 koilpillai r d 8 给出了余弦 调制 cosine modulated filter bank 简称 cmfb 的 m 带滤波器组的完全重构条件 这 也是本文研究的重点 这些工作不但极大的推动了多速率滤波器组理论的研究 同时 西北师范大学硕士学位论文 2 还为后续的深入研究提供了丰富的理论基础 随着子带滤波器组理论的逐渐成熟 出现了各种类型的滤波器组 研究表明 有实 际意义的两通道的完全重构线性相位正交滤波器组是不存在的 也就是说功率互补条件 和线性相位条件是互不相容的 nguyen 和 vaidyanathan 9 在 1989 年提出了一种双正交 两通道的线性相位滤波器组 1990 年 他们又提出了 m 带线性相位滤波器组 还相应的 给出了一种格型分解算法 10 soman vaidyanathan 和 nguyen 在 1993 年提出了 m 通道 线性相位正交滤波器组的理论 11 tran t d 12 研究了任意长度 任意通道的线性相位 滤波器组的理论 结构 设计方法以及在图像处理中的应用 另一个研究的热点是非均匀滤波器组理论 所谓的非均匀 是指滤波器组的频带划 分不是均匀的 因此这时的采样率就不是整数而是分数 在很多应用中 需要非均匀滤 波器组 比如在图像变换中 我们常常将图像分解成低频分量和高频分量 经过多级分 解以后 这里的 低频 和 高频 并不是严格的按照 2 频率划分的 这里的 低频 部分占有更宽的频带范围 这样采用非均匀的滤波器组经过一次分解就可以完成 然后 再根据各子带的特点进行压缩 编码 显然会更有效率 但是由于这种非均匀的频带划 分 使得整个滤波器组的完全重构特性难以保证 1986 年 cox 13 提出用两个多通道均 匀滤波器合并设计非均匀滤波器组的思想 但是当时完全重构的多通道滤波器组还没有 很好的设计方法 所以他得到的是伪 qmf 非均匀滤波器组 hoang p q 和 vaidyanathan p p 14 在 1989年提出了完全重构的非均匀滤波器组理论 给出了消除混迭分量的条件 但没有给出设计方法 1991 年 nayebi 15 k 等人提出了非均匀滤波器组的时域设计方 法 1993 年 kovacevic j 和 vetterli m 16 在他们发表的文章中给出了两个变换定理 将 内插 抽取器和滤波器位置等效互换 引入多相位分析 获得一个等效的滤波器 从而简 化了分析和设计 1995 年 wada shigeo 17 提出了在频域中设计非均匀滤波器组的方法 在确定各滤波器的中心频率点和带宽后 单独设计每一个滤波器 以完全重构作为目标 函数用 quasi newton 方法优化 此方法可以得到线性相位的非均匀滤波组 但设计过 程复杂 而且不易得到频率特性较好的滤波器 所得到的滤波器组是非完全重构的 1977 年 chen t qiu l 和 bai e 18 探讨了通用非均匀滤波器组的架构和应用问题 同年 li j nguyen t q 和 tantaratana s 19 发表了近似完全重构的非均匀滤波器组设计方法 他们将非均匀滤波器组等效变换成均匀滤波器组 然后利用 cmfb 方法设计 lee j j 和 lee 20 提出合并相邻 cmfb 通道方法设计了非均匀滤波器组 b g kok c w 21 等进 一步总结此方法 提出了非均匀调制滤波器组的概念 给出了完全重构的条件 利用均 匀调制滤波器合成得到 这是设计 m 带非均匀滤波器组的较好方法 1999 年 sony j 22 西北师范大学硕士学位论文 3 等指出了非均匀滤波器组存在的一些问题 分析了任意整数抽取因子的非均匀滤波器组 完全重构必要条件 2000 年 chan s c 23 提出了基于两级合并结构和 cmfb 的完全 重构非均匀滤波器组设计方法 1 3 多速率滤波器组的应用多速率滤波器组的应用 1 在语音和图像编码中的应用 