高考数学一轮复习 第十一章 第1讲 两个基本计数原理课件 理 苏教版 .ppt

第1讲两个基本计数原理 考点梳理 1 分类加法计数原理完成一件事 有n类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 2 分步乘法计数原理完成一件事 需要分成n个步骤 缺一不可 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 m1 m2 mn m1 m2 mn 两个原理的联系与区别联系 两个计数原理 都是关于完成一件事的不同方法种数的问题 区别 分类计数原理与分类有关 各种方法相互独立 用其中任何一种方法都可以完成这件事一步到位 分步计数原理与分步有关 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 缺一不可 助学 微博 1 海山联合 2012 中俄联合军演在中国青岛海域举行 在某一项演练中 中方参加演习的有4艘军舰 3架飞机 俄方有5艘军舰 2架飞机 若从中 俄两方中各选出2个单位 1架飞机或1艘军舰都作为一个单位 所有的军舰两两不同 所有的飞机两两不同 且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有 种 考点自测 答案180 2 2012 全国大纲卷改编 6位选手依次演讲 其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲 则不同的演讲次序共有 种 答案480 3 2012 广州模拟 已知集合a 1 2 3 4 b 5 6 7 c 8 9 现在从这三个集合中取出两个集合 再从这两个集合中各取出一个元素 组成一个含有两个元素的集合 则一共可以组成 个集合 答案26 4 2010 湖南卷改编 在某种信息传输过程中 用4个数字的一个排列 数字允许重复 表示一个信息 不同排列表示不同信息 若所用数字只有0和1 则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 答案11 5 某电子元件是由3个电阻组成的回路 其中有4个焊点a b c d 若某个焊点 脱落 整个电路就不通 现在发现电路不通了 那么焊点脱落的可能情况共有 种 答案15 例1 若集合a1 a2满足a1 a2 a 则称 a1 a2 为集合a的一种分拆 并规定 当且仅当a1 a2时 a1 a2 与 a2 a1 为集合a的同一种分拆 问集合a a1 a2 a3 的不同分拆种数有多少个 考向一分类加法计数原理 解若a1 则a2 a1 a2 a3 若a1 a1 则a2 a2 a3 或 a1 a2 a3 若a1 a2 则a2 a1 a3 或 a1 a2 a3 若a1 a3 则a2 a1 a2 或 a1 a2 a3 若a1 a1 a2 则a2 a3 或 a1 a3 或 a2 a3 或 a1 a2 a3 若a1 a1 a3 则a2 a2 或 a1 a2 或 a2 a3 或 a1 a2 a3 若a1 a2 a3 则a2 a1 或 a1 a2 或 a1 a3 或 a1 a2 a3 若a1 a1 a2 a3 则a2 或 a1 或 a2 或 a3 或 a1 a2 或 a1 a3 或 a2 a3 或 a1 a2 a3 故不同的分拆种数为1 3 2 3 4 8 27 方法总结 分类时 首先要确定一个恰当的分类标准 然后进行分类 其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法 只有满足这些条件 才可以用分类加法计数原理 训练1 如图所示 在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中 与正八边形有公共边的三角形有多少个 解把与正八边形有公共边的三角形分为两类 第一类 有一条公共边的三角形共有8 4 32 个 第二类 有两条公共边的三角形共有8 个 由分类加法计数原理知 共有32 8 40 个 例2 如图所示三组平行线分别有m n k条 在此图形中 1 共有多少个三角形 2 共有多少个平行四边形 考向二分步乘法计数原理 方法总结 此类问题 首先将完成这件事的过程分步 然后再找出每一步中的方法有多少种 求其积 注意 各步之间相互联系 依次都完成后 才能做完这件事 简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法 相互独立 逐步完成 训练2 由数字1 2 3 4 1 可组成多少个3位数 