高考数学一轮复习 第十三章 第6讲 离散型随机变量的均值与方差课件 理 苏教版 .ppt

考点梳理 若离散型随机变量x的概率分布为 1 均值称e x 为随机变量x的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 第6讲离散型随机变量的均值与方差 1 离散型随机变量的均值与方差 x1p1 x2p2 xnpn 1 e ax b 2 d ax b a b为常数 1 若x服从两点分布 则e x p d x 2 若x b n p 则e x np d x 2 均值与方差的性质 3 两点分布与二项分布的均值 方差 ae x b a2d x p 1 p np 1 p 一个复习指导本节内容为近几年高考的热点与重点内容 求简单的离散型随机变量的分布列以及由此求其均值与方差 特别是二项分布 这部分内容与现实生活联系密切 体现了数学的应用价值 特别是与排列 组合 二项式定理和概率等知识相结合 综合考查分析问题 解决实际问题的能力和阅读理解能力 随机变量均值 方差的求法若随机变量x不服从特殊的分布时 求法为 1 先求出x的分布列 2 求e x x1p1 x2p2 xnpn 3 利用公式d x x1 e x 2p1 x2 e x 2p2 xn e x 2pn 求方差d x 若随机变量x服从两点分布或二项分布 则直接利用均值方差公式可求 助学 微博 1 2010 山东卷改编 样本中共有五个个体 其值分别为a 0 1 2 3 若该样本的平均值为1 则样本方差为 答案2 考点自测 已知x的数学期望e x 8 9 则y的值为 解析x 0 1 0 3 y 1 即x y 0 6 又7x 0 8 2 7 10y 8 9 化简得7x 10y 5 4 由 联立解得x 0 2 y 0 4 答案0 4 3 2010 湖北卷 某射手射击所得环数x的概率分布如下 4 设随机变量x b n p 且e x 1 6 d x 1 28 则n p的值分别为 答案8 0 2 5 2010 上海卷 随机变量x的概率分布列由下表给出 该随机变量x的均值是 解析由分布列可知e x 7 0 3 8 0 35 9 0 2 10 0 15 8 2 答案8 2 例1 2011 天津改编 学校游园活动有这样一个游戏项目 甲箱子里装有3个白球 2个黑球 乙箱子里装有1个白球 2个黑球 这些球除颜色外完全相同 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球 若摸出的白球不少于2个 则获奖 每次游戏结束后将球放回原箱 1 求在1次游戏中 摸出3个白球的概率 获奖的概率 2 求在2次游戏中获奖次数x的概率分布表及数学期望e x 方差d x 考向一离散型随机变量的均值与方差的求法 方法总结 1 求离散型随机变量的均值与方差的关键是确定随机变量的所有可能取值 写出随机变量的概率分布 正确运用均值 方差公式进行计算 2 要注意观察随机变量的概率分布特征 若属二项分布的 可用二项分布的均值与方差公式计算 则更为简单 1 若规定每投进1球得2分 甲同学投篮4次 求总得分x的概率分布和数学期望 方差 2 假设连续3次投篮未中或累计7次投篮未中 则停止投篮测试 问 甲同学恰好投篮10次后 被停止投篮测试的概率是多少 解 1 x的概率分布为 例2 袋中有20个大小相同的球 其中记上0号的有10个 记上n号的有n个 n 1 2 3 4 现从袋中任取一球 x表示所取球的标号 1 求x的概率分布 均值和方差 2 若y ax b e y 1 d y 11 试求a b的值 解 1 x的概率分布为 考向二均值与方差性质的应用 方法总结 若x是随机变量 则y f x 一般仍是随机变量 在求y的均值和方差时 熟练应用均值和方差的性质 可以避免再求y的概率分布带来的繁琐运算 训练2 2013 苏北四市调研 a b两个投资项目的利润分别为随机变量x1和x2 根据市场分析 x1和x2的概率分布表分别为 1 在a b两个项目上各投资100万元 y1和y2分别表示投资项目a和b所获得的利润 求方差d y1 d y2 2 将x 0 x 100 万元投资a项目 100 x万元投资b项目 f x 表示投资a项目所得利润的方差与投资b项目所得利润的方差的和 求f x 的最小值 并指出x为何值时 f x 取到最小值 解 1 由题设可知y1和y2的概率分布表为e y1 5 0 8 10 0 2 6 万元 d y1 5 6 2 0 8 10 6 2 0 2 4 e y2 2 0 2 8 0 5 12 0 3 8 万元 d y2 2 8 2 0 2 8 8 2 0 5 12 8 2 0 3 12 例3 2012 新课标全国卷 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 然后以每枝10元的价格出售 如果当天卖不完 剩下的玫瑰花作垃圾处理 1 若花店一天购进16枝玫瑰花 求当天的利润y 单位 元 关于当天需求量n 单位 枝 n n 的函数解析式 2 花店记录了100天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得下表 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 考向三均值与方差的实际应用 若花店一天购进16枝玫瑰花 x表示当天的利润 单位 元 求x的分布列 数学期望及方差 若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花 你认为应购进16枝还是17枝 请说明理由 解 1 当日需求量n 16时 利润y 80 当日需求量n 16时 利润y 10n 80 2 x可能的取值为60 70 80 并且p x 60 0 1 p x 70 0 2 p x 80 0 7 x的分布列为 x的数学期望为e x 60 0 1 70 0 2 80 0 7 76 元 x的方差为d x 60 76 2 0 1 70 76 2 0 2 80 76 2 0 7 44 答案一 花店一天应购进16枚玫瑰花 理由如下 若花店一天购进17枝玫瑰花 y表示当天的利润 单位 元 那么y的分布列为 y的数学期望为e y 55 0 1 65 0 2 75 0 16 85 0 54 76 4 元 y的方差为d y 55 76 4 2 0 1 65 76 4 2 0 2 75 76 4 