子带滤波器组最早的应用就是在语音和图像编码中 各种滤波器组多数是围绕提高 编码效率 降低滤波器组时延 减少恢复信号的混叠成分和相位失真及幅度失真目的出 现的 特别是为了适用于图像处理 出现了各种线性相位的滤波器组结构和设计方法 最优正交变换编码和正交子带编码器优化的一般理论框架是这方面应用最好的理论依 据 2 数字多路器 多个输入信号分别经过上采样器和合成滤波器组合成一个信号 在同一个信道上发 送到接收方 接收方经过分析滤波器和下采样器 完成信号的恢复 这个系统完成了时 分到频分的双向转换 这种数字多路器广泛应用于多用户通信 信道复用和 cdma 等 电话传输的数字多路器是建立在 dft 调制滤波器组的基础之上的 多路器中最主要的 问题是交叉干扰 幅度和相位失真 随着多速率滤波器组的理论和设计技术的成熟 提 出了完全重构的多路器 3 cdma 通信方面的应用 滤波器组在通信方面的应用主要是两个方面 1 通信中干扰的抑制 2 cdma 的扩 频码设计 扩频通信是当今世界通信发展的主流 但它与其他通信方式一样也受到各种 干扰的影响 其中最主要的干扰源是码间干扰 多址干扰和窄带干扰 用滤波器组抑制 窄带干扰是在频域内处理信号 在 1989 年 davidovici s 24 提出了用 dft 变换方法消除 窄带干扰 其算法过程是用子带滤波器分解接收信号 确定窄带干扰所处的频段后 在 频域用切除器消除干扰 然后重构信号 1 4 本文的主要工作及结构安排本文的主要工作及结构安排 1 研究了多速率滤波器组的时域及频域构成的基本理论 其中重点研究了余弦调 制滤波器组的设计方法 并且具体介绍了一种原型滤波器的优化方法 并用实例验证了 该方法的可行性和优越性 西北师范大学硕士学位论文 4 2 把用余弦调制设计的三通道滤波器组运用于两个音频实例中 一个例子为对音 频文件进行处理 另一个例子为对实时的音频信号进行处理 在 matlab simulink 中进行 了仿真 且都达到了较好的效果 本文的结构安排 第一章为绪论 引入了多速率滤波器组 及它的研究现状和应用 第二章介绍了多速率滤波器组的基础知识 阐述了抽取 内插 多相分解和数字滤 波器组等一系列重要的概念 详细分析了它们在时域和频域中的输入和输出关系 这些 知识是本论文工作的基础 第三章在引入调制法设计 m 通道滤波器下 介绍了余弦调制滤波器组的理论及该理 论下的余弦调制滤波器组的构造方法 给出了消除失真的条件 第四章给出了一种基于单参数的线性迭代优化方法 通过此法得到的原型滤波器经 过余弦调制即可得到线性相位 高阻带衰减和低实现成本的滤波器组 并且给出了详细 的设计步骤 给出了实例 验证了该方法的优越性 第五章利用上面介绍的方法设计了三通道的滤波器组 并把该滤波器组应用于音频 中 在 matlab simulink 中进行仿真 获得良好效果 西北师范大学硕士学位论文 5 第二章第二章 多速率滤波器组的基本理论多速率滤波器组的基本理论 2 1 多速率滤波器组多速率滤波器组 图 2 1 多速率滤波器组基本结构 j i h e 2 m 2 图 2 2 分析滤波器组的频率响应 多速率滤波器组的基本结构如上图2 1所示 它也被称为 分析 合成 滤波器组系统 图中的 i h z 01im 称为分析滤波器组 i g z 01im 称为合成滤波器组 m 和m 分别是抽取器和内插器 信号 x n 通过分析滤波器组 i h z 分解成 m 个子带信号 i y n 然后针对各子带信 号的特点分别进行处理 例如信号的压缩 编码传输等 处理后 再经过合成滤波器组 i g z 对子带信号进行合成 重构信号 x n 将 x n 通过 i h z分裂成 m 个子带信号 子带信号的带宽将是原来的 1 m 因此它 们的抽样率可降低 m 倍 为了恢复信号 合成滤波器组 i g z之前应加上 m 倍的插值器 i h z 的作用一方面是将 x