高中数学 6.1不等关系与一元二次不等式配套课件 苏教版.ppt

第一节不等关系与一元二次不等式 三年5考高考指数 1 一元二次不等式 1 定义 只含有 个未知数 并且未知数最高次数是 的不等式 2 一元二次不等式的解集 满足一元二次不等式的解组成的集合 一 2 即时应用 1 不等式x2 3x 2 0的解集是 2 不等式2x 3 x2 0的解集是 3 不等式x 2 x2的解集是 解析 1 原不等式等价于 x 1 x 2 0 即1 x 2 2 原不等式等价于x2 2x 3 0 即 x 1 x 3 0 即 1 x 3 3 原不等式可化为x2 x 2 0 即 x 2 x 1 0 不等式的解集是 2 1 答案 1 x 1 x 2 2 x 1 x 3 3 2 1 2 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 判别式 0 0 0 二次函数 a 0 的图象 一元二次方程 a 0 的根 a 0 的解集 a 0 的解集 或 有两相异实数根 x1 x2 有两相等实数根 r 没有实数根 即时应用 1 思考 不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集为r的充要条件是什么 提示 2 思考 不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集为 的充要条件是什么 提示 3 设二次不等式ax2 bx 1 0的解集为 x 1 x 则ab的值为 解析 由题意可知a 0 且 1 是方程ax2 bx 1 0的两个根 故解得 ab 6 答案 6 一元二次不等式的解法 方法点睛 解一元二次不等式的一般步骤 1 对不等式变形 使一端为0且二次项系数大于0 2 计算相应的判别式 3 当 0时 求出相应的一元二次方程的根 4 根据对应二次函数的图象 写出不等式的解集 提醒 1 当不等式中含有字母时 需要对字母进行分类讨论 2 若一元二次不等式中 二次项系数大于0 其两根为x1 x2 则 大于号取两边 小于号取中间 例1 解下列不等式 1 x2 3x 4 0 2 3x2 2x 8 0 3 12x2 ax a2 a r 解题指南 1 先判断 而后获解 2 先将x2的系数转化为正数 而后因式分解求解 3 将不等式转化后进行因式分解 比较两根大小分类讨论求解 规范解答 1 由 9 16 7 0 故不等式的解集为 2 原不等式等价于3x2 2x 8 0 x 2 3x 4 0 x 2或x 故不等式的解集为 2 3 原不等式可化为12x2 ax a2 0 4x a 3x a 0 令 4x a 3x a 0得x1 x2 a 0时 此时不等式等价于x 或x a 0时 不等式等价于x2 0 x 0 a 0时 此时不等式等价于x 或x 综上所述 当a 0时 不等式的解集为 当a 0时 不等式的解集为 0 0 当a 0时 不等式的解集为 互动探究 若将本例 1 变为x2 3x 4 0 则不等式的解集又将如何 解析 由 1 解析可知 7 0 故x2 3x 4 0恒成立 故不等式的解集为r 反思 感悟 1 含参数的不等式解法 解含参数的一元二次不等式 一般需要分类讨论 因而需要把握好分类讨论的层次 一般按下面次序进行讨论 1 根据二次项系数的符号进行分类 2 根据根是否存在 即 的符号进行分类 3 根存在时 根据根的大小进行分类 同时在讨论字母的范围时要做到不重不漏 2 对于本例 3 中分类讨论后 在写不等式解集时 也可以将a 0的情况与a 0或a 0结合起来写 如可写为a 0时不等式的解集为 a 0时不等式的解集为 变式备选 解下列不等式 1 10 x 1 25x2 2 1 ax 2 1 解析 1 原不等式等价于25x2 10 x 1 0 5x 1 2 0 只有当5x 1 0 即x 时 不等式成立 故不等式的解集为 x x 2 由 1 ax 20 即x x 0时 原不等式可化为x ax 2 0 原不等式的解集为 x 00时 原不等式的解集为 x 0 x 一元二次不等式恒成立问题 方法点睛 恒成立问题及一元二次不等式恒成立的条件 1 解决恒成立问题首先要确定主元 其次确定参数 一般地 知道哪个变量的范围 就选这个变量当主元 求哪个变量的范围 哪个变量就是参数 2 对于一元二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 例2 2012 连云港模拟 已知命题p 对m 1 1 不等式a2 5a 3 恒成立 命题q 不等式x2 ax 4 0恒成立 若p和q都是真命题 求a的取值范围 解题指南 分别求得p q中a的取值范围 根据p q均为真命题 求交集可得a的范围 规范解答 m 1 1 2 3 因为对m 1 1 不等式a2 5a 3 恒成立 可得a2 5a 3 3 a 5或a 0 故命题p为真命题时 a 5或a 0 又命题q 不等式x2 ax 4 0恒成立 a2 16 0 4 a 4 故命题q为真命题时 4 a 4 p和q都是真命题 a a 5或a 0 a 4 a 4 a 4 a 0 a的取值范围是 4 a 0 反思 感悟 解决不等式恒成立问题 通常有两种思路 一是转化成含有参数的不等式 