高三数学一轮复习 8.7双曲线课件 .ppt

第七节双曲线 知识梳理 1 双曲线的定义 2a f1f2 2 双曲线的标准方程和几何性质 x a或x a y a或y a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 a 0 a 0 0 a 0 a 1 2a 2b a2 b2 考点自测 1 思考 给出下列命题 平面内到点f1 0 4 f2 0 4 距离之差等于6的点的轨迹是双曲线 平面内到点f1 0 4 f2 0 4 距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线 方程表示焦点在x轴上的双曲线 双曲线方程的渐近线方程是即 等轴双曲线的渐近线互相垂直 离心率等于其中正确的是 a b c d 解析 选d 错误 由双曲线的定义知 应为双曲线的一支 而非双曲线的全部 错误 因为 mf1 mf2 8 f1f2 表示的轨迹为两条射线 错误 当m 0 n 0时表示焦点在x轴上的双曲线 而m 0 n 0时则表示焦点在y轴上的双曲线 正确 因为的渐近线方程为即所以当 0时 的渐近线方程为即即同理当 0 的渐近线方程为x2 y2 0 即y x 显然两直线互相垂直 其实轴 虚轴长均为2a 所以所以 2 已知双曲线方程为则此双曲线的右焦点坐标为 a 1 0 b 5 0 c 7 0 d 0 解析 选d 双曲线方程为其中a2 4 b2 3 焦点在x轴上 此双曲线的右焦点坐标为 3 设f1 f2分别是双曲线的左 右焦点 若点p在双曲线上 且 pf1 5 则 pf2 a 5b 3c 7d 3或7 解析 选d 因为 pf1 pf2 2 所以 pf2 7或3 4 若f 5 0 是双曲线 m是常数 的一个焦点 则m的值为 a 3b 5c 7d 9 解析 选d 由题意16 m 25 所以m 9 5 已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y 4x 则该双曲线的离心率为 解析 因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y 4x 所以b 4a c2 17a2 答案 考点1双曲线的定义及其应用 典例1 1 已知f1 f2为双曲线c x2 y2 2的左 右焦点 点p在c上 pf1 2 pf2 则cos f1pf2 2 已知双曲线的左 右焦点为f1 f2 点p为左支上一点 且满足 f1pf2 60 则 f1pf2的面积为 3 2013 辽宁高考 已知f为双曲线c 的左焦点 p q为c上的点 若pq的长等于虚轴长的2倍 点a 5 0 在线段pq上 则 pqf的周长为 解题视点 1 由双曲线的定义及 pf1 2 pf2 可求出 pf1 pf2 的长 在 f1pf2中利用余弦定理即可求出cos f1pf2的值 2 因为 f1pf2 60 只要想法求出 pf1 与 pf2 的乘积即可 3 可想法求出 fp fq 再求周长 规范解答 1 选c 双曲线的方程为所以a bc 2 因为 pf1 2 pf2 所以点p在双曲线的右支上 则有 pf1 pf2 2a 所以 pf2 pf1 所以cos f1pf2 选c 2 设 pf1 m pf2 n 所以所以mn 4 所以答案 3 显然 点a为双曲线的右焦点 p q都在双曲线的右支上 pq 16 由双曲线的定义得 fp pa 6 fq qa 6 两式相加 fp fq pa qa 12 即 fp fq pq 12 所以 fp fq 28 所以 pqf的周长为 fp fq pq 44 答案 44 互动探究 本例题 2 中若将条件 f1pf2 60 改为 0 则结果如何 解析 由得 pf1 pf2 即 f1pf2为直角三角形 设 pf1 m pf2 n 则有因此mn 2 所以答案 1 易错警示 使用双曲线定义时的易错点本例第 1 题在求解时要注意判断p的位置 否则容易得到错误的结论 在使用双曲线定义时 一定要注意点在双曲线的哪一支上 距离之差是正值还是负值 规律方法 焦点三角形 中常用到的知识点及技巧 1 常用知识点 在 焦点三角形 中 正弦定理 余弦定理 双曲线的定义经常使用 2 技巧 经常结合 pf1 pf2 2a 运用平方的方法 