高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第一章 1.3.2 球的体积和表面积课件 新人教A版必修2.ppt

1 3 2球的体积和表面积 球的表面积和体积 4 r2 判断 正确的打 错误的打 1 决定球的大小的因素是球的半径 2 球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径 3 直径为2的球的体积是直径为1的球的体积的2倍 4 球的体积v与球的表面积s的关系为v s 提示 1 正确 因为球的大小只与球的半径有关 2 正确 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆 大圆的半径等于球的半径 3 错误 因为两个球的体积的比等于相应的半径的比的立方 故直径为2的球的体积是直径为1的球的体积的8倍 4 正确 由于答案 1 2 3 4 知识点拨 1 对球的三点说明 1 球的表面是曲面 不能展开在一个平面上 因此没有展开图 2 球既是中心对称的几何体 又是轴对称的几何体 它的任何截面均为圆面 它的三视图也都是圆 3 球是一个封闭的几何体 既包括球的表面 又包括球面所包围的空间 2 球的表面积和体积与半径之间的函数关系从公式看 球的表面积和体积只与球的半径有关 给定r都有惟一确定的s和v与之对应 故表面积和体积是关于r的函数 3 球的表面积和体积计算中蕴涵的数学思想 1 函数方程思想 球的半径r 球的表面积s 球的体积v三个量 知一求二 2 转化思想 空间问题平面化 利用球半径 截面圆半径 球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径 类型一球的表面积与体积 典型例题 1 球的体积是 则此球的表面积是 a 12 b 16 c d 2 两个球的体积之比是8 27 那么这两个球的表面积之比是 a 2 3b 4 9c d 3 两个半径为1的铁球 熔化成一个球 则这个大球的半径为 解题探究 1 求球的体积和表面积的关键是什么 2 两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系 3 两个铁球熔化为一个球后 哪一个量是不变的 探究提示 1 关键是确定球的半径 2 两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方 表面积之比等于两个球的半径比的平方 3 体积不变 即两个小球的体积和应与大球的体积相同 解析 1 选b 故r 2 球的表面积为4 r2 16 2 选b 体积之比是8 27 则半径之比是2 3 表面积之比是4 9 3 两个小铁球的体积为2 13 即大铁球的体积所以半径为答案 拓展提升 求球的表面积与体积的一个关键和两个结论 1 一个关键把握住球的表面积公式s球 4 r2 球的体积公式v球 是计算球的表面积和体积的关键 半径与球心是确定球的条件 把握住公式 球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了 2 两个结论 两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方 两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方 变式训练 球的大圆面积扩大到原来的4倍 那么球的表面积扩大到原来的 a 16倍b 2倍c 4倍d 倍 解析 选c 球的大圆面积扩大到原来的4倍 则半径扩大到原来的2倍 所以球的表面积也扩大到原来的4倍 类型二根据三视图计算球的表面积与体积 典型例题 1 2012 广东高考 某几何体的三视图如图所示 它的体积为 a 72 b 48 c 30 d 24 2 某个几何体的三视图如图所示 单位 m 求该几何体的表面积与体积 解题探究 1 题1中由三视图可得到什么样的几何体 2 题2中由三视图可得到什么样的几何体 探究提示 1 是一个由一个半球和倒立的圆锥组成的几何体 2 是由半径为1的半球和一个正方体组成的几何体 解析 1 选c 由三视图可知是一个由一个半球和倒立的圆锥组成的几何体 2 由三视图知 此几何体是一个由半径为1的半球和一个棱长为2的正方体组成的几何体 1 s 4 12 6 2 2 12 24 m2 2 v v半球 v正方体 13 23 8 m3 拓展提升 由三视图计算体积与表面积的关注点 1 由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积 最重要的是还原组合体 