n 分成 m 个子带信号 另一方面是作为抽取前的抗混叠滤波 器 i g z 的作用一方面将信号重建 另一方面是作为插值后的去除映像滤波器 显然 上述的处理方法可以提高信号处理的效率 将一个信号分解成许多子信号是 信号处理中常用的方法 例如 设 m 2 那么图 2 2 中 0 hz 和 1 h z 的频率特性分别为 0 2 和 2 前者为低频后者为高频 设得到的 0 x n 是 x n 的低频部分 1 x n 0 hz 1 h z 1 g z 1 m gz m m m m m m 0 g z 1 m hz x n 0 y n 1 y n 1 m yn 0 y n 1 y n 1 m yn x n 西北师范大学硕士学位论文 6 是高频部分 若 x n 是一低频信号 其抽样频率为 20khz 即其大多能量集中 0 x n 内 而在 1 x n 含有很少信号能量 每个采样需 16bit 量化 这样数据率为 320kbits s 如果 对 0 x n 仍 16bit 量化 子带 1 x n 具有较少的能量 只用 4bit 量化 这样总的数据量为 160 40 200kbits s 如图 2 1 信号 x n 经分解 处理和综合得到 x n 希望 x n x n 然而这个要 求是非常困难的 如果子带滤波器组的输入输出之间有 x n x n d 的关系 即输出 是输入的纯延时 d 为延时的采样数 则称为完全重构 perfect reconstruction 简称 pr 系统 此处 我们不考虑由于信号的编码和处理算法所带来的失真 仅从滤波器组上考 虑 图 2 1 中 x n对 x n 的失真主要来自以下方面 1 混叠失真 由抽取和内插产生的混叠和镜像带来的误差所造成 2 幅度失真 由滤波器幅频特性波纹产生的误差所造成 3 相位失真 由于滤波器相频特性非线性产生的误差所造成 4 子带量化误差 由编 解码产生的误差 与量化噪声相似 是一种无法完全消除 的误差 由于子带量化误差无法完全消除 所以本文重点讨论前三种失真 进行滤波器组设计时的首要任务就是要减小甚至消除各种失真的现象 各种各样的 滤波器组理论都是围绕着如何消除失真 得到更好处理性能展开的 图 2 1 给出了一个典型的 m 通道滤波器组的结构 其中的分析滤波器组和合成滤波 器组是需要根据要求进行设计的 除此之外 抽取器 内插器也是滤波器组中的一个关 键环节 其操作过程也是多速率滤波器组理论的基础 2 2 抽取器抽取器 抽取器只保留输出序列中那些采样序号为 m 的倍数的采样点 或者说是从输入序列 抽取出这样的采样点 这样通过抽取就可以达到降低采样率的目的 可以用图 2 3 a 所 示的输入 输出关系来描述 a b 图 2 3 a 抽取器 b 内插器 其时域关系为 时刻 n 的输出等于时刻 mn 的输入 图 2 4 即 m x n d y n m x n i yn 西北师范大学硕士学位论文 7 d ynx mn 2 1 这样的操作意味着信号在时域的压缩 因此在频域中信号的频谱将会产生相应的扩 展 见图 2 4 b 其输入输出的频率关系为 2 1 0 1 k j jm m k y ex e m 2 2 d yn 图 2 4 m 4 时的抽取操作 z 域关系为 1 1 0 1 mk m k y zx w z m 2 3 抽取的输出信号是 m 个信号的和 这些信号的频谱是输入信号频谱扩展 m 倍 相 位相差2 m 由此可见 抽取会引起混迭 除非输入信号归一化带宽小于 m 这 也是子带滤波器组产生混迭失真的根源 2 3 内插器内插器 一个典型的内插器可以用图 2 3 b 所示的输入 输出关系来描述 其实质是在输入信 号 x n 的相邻两个采样点之间插入 l 1 个零点 图 2 5 即 0 i n x y nl n 当整数 l 其它 2 4 不难看出 这样的操作意味着信号在时域中的扩展 因此其频谱会在频域中产生压 缩 