高中数学 第1章 6.1 第2课时 平面与平面垂直的判定优质课件 北师大版必修2.ppt

第2课时平面与平面垂直的判定 问题1 平面几何中 角 是怎样定义的 问题2 在立体几何中 异面直线所成的角 直线和平面所成的角 有什么共同的特征 有公共顶点的两条射线所形成的图形 转化为平面上的角 问题3 在生产实践中 有许多问题要涉及两个平面相交所成的角的情形 你能举出这个问题的一些例子吗 这样的角有何特点 该如何表示呢 请进入本节课的学习 堤坝面与河底水平面 打开的笔记本电脑 1 理解二面角及其平面角的概念 掌握二面角的平面角的一般作法 会求简单的二面角的平面角 难点 2 掌握两个平面互相垂直的概念和判定定理 能用定义和定理判定面面垂直 重点 展示一张纸面 并对折观察其形状 将它与角进行类比 探究点1二面角 1 二面角的有关概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角 这条直线叫作二面角的棱 这两个半平面叫作二面角的面 半平面 一个平面内的一条直线 把这个平面分成 其中的 都叫作半平面 两部分 每一部分 2 二面角的记法与表示 以直线ab为棱 半平面 为面的二面角 记作二面角 ab 思考 二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系 如我们常说 把门开大一些 是指二面角大一些 那我们应如何度量二面角的大小呢 提示 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 如图中的 注意 在表示二面角的平面角时 要求 oa l ob l aob的大小与点o在l上位置无关 平面角是直角的二面角叫作直二面角 思考交流 1 两个平面互相垂直的定义两个平面相交 如果所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 探究点2平面与平面垂直 直二面角 平面 与 垂直 记作 2 两个平面互相垂直的画法及其表示 问题1 根据定义判断两个平面是否垂直需要解决什么问题 提示 两个平面所成的角是否为直二面角 问题2 如图 aob为直二面角 l 的平面角 那么直线ao与平面 的位置关系如何 a b o l 垂直 探究点3平面与平面垂直的判定 两个平面垂直的判定定理 定理6 2 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 注 这个定理简称 线面垂直 则面面垂直 转化为线与面垂直 求证 证明 设 cd 则b cd 所以ab cd 在平面 内过点b作直线be cd 则 abe是二面角 cd 的平面角 又ab be 即二面角 cd 是直二面角 所以 两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据 而且是找出一个平面垂直于另一个平面的依据 特别提醒 如 建筑工人砌墙时 沿系有铅锤的线砌墙 例 如图 ab为 o的直径 pa垂直于 o所在的平面 c为 o上异于a b的一点 求证 平面pac 平面pbc 证明 设 o所在平面为 由已知条件 有pa bc在 内 所以 pa bc 因为 点c是不同于a b的任意一点 ab为 o的直径 所以 bca 90 即bc ca 又因为pa与ac是 pac所在平面内的两条相交直线 所以 bc 平面pac 又因为bc在平面pbc内 所以 平面pac 平面pbc 思考 你还能发现哪些面互相垂直 变式练习 三棱锥p abc中 abc 90 pa pb pc 则下列说法正确的是 a 平面pac 平面abc b 平面pab 平面pbc c pb 平面abc d bc 平面pab 解析 如图 因为 abc 90 pa pb pc 所以点p在底面的射影落在 abc的斜边的中点o处 连接ob op 则po ob 又因为pa pc 所以po ac 且ac ob o 所以po 平面abc 又所以po 平面pac 所以平面pac 平面abc a 1 二面角指的是 a 从一条直线出发的两个半平面所夹的角度b 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形c 两个平面相交时 两个平面所夹的锐角d 过棱上一点和棱垂直的两条射线所成的角 b 2 判断正误 1 如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的一条直线 则 2 如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的两条直线 则 3 如果平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条相交直线 则 3 直三棱柱abc a b c 中 底面三角形abc为正三角形 则两侧面aa c c与aa b b所成二面角的大小为 60 4 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 pd cd 2 1 求异面直线pa与bc所成角的正切值 2 证明 平面pdc 平面abcd 解析 1 在四棱锥中 因为底面是矩形 所以ad bc 且ad bc 又因为ad pd 故 pad 或其补角 是异面直线pa与bc所成的角 在直角 pda中 所以异面直线pa与bc所成角的正切值为2 2 由于底面abcd是矩形 因此ad cd 又由于ad pd cd pd d 因此ad 平面pdc 而ad在平面abcd中 所以平面pdc 平面abcd 1