2 0 16 85 76 4 2 0 54 112 04 由以上的计算结果可以看出 d x d y 即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小 另外 虽然e x e y 但两者相差不大 故花店一天应购进16枝玫瑰花 答案二 花店一天应购进17枝玫瑰花 理由如下 若花店一天购进17枝玫瑰花 y表示当天的利润 单位 元 那么y的分布列为 y的数学期望为e y 55 0 1 65 0 2 75 0 16 85 0 54 76 4 元 由以上的计算结果可以看出 e x e y 即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润 故花店一天应购进17枝玫瑰花 方法总结 1 解决实际应用问题时 关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件 2 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 方差反映了随机变量稳定于均值的程度 它们从整体和全局上刻画了随机变量 是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据 一般先比较均值 若均值相同 再用方差来决定 训练3 2011 陕西卷 如图 a地到火车站共有两条路径l1和l2 据统计 通过两条路径所用的时间互不影响 所用时间落在各时间段内的频率如下表 现甲 乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站 1 为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站 甲和乙应如何选择各自的路径 2 用x表示甲 乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数 针对 1 的选择方案 求x的分布列和数学期望 解 1 ai表示事件 甲选择路径li时 40分钟内赶到火车站 bi表示事件 乙选择路径li时 50分钟内赶到火车站 i 1 2 用频率估计相应的概率可得p a1 0 1 0 2 0 3 0 6 p a2 0 1 0 4 0 5 p a1 p a2 甲应选择l1 p b1 0 1 0 2 0 3 0 2 0 8 p b2 0 1 0 4 0 4 0 9 p b2 p b1 乙应选择l2 2 a b分别表示针对 1 的选择方案 甲 乙在各自允许的时间内赶到火车站 由 1 知p a 0 6 p b 0 9 又由题意知 a b独立 p x 2 p ab p a p b 0 6 0 9 0 54 x的分布列为 e x 0 0 04 1 0 42 2 0 54 1 5 概率与统计知识的综合问题 在求解离散型随机变量分布列和计算离散型随机变量的期望值的问题中 考查考生分析问题 处理数据 解答问题的数学应用能力 设问的开放性 答题的多样性以及根据统计数据提供的频率估计相应的概率 作出科学决策等是命题的亮点 较好地体现了新课标理念 热点突破34关注高考概率与统计新视角 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55 1 确定x y的值 并求顾客一次购物的结算时间x的分布列与数学期望 2 若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算 且各顾客的结算相互独立 求该顾客结算前的等候时间不超过2 5分钟的概率 注 将频率视为概率 示例 2012 湖南卷 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据 如下表所示 审题与转化 第一步 1 根据100位顾客中一次购物超过8件的有55人 即可求出x y 同时一次购物结算时间x对应概率即可求出x的分布列与数学期望 2 不超过2 5分钟有3种情况 x1 1且x2 1 x1 1且x2 1 5 x1 1 5且x2 1 利用相互独立事件即可求出 规范解答 第二步 1 由已知得25 y 10 55 x 30 45 x 15 y 20 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本 将频率视为概率得 反思与回顾 第三步 1 求分布列和期望 首先求出x取值的对应概率 2 明确哪种类型的事件 根据公式求解 1 2009 陕西卷 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 表示 据统计 随机变量 的概率分布如下 高考经典题组训练 1 求a的值和 的数学期望 2 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响 求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率 解 1 由概率分布的性质有0 1 0 3 2a a 1 解得a 0 2 的概率分布为 e 0 0 1 1 0 3 2 0 4 3 0 2 1 7 2 设事件a表示 两个月内共被投诉2次 事件a1表示 两个月内有一个月被投诉2次 另外一个月被投诉0次 事件a2表示 两个月内每个月均被投诉1次 则由事件的独立性得p a1 cp 2 p 0 2 0 4 0 1 0 08 p a2 p 1 2 0 32 0 09 p a p a1 p a2 0 08 0 09 0 17 故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0 17 2 2012 安徽卷 某单位招聘面试 每次从试题库中随机调用一道试题 若调用的是a类型试题 则使用后该试题回库 并增补一道a类型试题和一道b类型试题入库 此次调题工作结束 若调用的是b类型试题 则使用后该试题回库 此次调题工作结束 试题库中现共有n m道试题 其中有n道a类型试题和m道b类型试题 以x表示两次调题工作完成后 试题库中a类型试题的数量 1 求x n 2的概率 2 设m n 求x的分布列和均值 数学期望 3 2012 福建卷 受轿车在保修期内维修费等因素的影响 企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的