西北师范大学硕士学位论文 8 内插操作的频域关系为 y jjl ex e 2 5 z 域关系 l y zx z 2 6 图 2 5 l 2 时的内插操作 j x e 2 2 a z 变换 j x e 2 2 j x e j xe b m 2 时内插 j y e 2 m 2 m c 抽取的压缩效应 图 2 6 内插 抽取操作的频域关系 由上述分析及图 2 6 c 可以看出输出信号的频谱是输入信号的频谱压缩 m 倍 并以 2 m 为周期重复 只要原始信号满足采样定理 则内插后便不会发生谱混迭 051 01 52 02 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 051 01 52 02 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 x n n n l yn 西北师范大学硕士学位论文 9 2 4 两个著名等效系统两个著名等效系统 noble 等效变换等效变换 1 y n 1 y n m h zm h z m a 2 y n 2 y n h z m h zm m b 图2 7 两个著名等效系统结构 如图 2 7 所示 一个 m 抽取器跟一个滤波器 h z 等效于一个滤波器 m h z跟一个 m 抽取器 一个滤波器h z 跟一个m 内插器等效于一个m 内插器跟一个 m h z滤波器 2 5 多相分解多相分解 2 5 1 多相分解的两种形式 多相分解 25 在多速率信号处理中是一种基本方法 使用它可以使抽取和内插提高 计算效率 在实现滤波器组时也非常有用 多相分解是将数字滤波器的传递函数 h z 分解成若干个不同相位的组合 设数字滤波器的传递函数为 n n h zh n z h z 可以分解为 nm n h zh nm z 1 1 nm n zh nmz 1 1 mnm n zh nmmz 式中 m 为整数 令 01 n l n e zh nml zlm 则 1 0 m lm l h zz e z 2 7 式2 7即为h z 的多相i型分解 l e z为多相分量 h n 与h nm 1 西北师范大学硕士学位论文 10 的关系如图2 8所示 图2 8 h n 与h nm 1 关系的示意图 下 面 介 绍 多 相 分 解 的 第 二 种 形 式 令 1 lml rez 式2 7变 成 1 1 0 m m lm l l h zzr z 2 8 式2 8即为h z 的多相 型分解 2 5 2内插滤波器和抽取滤波器的高效实现结构 图2 9中抽取滤波器电路中采样因子为m 2 按2 7式对h z 进行多相i型分解 抽取滤波器电路变形为图2 9 a 然后利用图2 7中的等效 图2 9 a 变形为图2 9 b 设h z 为n阶fir滤波器 其传统的直接实现结构如图2 9 c 图2 9 b 与图2 9 c 相 比是高效的实现结构 图2 9 c 在偶数时刻有输出 每一个输出需要n 1次乘法 n 次加法 并且这些运算要在一个单位时间内完成 单位时间指输入信号的一个采样周期 而图2 9 b 虽然每一个输出需要的运算量与直接实现电路相同 但这些运算可以在两个 单位时间内完成 因此mpus n 1 2 apus n 2 mpus为multiplications per unit time 的缩写 apus为additions per unit time的缩写 可见高效实现结构单位时间运算量为直 接实现单位时间运算量的一半 a 抽取滤波器多相分解 b 高效实现结构 c 直接实现结构图 图2 9 抽取滤波器的实现结构 h n h nm l l zm 2 1 e z 2 1 z x n y n y 2n 2 0 ez 1 z x n y 2n 2 2 0 e z 1 e z 2 x n h 0 h 1 h n y 2n 1 z 1 z 1 z 西北师范大学硕士学位论文 