并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义 2 根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积 此时要特别注意球的三视图都是直径相同的圆 3 计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接 避免重叠和交叉 变式训练 2012 天津高考 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积为 m3 解题指南 由三视图可知此几何体是由上部是一个长方体和下部两个相切的球组成的组合体 解析 由三视图可知 此几何体的上面是一个长 宽 高分别为6 3 1的长方体 下面是两个半径为的相切的球体 所以所求的体积应为两个球的体积与长方体的体积之和 即v 2v球 v长方体 2 3 6 3 1 18 9 答案 18 9 类型三有关球的切 接问题 典型例题 1 设长方体的长 宽 高分别为2a a a 其顶点都在一个球面上 该球的表面积为 a 3 a2b 6 a2c 2 a2d 24 a22 一个半球内切于圆锥 半球的底面在圆锥底面内 求证 圆锥侧面积与半球面面积之比等于圆锥体积与半球体积之比 解题探究 1 球的内接长方体的体对角线与球的直径有何关系 2 圆锥的侧面积公式与圆锥的哪几个量有关系 探究提示 1 长方体的体对角线等于其外接球的直径 2 由侧面积公式s圆锥侧 r l可知 圆锥的侧面积与底面圆半径和圆锥的母线长有关 解析 1 选b 由长方体的长 宽 高分别为2a a a 则长方体的体对角线为与外接球的直径相等 故2r a s球 4 r2 6 a2 2 设圆锥的底面圆半径为r 母线长为l 半球半径为r 则s圆锥侧 r l s半球面 2 r2 v圆锥 v半球 因为s圆锥侧 s半球面 v圆锥 v半球 所以s圆锥侧 s半球面 v圆锥 v半球 互动探究 若题1中的长方体改为 三棱锥的三条侧棱两两垂直 且其长为2a a a 能由本例1的解法得到此三棱锥的外接球的体积吗 解析 由题意 此三棱锥的外接球与以三条两两垂直的侧棱为棱的长方体的外接球相同 故2r a 拓展提升 常见的几何体与球的切 接问题的解决策略 1 处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时 要注意球心的位置与几何体的关系 一般情况下 由于球的对称性 球心总在几何体的特殊位置 比如中心 对角线的中点等 2 解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径 关键是根据 切点 和 接点 作出轴截面图 把空间问题转化为平面问题来计算 3 此类问题的具体解题流程 变式训练 正方体的内切球和外接球的半径之比为 a 1b 2c 2 d 3 解析 选d 设正方体的棱长为a 则内切球半径为外接球半径为所以半径之比为1 3 规范解答 有关球的计算问题 典例 条件分析 规范解答 设圆锥的底面半径为r 高为h 母线长为l 球的半径为r 2分则由题意得把r 2r代入 r2 h r3得 2r 2 h r3 所以r h r 2h 6分 所以 8分所以s圆锥侧 rl 2h 2 h2 s球 4 r2 4 h2 10分所以 故圆锥侧面积与球面面积之比为 2 12分 失分警示 防范措施 1 方程思想的运用在解答几何体的表面积和体积的问题时要灵活运用方程的思想 如本例中 处的解答 2 已知条件的挖掘解题时要仔细分析题目条件 找出有关量之间的关系 并选择一个与其他量联系最广的量 并用这个量表示其他量 如本例 处的解答 类题试解 若两球的表面积之差为84 它们的半径之和为7 求两球的体积之差 解析 设两个球的半径分别为r r r r 则由题意得故两球的体积之差为 53 23 156 1 若将气球的半径扩大到原来的3倍 则它的表面积增大到原来的 a 2倍b 3倍c 9倍d 16倍 解析 选c 设气球原来的半径为r 表面积为s 根据题意 扩大后气球的半径变为3r s 4 3r 2 9 4 r2 9s 2 球的体积为d 则球的直径是 解析 选d 因为d r3 所以r 故球的直径为 3 一个正方体内接于表面积为4 的球 则正方体的表面积等于 解析 选b 球的表面积4 r2 4 故r 1 正方体的棱长a 所以其表面积为6 2 8 4 球的大圆面积是36 cm2 则这个球的体积是 解析 由 r2 36 得r 6cm 球的体积v 63 288 cm3 答案 288 cm3 5 2013 新课标全国卷 已知正四棱锥o abcd的体积为底面边长为 则以o为球心 oa为半径的球的表面积为 解