高中数学 1.3.1.1 第1课时 单调性课件 新人教A版必修1 .ppt

1 3函数的基本性质 1 3 1单调性与最大 小 值第1课时单调性 1 一次函数y x的图象特征是 自左向右 图象逐渐 y随x的增大而 二次函数y x2的图象特征是 自左向右 在 0 上 图象逐渐 y随x的增大而 在 0 上 图象逐渐 y随x的增大而 上升 增大 下降 减小 上升 增大 下降 下降 减小 减小 1 定义域为i的函数f x 的增减性d i 对任意x1 x2 d 增函数 减函数 2 函数的单调性与单调区间如果函数y f x 在区间d上是 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间d叫做y f x 的 增函数或减函数 单调区间 1 函数y x2的单调增区间为 a 0 b 0 c 0 d 解析 画出y x2的图象 可知函数在 0 上单调递增 答案 a 2 函数f x 在r上是减函数 则有 a f 3 f 5 b f 3 f 5 c f 3 f 5 d f 3 f 5 解析 f x 在r上递减 且3f 5 故选c 答案 c 3 如图所示 函数y f x 的单调递增区间有 递减区间有 解析 结合图象可知 函数y f x 在区间 2 0 1 上是减函数 在 2 0 及 1 上是增函数 答案 2 0 1 2 0 1 题后感悟 1 利用定义证明函数单调性步骤如下 2 利用定义证明函数的单调性时 常用的变形技巧有哪些 因式分解 当原函数是多项式函数时 作差后的变形通常进行因式分解 如f x x3 1 通分 当原函数是分式函数时 作差后往往进行通分 然后对分子进行因式分解 如本例 配方 当原函数是二次函数时 作差后可以考虑配方 便于判断符号 观察图象可知 函数y f x 在区间 5 5 上不具有单调性 但在区间 5 2 2 1 1 3 3 5 上具有单调性 解题过程 函数y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 上是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 题后感悟 1 利用图象研究函数的单调性是常用的解题方法 但要注意函数的定义域 2 写单调区间时 不连续的单调区间必须分开写 不能用 符号连接它们 函数在 1 0 1 上是增函数 函数在 1 0 1 上是减函数 函数的单调增区间是 1 和 0 1 单调减区间是 1 0 和 1 策略点睛 题后感悟 定义法求函数的单调区间 作差 因式分解 判断各因式符号 如果各因式符号确定 则函数在整个定义域上具有单调性 如果有一个因式符号不确定 则需确定分界点以确定单调区间 因式符号必须是在某个区间内恒成立 如 本例因式x1x2 9 3 求函数f x x3 x在r上的单调区间 解题过程 f x x2 2 a 1 x 3 x a 1 2 a 1 2 3 此二次函数的对称轴为x a 1 f x 的单调减区间为 a 1 f x 在 4 上是减函数 对称轴x a 1必须在直线x 4的右侧或与其重合 a 1 4 解得a 5 题后感悟 1 二次函数是常见函数 遇到二次函数后就配方找对称轴 画出图象 会给研究问题带来很大的方便 2 已知函数单调性求参数的取值范围 要注意数形结合 采用逆向思维方法 4 1 在本例中将 在 4 上是减函数 改为 在 4 上是增函数 其他条件不变 应如何求a的范围 2 本例中 若将函数 在区间 4 上是减函数 改为 函数的单调递减区间为 4 则a为何值 解析 1 f x x a 1 2 3 a 1 2对称轴 x a 1 f x 在 4 上是增函数 对称轴只需在区间的左侧 a 1 4即a 5 所求a的取值范围是a 5 2 函数的减区间为 1 a a 1 4 a 5 如果函数f x x2 bx c 对任意实数x都有f 2 x f 2 x 试比较f 1 f 2 f 4 的大小 解题过程 对任意x r 有f 2 x f 2 x 2 x 2 b 2 x c 2 x 2 b 2 x c 4x bx 4x bx 8x 2bx 0 即 8 2b x 0对任意实数x都成立 8 2b 0 b 4 f x x2 4x c x 2 2 c 4 即f x 图象的对称轴为x 2 函数f x 在 2 上是增函数 又 f 1 f 2 1 f 2 1 f 3 且2 3 4 f 2 f 3 f 4 即f 2 f 1 f 4 题后感悟 1 对任意x r 有f a x f a x f x 的图象关于直线x a对称 如若f 3 x f 3 x 对任意x r都成立 则f x 的对称轴为x 3 2 利用单调性比较函数值大小 务必将自变量x的值转化为同一单调区间上才能进行比较 1 解读函数单调性的定义 1 定义中的关键词 定义域i内某个区间d 即函数的单调区间是其定义域的子集 单调性是与 区间 紧密相关的 一个函数在不同区间可以有不同的单调性 对于 任意 都有 对于 即两个自变量x1 x2 必须取自给定的区间 任意 即不能用特殊值代替 都有 即只要x1 x2 就必须有f x1 f x2 或f x1 f x2 2 函数单调性的刻画 图形刻画 对于给定区间上的函数y f x 它的图象若从左向右连续上升 下降 则称函数在该区间上是单调递增 减 的 定性刻画 对于给定区间上的函数y f x 若函数值随自变量的增大而增大 减小 则称函数在该区间上是单调递增 减 的 2 判定函数单调性的常见方法 1 定义法 这是证明或判定函数单调性的常用方法 2 图象法 根据函数图象的升 降情况进行判断 3 直接法 运用已知的结论 直接得到函数的单调性 如一次函数 二次函数 反比例函数的单调性均可直接说出 直接判断函数的单调性 可用到以下结论 已知f x 是定义在 1 1 上的增函数 且f x 2 f 1 x 求x的取值范围 错