11 图2 10为内插因子为m 2 按照2 8式进行多相ii型分解 得到的高效实现结构 设h z 为n阶fir滤波器 其直接实现结构mpus 2 n 1 apus 2n 而高效实现 结构mpus n 1 apus n 1 图2 10 内插滤波器的高效实现结构 内插滤波器电路和抽取滤波器电路的内插因子和抽取因子不局限于2时 其前者多 相分解高效实现结构运算量为mpus n 1 m apus n m 后者多相分解高效实现结构 运算量为mpus n 1 apus n l 1 上述数字滤波器h z 没有限制其具有线性相位特性 在具有线性相位特性时 运算 量还可以进一步减小 26 2 6 多相结构的多相结构的 m 通道滤波器组通道滤波器组 将分析滤波器h k z和综合滤波器 k gz分别用多相分量表示 1 0 m jm kkj j hzzez 2 9 1 1 0 m mjm kjk j gzzrz 2 10 0 1 1 1 1 1 m m m hz h zz e z hzz 2 11 1 0 2 1 1 1 m m tm m f zz f zz rz fz 2 12 则m通道滤波器组可以用矩阵表示 分析器部分表示为式2 11 综合器部分表示为 式2 12 其中e z 和r z 分别是 kj ez和 jk rz k j 0 1 m 1定义的矩阵 经noble 等效变换 可以简化为图2 11 x n y 2n 1 z 2 2 0 r z 1 r z 0 y n 1 y n 西北师范大学硕士学位论文 12 m m m 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z x n m m m 图2 11 m通道滤波器组的等效变换 2 7 滤波器组完全重构条件滤波器组完全重构条件 在一些滤波器组的应用中 通常要求信号经分析器分解 再经综合器能恢复出原始 信号 这就是滤波器组的信号重构问题 27 如图2 11 如果r z e z i 其中i为单位矩阵 则图2 11等价于全通网络 因此 r z e z i是m通道滤波器组的完全重构条件 如果r z e z 是全通的延迟函数 即 r z e z zi 完全重构也成立 r z e z zi 是滤波器组完全重构的充分条件 体现的是信号经过分析器和综合 器联合作用后的一种结果 如果己知了分析器的系统函数 可以根据该条件推导出综合 器的系统函数 为滤波器组的设计提供了一种方法 同时 该条件并未限制滤波器组各 个通道之间的关系 所以如果单考虑是否满足完全重构这一条件来设计滤波器组的话 用非理想的滤波器也可以实现 换言之 各子带若存在混叠 仍能准确恢复出原始信号 2 8 正交镜像滤波器组正交镜像滤波器组 为了说明正交镜像的概念 现画出两通道的滤波器组如图2 12所示 图2 12 两通道qmf滤波器组 如果 0 j he 1 j h e 2 2 2 2 0 j g e 1 j g e j x e j x e 西北师范大学硕士学位论文 13 10 jj h ehe 则 0 j he 及 1 j h e 的幅频特性如图2 13所示 图2 13 两通道qmf滤波器组中滤波器的幅频特性 图2 14 理想m通道正交镜像滤波器组的幅频特性 0 j he 与 1 j h e 关于 2 镜像对称 所以称这种滤波器组为正交镜象滤波器 quadrature mirror filter 组 简称qmf滤波器组 这是qmf滤波器组的原始定义 对 于m个 通 道 的 滤 波 器 组 如 果 其 中 各 滤 波 器 j k he 具 有 2 0 j jjk m k hehe wwe 的关系 如图2 14所示 则也称之为qmf滤波器组 这 时己经不具有幅频特性对对称的性质 不过是一种大家习惯上的称呼而已 2 9 最大 速率 抽取最大 速率 抽取 在上述滤波器组中 其内插 抽取因子m等于通道数 如图1 1所示 