高考数学总复习 76空间向量及其运算课件 理 新人教B版.ppt

第六节空间向量及其运算 一 空间向量的有关概念1 空间向量 在空间中 具有和的量叫做向量 2 相等向量 且的有向线段表示同一向量或相等向量 3 零向量 在空间中 起点与终点的向量叫做零向量 4 单位向量 长度或模为的向量叫做单位向量 5 相反向量 长度而方向的向量叫做相反向量 大小 方向 同向 等长 重合 1 相反 相等 6 向量的模 表示向量a的有向线段的长度 叫做向量的 记作 a 有向线段的方向表示向量的方向 其所在直线叫做向量的 7 共线向量 如果空间中一些向量的基线 则这些向量叫做共线向量或平行向量 规定 零向量与任意向量共线 8 共面向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量 9 基底与基向量如果三个向量a b c是三个的向量 则a b c的线性组合xa yb zc能生成所有的空间向量 这时叫做空间的一个基底 记作 其中都叫做基向量 长度或模 基线 互相平行或重合 不共面 a b c a b c a b c 二 空间向量的加 减 数乘向量运算1 向量的加 减运算法则是法则和法则 数乘运算 a的大小为 a的方向 0时与a同向 0时与a反向 0时 a 0 2 运算律 1 加法交换律 a b b a 2 加法结合律 a b c a b c 3 分配律 a a a a b a b 三角形 平行四边形 a 三 空间向量的基本定理1 共线向量定理两个空间向量a b b 0 a b的充要条件是存在唯一的实数x 使a xb 2 共面向量定理如果两个向量a b不共线 则向量c与向量a b共面的充要条件是 存在唯一的一对实数x y 使c xa yb 3 空间向量分解定理如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在一个唯一的有序实数组x y z 使p xa yb zc 如果 则称a与b互相垂直 记作a b 2 异面直线及其夹角的两条直线叫做异面直线 把异面直线平移到一个平面内 这时两条直线的叫做两条异面直线所成的角 如果所成的角是 则称两条异面直线互相垂直 非零 aob 不同在任何一个平面内 夹角 锐角或直角 直角 3 空间两个向量的数量积 内积 1 a b 2 空间向量数量积的性质a e a b a 2 a b a b 3 空间向量数量积的运算律 a b a b 交换律 a b c 分配律 a b cos a b a cos a e a b 0 a a a b b a a c b c 五 空间向量的直角坐标运算设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 1 a b a b a a b 设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 a2 a3 a1b1 a2b2 a3b3 x2 x1 y2 y1 z2 z1 疑难关注 1 空间向量是由平面向量拓展而来的 因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似 故在学习空间向量时 如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习 将收到事半功倍的效果 比如 2 要理解空间向量 空间点的坐标的意义 掌握向量加法 减法 数乘 点乘的坐标表示以及两点间的距离 夹角公式 利用空间向量的坐标运算可将立体几何中有关平行 垂直 夹角 距离等问题转化为向量的坐标运算 如 1 判断线线平行或诸点共线 可以转化为证a b b 0 a b 2 证明线线垂直 转化为证a b a b 0 若a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则转化为计算x1x2 y1y2 z1z2 0 3 在立体几何中求线段的长度问题时 转化为a a a 2 或利用空间两点间的距离公式 1 课本习题改编 若 a b c 为空间的一组基底 则下列各项中 能构成基底的一组向量是 a a a b a bb b a b a bc c a b a bd a b a b a 2b解析 若c a b a b共面 则c a b m a b m a m b 则a b c为共面向量 此与 a b c 为空间向量的一组基底矛盾 故c a b a b可构成空间向量的一组基底 答案 c a 1b 2c 3d 4解析 其中 为正确命题 答案 b 4 2013年广州模拟 已知f1 i 2j 3k f2 2i 3j k f3 3i 4j 5k 若f1 f2 f3共同作用于一物体上 使物体从点m1 1 2 1 移动到点m2 3 1 2 则合力所做的功是 5 2013年厦门质检 已知a 2 1 2 b 2 2 1 则以a b为邻边的平行四边形的面积为 考向二共线向量定理 共面向量定理的应用 例2 2013年上饶调研 已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 求证 e f g h四点共面 2 求证 bd 平面efgh 3 设m是eg和fh的交点 2 已知平行六面体abcd a1b1c1d1中 底面abcd是边长为a的正方形 侧棱aa1长为b 且aa1与ab ad的夹角都是120 求ac1的长 答题模板 用向量方法证明立体几何中的有关命题 典例 12分 2012年高考陕西卷 1 如图所示 证明命题 a是平面 内的一条直线 b是 外的一条直线 b不垂直于 c是直线b在 上的投影 若a b 则a c 为真 2 写出上述命题的逆命题 并判断其真假 不需证明 名师点评 本题考查三垂线逆定理的证明 同时以立体几何为背景考查了命题的有关知识 具有较好的创新性 在第 1 问的证明中 利用平面向量基本定理 运用向量方法使问题得以解决 使用向量方法能够用代数运算代替空间线面关系的逻辑推理 使证明和运算过程具有程序化 1 2012年高考陕西卷 如图所示 在空间直角坐标系中有直三棱柱abc a1b1c1 c