高考数学 第二章 第十二节 导数的综合应用课件 文 新人教A版 .ppt

第十二节导数的综合应用 1 通常求利润最大 用料最省 效率最高等问题称为 问题 一般地 对于实际问题 若函数在给定的定义域内只有一个极值点 那么该点也是最值点 优化 2 生活中的优化问题解决优化问题的基本思路 1 函数的极大值一定比极小值大吗 提示 极值是一个局部概念 极值的大小关系是不确定的 即极大值不一定比极小值大 极小值也不一定比极大值小 2 如何求实际问题中的最值问题 提示 有关函数最大值 最小值的实际问题 一般指的是单峰函数 也就是说在实际问题中 如果遇到函数在区间内只有一个极值点 那么不与区间端点比较 就可以知道这个极值点就是最大 小 值点 解析 f x 3ax2 1 依题意f x 3ax2 1有两个实根 a 0 答案 d 解析 y x2 81 x 0 令y 0 即 x2 81 0得x 9 当x 0 9 时 y 0 当x 9 时 y 0 函数在 0 9 上单调递增 在 9 上单调递减 当x 9时 函数取得最大值 故选c 答案 c 解析 由y f x 的图象知 函数f x 在 0 上单调递增 在 0 上单调递减 且f 2 1 f 3 1 则不等式f x2 6 1可转化为 2 x2 6 3 解得 2 x 3或 3 x 2 故选a 答案 a 4 已知f x 1 x sinx 试比较f 2 f 3 f 的大小为 解析 f x 1 cosx 当x 0 时 f x 0 f x 在 0 上是增函数 f f 3 f 2 答案 f f 3 f 2 5 2013 大连模拟 已知函数f x ex 2x a有零点 则a的取值范围是 解析 函数f x ex 2x a有零点 即方程ex 2x a 0有实根 即函数g x 2x ex y a有交点 而g x 2 ex 易知函数g x 2x ex在 ln2 上递增 在 ln2 上递减 因而g x 2x ex的值域为 2ln2 2 所以要使函数g x 2x ex y a有交点 只需a 2ln2 2即可 答案 2ln2 2 2013 海淀模拟 已知函数f x ex x2 ax a 其中a是常数 1 当a 1时 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 若存在实数k 使得关于x的方程f x k在 0 上有两个不相等的实数根 求k的取值范围 思路点拨 1 先求切点 切线斜率 再求切线方程 2 利用导数判断函数f x 在 0 上的变化情况 数形结合求解 尝试解答 1 由f x ex x2 ax a 可得f x ex x2 a 2 x 当a 1时 f 1 e f 1 4e 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y e 4e x 1 即y 4ex 3e 2 令f x ex x2 a 2 x 0 解得x a 2 或x 0 当 a 2 0 即a 2时 在区间 0 上 f x 0 所以f x 是 0 上的增函数 所以方程f x k在 0 上不可能有两个不相等的实数根 当 a 2 0 即a 2时 f x f x 随x的变化情况如下表 1 在解答本题 2 时应判断f x f 0 是否成立 这是容易忽视的地方 2 该类问题的求解 一般利用导数研究函数的单调性 极值等性质 并借助函数图象 根据零点或图象的交点情况 建立含参数的方程 或不等式 组求解 实现形与数的和谐统一 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 2013 大连模拟 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x r 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 思路点拨 1 令f x 0 求极值点 然后讨论在各个区间上的单调性 2 构造函数g x ex x2 2ax 1 x r 注意到g 0 0 只需证明g x 在 0 上是增函数 可利用导数求解 尝试解答 1 由f x ex 2x 2a x r f x ex 2 x r 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 设g x ex x2 2ax 1 x r 于是g x ex 2x 2a x r 由 1 知当a ln2 1时 g x 最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x r 都有g x 0 所以g x 在r内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 又g 0 0 从而对任意x 0 g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 1 本题常见的错误有两点 1 基础知识不过关 求错导数 2 不等式证明思路不清晰 不会构造函数g x 发现不了g x 与f x 的关系 导致不能运用第 1 问的结论 2 对于该类问题 可从不等式的结构特点出发 构造函数 借助导数确定函数的性质 借助单调性或最值实现转化 2013 杭州模拟 设函数f x a2lnx x2 ax a 0 1 求f x 的单调区间 2 求所有的实数a 使e 1 f x e2对x 1 e 恒成立 其中 e为自然对数的底数 2013 南京模拟 请你设计一个包装盒 如图2 12 2所示 abcd是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得a b c d四个点重合于图中的点p 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 e f在ab上 是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点 设ae fb x cm 1 若广告商要求包装盒的侧面积s cm2 最大 试问x应取何值 2 某厂商要求包装盒的容积v cm3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 思路点拨 用x表示包装盒的高度和底面边长 则 1 包装盒的侧面积s是关于x的二次函数 可通过配方求最值 2 包装盒的容积v是关于x的三次函数 可通过导数求最大值 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 构造出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 并根据实际意义确定定义域 2 求函数y f x 的导数f x 解方程f x 0得出定义域内的实根 确定极值点 3 比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小 获得所求的最大 小 值 4 还原到实际问题中作答 把所求问题通过构造函数 转化为可用导数解决的问题 这是用导数解决问题时常用的方法 利用导数解决与方程 函数零点 不等式等问题时 常用到数形结合及转化与化归的数学思想 1 注意实际问题中函数定义域的确定 2 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 从近两年高考试题看 导数与方程 函数零点 不等式的交汇综合 以及利用导数研究生活中的优化问题 是考查的热点 并且常考常新 题型以解答题为主 综合考查学生分析问题 解决问题的能力 规范解答之三构建函数模型证明不等式恒成立问题 解题程序 第一步 利用导数的几何意义求k的值 第二步 求f x 构造函数h x 第三步 通过判断h x 的正负 得到f x 的正负 从而求出单调区间 第四步 写出g x 判断h x 在 0 上的单调性 第五步 求出h x 的最大值 从而得到欲证明的不等式 易错提示 1 解答第 2 题时 因无法解方程f x 0 从而导致无法求解 2 求解第 3 题时 因不会构造函数而导致解题失误 防范措施 1 当方程f x 0无法用常规方法求解时 可用 试算 的方法寻找方程的根 2 在用导数证明不等式时 若构造的函数比较复杂 求导后无法确定极值点 可把函数写成两项积的形式 其中一个因式符号确定 另一个因式符号不定 进而讨论符号不定的因式 1 2012 福建高考 已知f x x3 6x2 9x abc a0 f 0 f 1 0 f 0 f 3 0 其中正确结论的序号是