称为最大 速 率 抽取滤波器组 或称为临界采样滤波器组 当m小于通道数 则此类滤波器组称 为过采样滤波器组 本文只讨论最大抽取滤波器组 2 2 f j k he 0 j he 1 j he 0011 1m 1m m m 2 m 2 m h 西北师范大学硕士学位论文 14 第三章第三章 余弦调制滤波器组余弦调制滤波器组 3 1 滤波器组的分类滤波器组的分类 1 m带滤波器组 自从vaidvanathan 28 在1987年引入了多相位 polyphase 分量分析滤波器组后 许 多学者开始了在这方面的研究 余弦调制m带滤波器组的出现是一次重要飞跃 得出 了完全重构条件并用格形结构进行了实现 大大简化了m带滤波器组 29 的设计而且出 现了类似fft的快速算法 即快速离散余弦变换 用调制的方法实现m带滤波器组的 方法得到广泛的应用 其中提出的设计方法有 非余弦任意正交调制的m带滤波器组 扩展高斯函数的余弦调制滤波器组 用dft调制的m带滤波器组等 2 线性相位滤波器组 在某些应用中 例如 图像的子带编码 希望滤波器的相位是线性的 这时需要设 计满足线性相位的滤波器组 线性相位一般是通过fir滤波器实现的 所以由fir滤波 器做原型滤波器的滤波器组得到了广泛的研究 自从1993年 m通道线性相位正交滤 波器组理论诞生以后 余弦调制滤波器组被延伸到线性相位滤波器组领域 从而大大简 化了线性相位滤波器组的设计 后来提出的用矩阵分解的方法设计线性相位的两通道滤 波器组使得设计更加简洁 任意长度任意通道的线性相位滤波器组的理论 结构 及设 计方法更具一般性 3 低延时的滤波器组 滤波器组对信号分解和重构 需要滤波计算 这增加了信号的延时 为了减少系统 的延时 许多学者研究出一类低延时完全重构的滤波器组 4 非均匀滤波器组 非均匀滤波器组是指每个子带通道的上 下采样因子是不同 在语音子带编码和自适 应子带滤波等应用方面 非均匀频率划分的滤波器组更受欢迎 目前 设计非均匀滤波 器组的主要问题是设计过程不仅相当复杂 实现代价非常之大 即使在滤波器组是非完 全重构的情况下 其频率特性也不是十分理想 30 5 主分量滤波器组 上述滤波器组的设计有两种准则 第一类是根据它的应用依据滤波器的频率划分为 西北师范大学硕士学位论文 15 准则 另一类是受小波理论的影响设计满足正则条件的滤波器组 还有一类是信号自适应 滤波器组 它是利用能量紧 energy compaction 简称ec 作为自适应准则 其目标是 设计滤波器组使得用较少子带恢复的感兴趣信号能够在 2 l意义下有很好的逼近 这一类 滤波器组被称为主分量滤波器组 6 过采样滤波器组 在上述滤波器组中 其上 下采样因子m等于通道数 如图2 1所示 称为最大速率 抽取滤波器组 或称为临界采样滤波器组 当m小于通道数 则此类滤波器组称为过 采样 over sampled 滤波器组 与临界采样滤波器组相比 过采样滤波器组有几大优点 1 增加了设计的自由度 完全重构条件比较容易满足 2 提高了系统抗噪声能力 3 可以 设计任意时延滤波器组 4 方便设计线性相位滤波器组 并且过采样滤波器组在多载波 通信等系统中也是有着非常重要的应用价值 此间 cvetkovic bolcskei hlawatsch和 helmut分别研究了过采样滤波器组的框架理论以及它的完全重构条件 31 32 33 3 2 调制滤波器组调制滤波器组 m通道滤波器组的设计有很多种方法 但总的说来 有两种 完全重构和近似重构 准确重构设计需要使用复杂的非线性化优化程序 而当子带数目很多时 滤波器的参数 也相应增多 近似重构中 很多滤波器组的设计方法都是在最优的准则下分别设计出m 个分析滤波器 然后按一定关系得出综合滤波器 一种简单的办法是只需设计出一个原 型滤波器 然后通过对其调制来得到m通道滤波器组 这样简化了设计并减少了复杂 性 本节先引出离散傅立叶变换 