高中数学 2.3数学归纳法课件 新人教A版选修22.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教a版 选修2 2 推理与证明 第二章 2 3数学归纳法 第二章 理解数学归纳法的概念 掌握数学归纳法的证题步骤 重点 数学归纳法的原理及步骤 难点 用数学归纳法证题的步骤 技巧 温故知新回顾复习归纳推理的定义 步骤及其所得结论的正确性如何 数学归纳法 新知导学1 数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 归纳奠基 证明当n取 时命题成立 归纳递推 假设 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 第一个值n0 n0 n n k k n0 k n 2 应用数学归纳法时特别注意 1 用数学归纳法证明的对象是与 有关的命题 2 在用数学归纳法证明中 两个基本步骤缺一不可 其中 第一步是递推的 验证n n0时结论成立的n0不一定为1 根据题目要求 有时可为2 3等 第二步是递推的 证明n k 1时命题也成立的过程中 一定要用到归纳假设 否则就不是数学归纳法 另外 归纳假设中要保证n从第一个数n0开始 即假设n k k n0 时结论成立 括号内限制条件改为k n0就错了 正整数n 基础 依据 3 用数学归纳法证明中一个关键问题就是要抓住项数和项的增减变化 如证明恒等式和不等式中 n 1时究竟有几项 从n k到n k 1 项有哪些变化 添了几项 减了几项 思维导航根据数学归纳法的定义思考下列问题 1 在数学归纳法的定义中为何首先要验证初始值n0 2 第二步证明n k 1时为何必须应用n k时的假设 3 验证的初始值n0怎样确定 若要证明2n n2成立 则要验证的初始值n0是什么 4 用数学归纳法证明恒等式和不等式时怎样来找从n k到n k 1项数的变化 牛刀小试1 用数学归纳法证明1 2 2n 1 n 1 2n 1 时 在验证n 1成立时 左边所得的代数式是 a 1b 1 3c 1 2 3d 1 2 3 4 答案 c 解析 当n 1时 2n 1 2 1 1 3 所以左边为1 2 3 故应选c 答案 d 答案 b 数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式 方法规律总结 用数学归纳法证明恒等式时 一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况 二是弄清从n k到n k 1等式两端增加了哪些项 减少了哪些项 三是证明n k 1时结论也成立 要设法将待证式与归纳假设建立联系 并朝n k 1证明目标的表达式变形 分析 按照数学归纳法的步骤证明 由n k到n k 1的推证过程可应用放缩技巧 使问题简单化 用数学归纳法证明不等式 方法规律总结 用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同 需要注意的是 1 在应用归纳假设证明过程中 方向不明确时 可采用分析法完成 经过分析找到推证的方向后 再用综合法 比较法等其他方法证明 2 在推证 n k 1时不等式也成立 的过程中 常常要将表达式作适当放缩变形 以便于应用归纳假设 变换出要证明的结论 分析 证明整除性问题的关键是 凑项 即采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 凑出n k时的情形 从而利用归纳假设使问题得以解决 用数学归纳法证明整除问题 证明 1 当n 1时 a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命题显然成立 2 假设当n k k n 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由归纳假设知 上式能被a2 a 1整除 故当n k 1时命题也成立 由 1 2 知 对一切n n 命题都成立 方法规律总结 用数学归纳法证明整除问题时 首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子 然后证明剩余的式子也能被某式 数 整除 其中的关键是 凑项 可采用增项 减项 拆项和因式分解等方法分析出因子 从而利用归纳假设使问题得到解决 利用数学归纳法证明整除问题 由归纳假设p k 能被p整除 证p k 1 能被p整除 也可运用结论 若p k 1 p k 能被p整除 p k 1 能被p整除 或利用 p k 能被p整除 存在整式q k 使p k p q k 将p k 1 变形转化分解因式产生因式p 例如本题中 在推证n k 1命题也成立时 可以用整除的定义 将归纳假设表示出来 假设n k时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 q a q a 为多项式 所以 a 1 2k 1 a2 a 1 q a ak 1 所以n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 ak 2 a 1 2 a 1 2k 1 ak 2 a 1 2 a2 a 1 q a ak 1 ak 2 a 1 2 a2 a 1 q a a 1 2ak 1 a 1 2 a2 a 1 q a ak 1 a2 a 1 显然能被a2 a 1整除 即n k 1时 命题亦成立 求证 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 证明 1 显然 当n 1时 命题成立 即x1 y1能被x y整除 2 假设当n 2k 1 k n 时命题成立 即 x y 能整除x2k 1 y2k 1 则当n 2k 1时 x2k 1 y2k 1 x2x2k 1 x2y2k 1 x2y2k 1 y2y2k 1 x2 x2k 1 y2k 1 x y x y y2k 1 x y能整除 x2k 1 y2k 1 又x y能整除 x y x y y2k 1 x y 能整除 x2k 1 y2k 1 由 1 2 可知当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 分析 本题关键是弄清第k 1个圆与前k个圆的交点个数 以及这些交点又将第k 1个圆分成了多少段弧 每一段弧又是怎样影响平面区域的划分的 用数学归纳法证明几何问题 证明 1 当n 1时 1个圆将平面分成2个区域 命题显然成立 2 假设当n k k n 时命题成立 即k个圆将平面分成k2 k 2个区域 则当n k 1时 第k 1个圆交前面k个圆于2k个点 这2k个点将第k 1个圆分成2k段弧 每段弧将各自所经过的区域一分为二 于是增加了2k个区域 所以这k 1个圆将平面分成k2 k 2 2k个区域 即 k 1 2 k 1 2个区域 故当n k 1时 命题也成立 由 1 2 可知 对一切n n 命题都成立 方法规律总结 用数学归纳法证明几何问题的关键是 找项 即几何元素从k个变成k 1个时 所证的几何量将增加多少 这需用到几何知识或借助于几何中图形来分析 在实在分析不出来的情况下 将n k 1和n k分别代入所证的式子 然后作差 即可求出增加量 然后只需稍加说明即可 这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧 归纳 猜想 证明 解题思路探究 第一步 审题 本题是探索性命题 按 归纳 猜想 证明 探索性命题的一般思路求解 第二步 确定解题步骤 先假设存在常数a b c 使等式成立 由于含三个参数 需建立三个方程组成方程组求解 故再令n 1 2 3代入等式求出a b c 最后用数学归纳法证明结论成立 第三步 规范解答 方法规律总结 1 解答归纳 猜想 证明题的一般步骤是 验证p 1