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2 2圆的一般方程 圆的标准方程 圆心c a b 半径r 若圆心为o 0 0 则圆的方程为 直线方程有不同的表示形式 那圆的方程呢 今天我们就来学习圆的方程的另一种形式 圆的一般方程 1 掌握圆的一般方程 会由圆的一般方程确定圆的圆心 半径 重点 2 能通过配方等手段 把圆的一般方程化为圆的标准方程 会用待定系数法求圆的方程 重点 难点 将圆的标准方程 展开得 任何一个圆的方程都是二元二次方程 探究点圆的一般方程 思考 平面内任一圆的一般方程都是关于x y的二元二次方程 反之是否成立呢 提示 不一定 圆的一般方程是关于x y的二元二次方程 但二元二次方程不一定表示圆 如方程x2 2xy y2 0 即x y 0代表一条直线而不是一个圆 解析 配方得 不一定是圆 以 1 2 为圆心 以2为半径的圆 解析 配方得 不是圆 想一想 以下两个方程都表示圆吗 总结 圆的一般方程 方程称为圆的一般方程 圆心为 半径为 思考 圆的一般方程与圆的标准方程的不同与特点 提示 1 形式不同 x a 2 y b 2 r2x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 2 圆的一般方程的特点 a x2 y2的系数为1 b 没有xy项 c d2 e2 4f 0 例1 求过点m 1 1 且圆心与已知圆c x2 y2 4x 6y 3 0相同的圆的方程 解 将已知圆的方程化为标准方程 x 2 2 y 3 2 16 圆心c的坐标为 2 3 半径为4 故所求圆的半径为 所求圆的方程为 x 2 2 y 3 2 25 求下列各圆的半径和圆心坐标 2 x2 y2 2by 0 b 0 1 x2 y2 6x 0 圆心为 0 b 半径为 圆心为 3 0 半径为3 变式练习 例2 求过三点o 0 0 m1 1 1 m2 4 2 的圆的方程 并指出这个圆的半径和圆心坐标 将o m1 m2的坐标代入圆的方程 得 解得 f 0 d 8 e 6 解 设所求圆的一般方程为x2 y2 dx ey f 0 待定系数法 所求圆的一般方程为x2 y2 8x 6y 0 半径为 圆心坐标为 4 3 1 根据题意选择圆的方程的形式 标准方程或一般方程 2 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 3 解出a b r或d e f 代入标准方程或一般方程 用待定系数法求圆的方程的步骤 提升总结 1 判断下列方程是不是表示圆 以 2 3 为圆心 以3为半径的圆 表示点 2 3 不表示任何图形 3 方程x2 y2 dx ey f 0表示的曲线是以 2 3 为圆心 4为半径的圆 求d e f的值 2 已知圆x2 y2 4x 2y 4 0 则圆心坐标 半径的长分别是 a 2 1 3b 2 1 3c 2 1 3d 2 1 9 a 4 求经过三点a 1 1 b 1 4 c 4 2 的圆的方程 1 圆的一般方程的形式及特点 2 利用待定系数法求圆的方程 列关于a b r 或d e f 的
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