dft 滤波器组 它是一种复数调制滤波器组 我们先分析滤波器组某一条支路的特性 假设一个低通原型滤波器的单位抽样响应 为h n 它的z变换为h z 通带为 mm 设图1 1中第k条支路上的分析 滤波器为 k hz 并设 2 0 1 1 jkn m k h nh n ekm 3 1 则 2 j kmk mk hzh zeh zw 3 2 可以看出m个分析滤波器是由h n 通过复数调制来得到 调制因子是 2 jkn m e 相应的频谱是对 j h e 做均匀移位得到的 每次移位2 m 这m个分析滤波器是一 个最大均匀抽取滤波器组 根据采样定理 为防止 j k he 之间有混叠 j h e 的截止 频率应小于 m 设图1 1表示的是一dft滤波器组 我们来讨论一下该滤波器组的计算问题 不失 西北师范大学硕士学位论文 16 一般性 对于其中的第k条支路 其分析滤波器如图3 1所示 图3 1 m通道滤波器组的第k条支路 由第二章的讨论可得 kk v nx mn 3 3 2 jkm m kk m x nx nh nx nm h m e 3 4 2 jkm m k m v nx mnm h m e 3 5 事实上 利用调制方法设计滤波器组的优点不仅由于其设计方法简单有效 而且它 可以利用快速傅里叶变换 减少运算量 下面就是利用多相结构理论和dft减少运算 量的方法 利用多相结构 按照上一章所述 将m倍抽取移到滤波器的前面 得到的滤波器 组如图3 2所示 图中 图3 2 m通道dft滤波器组 0 1 1mmrl rlm l x nx mnl 3 6 l p nh nl 3 7 lll t nx np n 3 8 1 2 0 0 1 1 m jkl m kl l v nt n ekm 3 9 由图3 2可以看出 在求出 1 t n后 求 l v n时可以利用dft依次求出 节约了时 间 我们设原型滤波器的长度为n 对于m通道的滤波器组 那么 l p n的长度为n m 那么在某时刻将 l t n l 0 1 m 1部求出所需乘法 n m m n次 l t n作一个m点 的dft 所需乘法次数为m lgm 2 所以图3 2所需乘法次数的总数为 n m 1gm 2 k hz m k x n k v nx n m m m 0 pn 1 pn 1 m pn m点 dft 矩 阵 m w x n 0 x n 1 x n 1 m xn 0 tn 1 tn 1 m tn 0 vn 1 vn 1 m vn 1 z 1 z 1 z 西北师范大学硕士学位论文 17 由于 k km hzh zw 即每一个分析滤波器都是由h z 依次移位得到的 因此设计 时只需设计一个原型低通滤波器h z 就可 假设m 8 h n 的长度是48 则 i h n i 0 1 7的长度也是48 对图3 1 假定m倍 抽取器已移到滤波器之前 如图3 2的一条支路 那么 计算出一个 k v n需要48次乘 法 将之全部求出需要384次乘法 按图3 2的结构 由于 i p n i 0 1 7 的长度均为48 8 6 将n时刻的 l t n l 0 1 7全部求出所需乘法是48次 再将 l t n l 0 1 7作一8点的dft运算 所需乘法8 lg8 2 12次 这样完成 图3 2的运算量一共为48 12 60次 由上可以看出 设计dft滤波器组的方法简单 而且可以用dft进行运算 使运 算量大大减少 但是它是一种复数调制滤波器组 这样对实信号经过分析滤波器处理 子带信号会变成复信号 下一节介绍一种实数调制滤波器组 余弦调制滤波器组 cosine modulated filter banks cmfb 3 3 余弦调制滤波器组余弦调制滤波器组 20世纪80年代初 nussbaumer h j 34 首先提出了伪qmf的概念 后来rothweiler j 35 chu p l 36 等又对内容作了发展 形成了基于 