建立它与 pf1 pf2 的联系 变式训练 1 已知m 2 0 n 2 0 pm pn 3 则动点p的轨迹是 a 双曲线b 双曲线左支c 双曲线右支d 一条射线 解析 选c 因为 pm pn 3 pn 所以点p的轨迹为双曲线的右支 2 双曲线的焦点分别为f1 f2 过f1作直线交双曲线的左支于a b两点 且 ab m 则 abf2的周长为 解析 由 af2 bf2 af1 bf1 4a 又 af1 bf1 ab m 所以 af2 bf2 4a m 那么 abf2的周长为 af2 bf2 ab 4a 2m 答案 4a 2m 加固训练 1 2013 成都模拟 已知定点a b 且 ab 4 动点p满足 pa pb 3 则 pa 的最小值为 解析 选c 由 pa pb 3知p点的轨迹是以a b为焦点的双曲线一支 因为2a 3 2c 4 所以所以 pa min 故选c 2 2013 广州模拟 已知f1 f2是双曲线的焦点 过焦点f1的直线与双曲线左支交于p q两点 那么 pf2 qf2 pq 的值是 解析 因为双曲线方程为所以2a 8 由双曲线的定义得 pf2 pf1 2a 8 qf2 qf1 2a 8 得 pf2 qf2 pf1 qf1 16 所以 pf2 qf2 pq 16 答案 16 考点2双曲线的标准方程和几何性质 典例2 1 2013 新课标全国卷 已知双曲线c a 0 b 0 的离心率为则c的渐近线方程为 2 2013 湖北高考 已知0 则双曲线c1 与c2 的 a 实轴长相等b 虚轴长相等c 离心率相等d 焦距相等 解题视点 1 根据题目中给出的离心率确定a与c之间的关系 再利用c2 a2 b2确定a与b之间的关系 即可求出渐近线方程 2 分别表示出双曲线c1和c2的a2 b2 c2 e2 最后比较即可 规范解答 1 选c 离心率所以由双曲线方程知焦点在x轴上 故渐近线方程为 2 选d 双曲线c1中a2 sin2 b2 cos2 c2 1 e2 双曲线c2中a2 cos2 b2 sin2 c2 1 e2 所以焦距相等 规律方法 1 双曲线的离心率与渐近线斜率的关系 1 已知双曲线的离心率e 则有但要注意焦点位置的判断 2 已知双曲线的渐近线方程为y mx m 0 求离心率时 要注意双曲线焦点位置 焦点不同结果可能不同 提醒 在处理双曲线的离心率问题时 要注意双曲线离心率e 1这个条件 2 双曲线的几何性质的三大关注点 1 六点 两焦点 两顶点 两虚轴端点 2 四线 两对称轴 实 虚轴 两渐近线 3 两形 中心 顶点 虚轴端点构成的三角形 双曲线上的一点 不包括顶点 与两焦点构成的焦点三角形 双曲线的方程的设法 1 当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时 其方程可设为ax2 by2 1 ab 0 这种形式在解题时更简便 2 当已知双曲线的渐近线方程bx ay 0 求双曲线方程时 可设双曲线方程为b2x2 a2y2 0 3 与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为 变式训练 1 2014 西安模拟 已知双曲线 a 0 b 0 的一个焦点与抛物线y2 4x的焦点重合 且双曲线的离心率等于则该双曲线的方程为 解析 选d 因为抛物线y2 4x的焦点坐标为 1 0 所以双曲线的焦点为 1 0 即双曲线中c 1 又因为双曲线的离心率为所以即所以双曲线的方程为即 2 2014 绍兴模拟 已知双曲线 a 0 b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 过f2作双曲线一条渐近线的垂线 垂足为h 若f2h的中点在双曲线上 则双曲线的离心率为 解析 依题意得 双曲线的渐近线方程为所以f2h的方程为 f2h的中点a的坐标为代入双曲线方程得 答案 加固训练 1 与椭圆共焦点 且离心率互为倒数的双曲线方程是 解析 选a 椭圆的焦点为 0 2 0 2 由题意 令双曲线方程为则所以a 1 所以双曲线方程为 2 已知f1 f2是双曲线 a 0 b 0 的两焦点 以线段f1f2为边作正三角形mf1f2 若边mf1的中点p在双曲线上 则双曲线的离心率为 解析 选d 数形结合法 