2 可组成多少个没有重复数字的3位数 3 可组成多少个没有重复数字的三位数 且百位数字大于十位数字 十位数字大于个位数字 解 1 百位数共有4种排法 十位数共有4种排法 个位数共有4种排法 根据分步计数原理共可组成43 64 个 3位数 2 百位上共有4种排法 十位上共有3种排法 个位上共有2种排法 由分步计数原理共可排成没有重复数字的3位数4 3 2 24 个 3 排出的三位数分别是432 431 421 321 共4个 例3 如图 用5种不同的颜色给图中a b c d四个区域涂色 规定每个区域只涂一种颜色 相邻区域颜色不同 求有多少种不同的涂色方法 考向三涂色问题 解法一如题图分四个步骤来完成涂色这件事 涂a有5种涂法 涂b有4种方法 涂c有3种方法 涂d有3种方法 还可以使用涂a的颜色 根据分步计数原理共有5 4 3 3 180 种 涂色方法 方法总结 涂色问题的实质是分类与分步 一般是整体分步 分步过程中若出现某一步需分类时还要进行分类 涂色问题通常没有固定的方法可循 只能按照题目的实际情况 结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理 训练3 如图所示 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端异色 如果只有5种颜色可供使用 求不同的染色方法数 解法一可分为两大步进行 先将四棱锥一侧面三顶点染色 然后再分类考虑另外两顶点的染色数 用分步乘法原理即可得出结论 由题设 四棱锥s abcd的顶点s a b所染的颜色互不相同 它们共有5 4 3 60 种 染色方法 当s a b染好时 不妨设其颜色分别为1 2 3 若c染2 则d可染3或4或5 有3种染法 若c染4 则d可染3或5 有2种染法 若c染5 则d可染3或4 有2种染法 可见 当s a b已染好时 c d还有7种染法 故不同的染色方法有60 7 420 种 法二以s a b c d顺序分步染色第一步 s点染色 有5种方法 第二步 a点染色 与s在同一条棱上 有4种方法 第三步 b点染色 与s a分别在同一条棱上 有3种方法 第四步 c点染色 也有3种方法 但考虑到d点与s a c相邻 需要针对a与c是否同色进行分类 当a与c同色时 d点有3种染色方法 当a与c不同色时 因为c与s b也不同色 所以c点有2种染色方法 d点也有2种染色方法 由分步乘法 分类加法计数原理得不同的染色方法共有5 4 3 1 3 2 2 420 种 高考对两个计数原理应用的考查 多以填空题的形式出现 考查蕴含在实际问题的解决中 多是两原理结合在一起应用 做好问题转化 分好类与步是关键 热点突破28两个计数原理的综合应用 示例 2012 四川卷改编 方程ay b2x2 c中的a b c 3 2 0 1 2 3 且a b c互不相同 在所有这些方程所表示的曲线中 不同的抛物线共有 条 审题与转化 第一步 以y的系数a的取值为标准进行分类 令a依次取值1 2 3 2 3 第二步 在a值确定的情况下 再依次确定c b2值 规范解答 第三步 当a 1时 若c 0 则b2有4 9两个取值 共2条抛物线 若c 0 则c有4种取值 b2有两种 共有2 4 8 条 抛物线 当a 2时 若c 0 b2取1 4 9三种取值 共有3条抛物线 若c 0 c取1时 b2有2个取值 共有2条抛物线 c取 2时 b2有2个取值 共有2条抛物线 c取3时 b2有3个取值 共有3条抛物线 c取 3时 b2有3个取值 共有3条抛物线 共有3 2 2 3 3 13 条 抛物线 同理 a 2 3 3时 共有抛物线3 13 39 条 由分类加法计数原理知 共有抛物线39 13 8 2 62 条 反思与回顾 第四步 本题体现了分类讨论思想在计数原理解题中的作用 1 2012 北京卷改编 从0 2中选一个数字 从1 3 5中选两个数字 组成无重复数字的三位数 其中奇数的个数为 个 解析三位数可分成两种情况 1 奇偶奇 2 偶奇奇 对 1 个位 3种选择 十位 2种选择 百位 2种选择 共12种 对 2 个位 3种选择 十位 2种选择 百位 1种选择 共6种 即12 6 18 个 答案18 高考经典题组训练 2 2012 浙江卷改编 若从1 2 3 9这9个整数中同时取4个不同的数 其和为偶数 则不同的取法共有 种 答案66 3 2012 课标全国卷改编 将2名教师 4名学生分成2个小组 分别安排到甲 乙两地参加社会实践活动 每个小组由1名教师和2名学生组成 不同的安排方案共有 种 答案12 4 2011 北京卷