余弦调制 来设计m通道滤波器组 的方法 vaidyanathan p p 对该方法作了较为详细的讨论 余弦调制滤波器组适合硬件 实现 且有如下特点 1 设计过程简单 只需优化设计原型低通滤波器 2 分析器和综合器等长 系数都是实数 且子带信号都是实信号 3 在实现余弦调制滤波器组时 与dft 离散傅立叶变换 滤波器组类似 可以利用 dct 离散余弦 变换来实现 4 所需的乘法次数少 资源占用少 实现成本低 余弦调制滤波器组的总的思路是 若给一定个实序列的低通原型滤波器h n 令 2 0 j nm hnh n e 3 10 2 0 j nm hnh n e 3 11 将二者结合起来即可得到一个实的滤波器 000 2 cos 2 n h nhnhnh n m 3 12 将h z 分别作 21 2km 的频率移位 然后相结合即可得到 西北师范大学硕士学位论文 18 21 2 cos 0 1 1 2 k kn h nh nkm m 3 13 从而产生m个实的且是均匀抽取的分析滤波器组 3 3 1滤波器组构造过程 给定一个低通原型滤波器h n 且h n 是实序列的 因此其幅度响应是关于0 对称的 令其截止频率为 2m 因此带宽为 m 令 2 0 1 21 kn km p nh n wkm 3 14 式中 2 2 2 jm m we 则对应的z变换和频率响应分别为 2 0 1 21 n km p zh zwkm 3 15 0 1 21 jjkm k p eh ekm 3 16 由于 0 1 21 k p n km 仍然是复序列 因此有 2 0 1 21 jj kmk p epekm 3 17 即 j k p e 和 2 j mk pe 是关于0 对称的 所以将 k p n和 2 mk pn 相结合 产生 新的滤波器是实系数的 其带宽为2 m 但 0 p n的带宽仍然是 m 为了保证分析 滤波器组具有相同的带宽 将 3 14 式的移位方式稍作改变 可以得到如下一组新的滤 波器 0 5 2 kn km q nh n w k 0 1 2m 1 3 18 0 5 2 kn km q zh zw k 0 1 2m 1 3 19 0 5 jjkm k q eh e k 0 1 2m 1 3 20 并且 21 jj kmk q eqe 将 k q n和 2 m k qn 相结合 令 0 5 2 k kkmkk uzc h zwc q z 3 21 0 5 221 k kkmkmk v zc h zwc qz 3 22 式中 k c是模为1的常数 令 kkkkk hza uza v z k 0 1 m 1 3 23 式中 k a也是模为1的常数 由于 1 0 n n n h zh n z 是fir实系数低通滤波器 那么由式 3 23 得到的 西北师范大学硕士学位论文 19 1 0 n n kk n hzh n z k 0 1 m 1 也是fir的 且他们具有相同的阶次 并且由于 kkkk u v c a的共扼特性 k h n也是实 系数的 显然 0 hz是低通的 1 m hz 是高通的 其余则是带通的 可选择 kkkkk gzb uzb v z k 0 1 m 1 3 24 作为综合滤波器 式中 k b是模为1的常数 01 m g zgz 和 01 m hzhz 具有相同的幅频响应 式 3 21 3 24 保留了三个常数 即 kkk c a b待确定 下面 研究如何实现混叠抵消即去除幅度失真和相位失真的问题 3 3 2 m通道滤波器组中的基本关系 根据图2 11 可得如下各式 kk xx z hz 3 25 1 0 1 0 1 1 m ll mll m mkm l m ll m mkk l x w zh w z m v zx w z m 3 26 1 0 1 m mll kkmkm l uzv zx zwhzw m 3 27 1 0 11 00 1 1 m kk l mm ll