因为mf1的中点p在双曲线上 pf2 pf1 2a mf1f2为正三角形 边长都是2c 所以所以故选d 考点3双曲线与直线 圆及其他圆锥曲线的综合 考情 双曲线作为一种独特的圆锥曲线 在高考中与其他圆锥曲线的要求不同 双曲线与其他圆锥曲线结合成为高考命题的亮点 主要以选择题 填空题的形式出现 考查双曲线的标准方程 几何性质以及其他圆锥曲线的方程及几何性质 考查学生分析问题 解决问题的能力 高频考点通关 典例3 1 2013 浙江高考 如图 f1 f2是椭圆c1 与双曲线c2的公共焦点 a b分别是c1 c2在第二 四象限的公共点 若四边形af1bf2为矩形 则c2的离心率是 2 2014 金华模拟 点p是双曲线c1 与圆x2 y2 a2 b2的一个交点 且2 pf2f1 pf1f2 其中f1 f2分别为双曲线c1的左 右焦点 则双曲线c1的离心率为 解题视点 1 由已知条件求解双曲线中的a b c或是它们之间的关系 2 注意双曲线的焦点f1 f2是圆x2 y2 a2 b2直径的两个端点 因此 f1pf2为直角三角形 且 f1pf2 90 在rt f1pf2中注意 f1f2 2c pf2 pf1 c 进而可求出离心率 规范解答 1 选d 设双曲线实半轴长为a 焦半距为c af1 m af2 n 由题意知2mn m n 2 m2 n2 4 m n 2 m2 n2 2mn 8 2a m n 则双曲线的离心率故选d 2 选a 如图 因为双曲线c1 的焦点f1f2而圆x2 y2 a2 b2的半径因此 f1pf2为直角三角形 又2 pf2f1 pf1f2 所以 pf1f2 60 pf2f1 30 f1f2 2r 2c pf2 pf1 c 由双曲线的定义可知 pf2 pf1 双曲线的离心率 通关锦囊 特别提醒 双曲线与直线的位置关系 仅仅靠判别式判定容易出错 一定要注意数形结合及渐近线的斜率等 关注题型 通关题组 1 2014 温州模拟 已知椭圆c1与双曲线c2有共同的焦点f1 2 0 f2 2 0 椭圆的一个短轴端点为b 直线f1b与双曲线的一条渐近线平行 椭圆c1与双曲线c2的离心率分别为e1 e2 则e1 e2的取值范围为 a 2 b 4 c 4 d 2 解析 选d 设椭圆中的长 短半轴分别为a1 b1 双曲线中的实 虚半轴分别为a2 b2 则有 2 2014 台州模拟 过双曲线的左焦点f c 0 c 0 作圆的切线 切点为e 延长fe交双曲线右支于点p 若则双曲线的离心率为 解析 选c 设双曲线的右焦点为a 则故即 oe ap 所以e是pf的中点 所以 ap 2 oe 所以 pf 3a 在rt apf中 a2 3a 2 2c 2 即10a2 4c2 所以即离心率为选c 3 2012 福建高考 已知双曲线的右焦点与抛物线y2 12x的焦点重合 则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 a b c 3d 5 解析 选a 易求得抛物线y2 12x的焦点为 3 0 故双曲线的右焦点为 3 0 即c 3 故32 4 b2 所以b2 5 所以双曲线的渐近线方程为所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为 加固训练 1 2013 锦州模拟 已知双曲线e的中心为原点 f 3 0 是e的焦点 过f的直线l与e相交于a b两点 且ab的中点为n 12 15 则e的方程为 解析 选b 设a x1 y1 b x2 y2 双曲线方程为 a 0 b 0 ab过f 斜率因为 1 所以两式作差有 0 所以4b2 5a2 又因为a2 b2 9 所以a2 4 b2 5 故选b 2 2013 烟台模拟 已知双曲线的左顶点为a1 右焦点为f2 p为双曲线右支上一点 则的最小值为 a 2b c 1d 0 解析 选a 设点p x y 其中x 1 依题意得a1 1 0 f2 2 0 则有y2 3 x2 1 1 x y 2 x y x 1 x 2 y2 x2 3 x2 1 x 2 4x2 x 5 其中x 1 因此 当x 1时 取得最小值 2 选a 易错误区19 求双曲线离心率的易错点 典例 2014 天津模拟 已知双曲线的一条渐近线方程为则该双曲线的离心率为 解析 当m 0 n 0 时 当m