高中数学 第1部分 3.1.1 方程的根与函数的零点课件 新人教A版必修1.ppt

考点一 考点二 考点三 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 第三章 知识点一 知识点二 3 13 1 1 问题1 填写下列表格 16 x1 1 x2 3 1 0 3 0 0 x1 x2 1 1 0 8 无实 数根 无交点 x 2 2 0 问题2 方程的根与对应函数的图象有何关系 提示 方程的根是使函数值等于零的自变量值 也就是函数图象与x轴交点的横坐标 1 零点的定义对于函数y f x 我们把叫做函数y f x 的零点 使f x 0的实数x 2 方程的根与函数的零点的关系 函数f x x2 4x 3的图象如图 问题1 函数的零点是什么 提示 1 3 问题2 判断f 0 f 2 与f 2 f 4 的符号 提示 f 0 3 f 2 1 f 4 3 f 0 f 2 0 f 2 f 4 0 问题3 你发现此函数在零点两侧的函数值有什么特点 提示 函数值异号 函数零点的存在性定理如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的根 连续不断 f a f b 0 f c 0 1 函数的零点是一个实数 当自变量取该值时 其函数值等于零 2 根据函数零点的定义可知 函数f x 的零点就是方程f x 0的根 因此判断一个函数是否有零点 有几个零点 就是判断方程f x 0是否有实根 有几个不相等的实根 例1 求下列函数的零点 1 f x x2 2x 3 2 f x x4 1 思路点拨 根据函数零点与相应方程的根之间的关系知 求函数的零点就是求相应方程的根 精解详析 1 f x x2 2x 3 x 3 x 1 方程 x2 2x 3 0的两根分别是 3和1 故函数的零点是 3 1 2 f x x4 1 x2 1 x 1 x 1 方程x4 1 0的实数根是 1或1 故函数的零点是 1 1 一点通 函数零点的求法 1 代数法 求方程f x 0的实数根 2 几何法 对于不能用求根公式求根的方程f x 0 可以将它与函数y f x 的图象联系起来 图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 1 若f x ax b b 0 有一个零点3 则函数g x bx2 3ax的零点是 解析 f x ax b的零点是3 f 3 0 即3a b 0 也就是b 3a g x bx2 3ax bx2 bx bx x 1 g x 的零点为 1 0 答案 1 0 2 若函数f x x2 ax b的零点是2和 4 求a b的值 3 求下列函数的零点 1 f x 2x 1 2 f x 2x2 4x 2 3 f x x3 2x2 3x 解 1 令f x 0 即2x 1 0 2x 1 x 0 f x 有一个零点0 2 令f x 0 即2x2 4x 2 0 x2 2x 1 0 x 1 f x 有一个零点 1 3 令f x 0 即x3 2x2 3x 0 x x2 2x 3 0 x x 3 x 1 0 x1 1 x2 0 x3 3 f x 有三个零点 1 0 3 精解详析 1 令f x 0 即x2 7x 12 0 得 49 4 12 1 0 方程x2 7x 12 0有两个不相等的实数根3 4 函数f x 有两个零点 分别是3 4 一点通 判断函数零点个数的主要方法 1 转化为解方程 有几个根就有几个零点 2 画出函数y f x 的图象 判定它与x轴的交点个数 从而判定零点的个数 3 结合单调性 利用f a f b 的符号 可判定y f x 在 a b 上零点的个数 4 转化成两个函数图象的交点问题 答案 d 5 函数f x 2x 3x的零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 答案 b 答案 0 例3 10分 已知关于x的二次方程ax2 2 a 1 x a 1 0有两根 且一根大于2 另一根小于2 试求实数a的取值范围 思路点拨 根据二次方程根的分布画出相应的函数图象 数形结合建立关于a的不等式 精解详析 令f x ax2 2 a 1 x a 1 依题意知 函数f x 有两个零点 且一零点大于2 一零点小于2 f x 的图象大致如图所示 4分 一点通 解决此类问题可设出方程对应的函数 根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号 建立不等式 使问题得解 当函数解析式中含有参数时 要注意分类讨论 7 若函数y x2 m 2 x 5 m有两个小于2的零点 则m的取值范围是 a 5 b 2 c 2 d 2 5 答案 a 8 若f x x b的零点在区间 0 1 内 则b的取值范围为 答案 1 0 9 若函数f x ax x a a 0 且a 1 有两个零点 则实数a的取值范围是 解析 函数f x ax x a a 0 且a 1 有两个零点 就是函数y ax a 0且a 1 与函数y x a的图象有两个交点 由图象可知 当01时 函数y ax a 1 的图象过点 0 1 当直线y x a与y轴的交点 0 a 在 0 1 的上方时一定有两个交点 所以a 1 答案 1 1 判断函数y f x 零点存在性的两个条件 1 函数的图象在区间 a b 上是一条连续不断的曲线 2 f a f b 0 2 应用时应注意的问