借助对应函数图象 找到满足题目要求的条件 构造含参数的不等式 组 解不等式 组 求得参数范围 二是分离参数 通过求函数的最值 进而确定参数的范围 变式训练 已知f x x2 2ax 2 a r 当x 1 时 f x a恒成立 求a的取值范围 解析 方法一 f x x a 2 2 a2 此二次函数图象的对称轴为直线x a 当a 1 时 f x 在 1 上单调递增 f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a 3 a 解得 3 a 1 当a 1 时 f x min f a 2 a2 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2 a2 a 解得 1 a 1 综上所述 a的取值范围为 3 1 方法二 令g x x2 2ax 2 a 由已知得x2 2ax 2 a 0在 1 上恒成立 即 4a2 4 2 a 0 或 解得 3 a 1 即实数a的取值范围是 3 1 一元二次不等式的实际应用 方法点睛 解不等式应用题的一般步骤 例3 2012 苏州模拟 又一年冬天即将来临 学校小卖部准备制订新一年的热饮销售计划 根据去年的统计 当热饮单价为1 5元 杯时 每日可卖出热饮800杯 且热饮单价每提高0 1元时 日销售量就降低20杯 若该热饮成本为0 9元 杯 为使今年的热饮日销售利润不低于720元 应如何控制热饮的单价 解题指南 热饮日销售利润等于该热饮的单利润乘以销售量 因此可设该热饮的销售单价提高x元 这样根据题意 单利润就是1 5 x 0 9 元 销售量就是800 200 x 杯 总利润等于 1 5 x 0 9 800 200 x 元 可以得到不等式 1 5 x 0 9 800 200 x 720 再解此不等式即可得出应如何控制热饮的单价 规范解答 设该热饮的销售单价提高x元 由题意得 1 5 x 0 9 800 200 x 720 化简 得200 x2 680 x 240 0 解得0 4 x 3 因此热饮的单价为0 4 1 5 x 1 5 3 1 5 即x 1 5 1 9 4 5 答 热饮的单价控制在 1 9 4 5 之间时 今年的热饮日销售利润不低于720元 反思 感悟 不等式应用题多是解决现实生活 生产 科技中的最优化问题 本题即是利用一元二次不等式解决现实生活中常见的销售问题 其关键是正确确定不等关系 变式训练 国家原计划以2400元 吨的价格收购某种农产品m吨 按规定 农户向国家纳税为 每销售收入100元纳税8元 称税率为8个百分点 即8 为了减轻农民负担 决定降低税率 根据市场规律 税率降低x x 0 个百分点 收购量能增加2x个百分点 试确定x的范围 使税率调低后 国家此项税收总收入不低于原计划的78 解析 设税率调低后的税收总收入为y元 则y 2400m 1 2x 8 x m x2 42x 400 由题意知 0 x 8 要使税收总收入不低于原计划的78 有y 2400m 8 78 整理得x2 42x 88 0 解得 44 x 2 又0 x 8 0 x 2 所以x的取值范围是 0 2 变式备选 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律 每生产产品x 百台 其总成本为g x 万元 其中固定成本为2万元 并且每生产100台的生产成本为1万元 总成本 固定成本 生产成本 销售收入r x 满足r x 假定该产品产销平衡 那么根据上述统计规律 1 要使工厂有盈利 产品数量x应控制在什么范围 2 工厂生产多少台产品时盈利最大 此时每台产品的售价为多少 解析 依题意得g x x 2 设利润函数为f x 则f x r x g x 所以f x 1 要使工厂有盈利 则有f x 0 因为f x 0 或55时 f x 8 2 5 3 2所以当工厂生产400台产品时 盈利最大 又x 4时 2 4 万元 百台 240 元 台 故此时每台产品的售价为240元 创新探究 二元二次方程中一元二次不等式的应用 典例 2011 浙江高考 若实数x y满足x2 y2 xy 1 则x y的最大值是 解题指南 本例可令x y t 利用直线与曲线必有交点 即联立消元后方程必有解可求 亦可利用基本不等式放缩后解不等式求解 规范解答 方法一 令x y t 则y t x 代入x2 y2 xy 1 整理得 x2 tx t2 1 0 则方程必有实根 即 t2 4 t2 1 0 即t2 解得 t 故x y的最大值为 方法二 由x2 y2 xy 1得1 x y 2 xy x y 2 1 xy 1 即 x y 2 故 x y x y的最大值为 答案 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们可以得到以下创新点拨与备考建议 1 2011 广东高考改编 不等式2x2 x 1 0的解集是 解析 由2x2 x 1 0得 x 1 2x 1 0 解得x 或x 1 从而得原不等式的解集为 1 答案 1 2 2011 福建高考改编 若关于x的方程x2 mx 1 0有两个不相等的实数根 则实数m的取值范围是 解析 方程x2 mx 1 0有两个不相等的实