高中数学 322、3 直线的两点式方程、直线的一般式方程课件 新人教A版必修2.ppt

3 2 2直线的两点式方程3 2 3直线的一般式方程 3 两点式的适用范围是 答案 斜率存在且不为0的直线 即不能表示垂直于坐标轴的直线 答案 可以 5 点a x1 y1 b x2 y2 线段ab的中点p的坐标为 6 在平面直角坐标系中 对于任何一条直线 都有一个表示这条直线的关于x y的方程 任何关于x y的二元一次方程都表示 二元一次 一条直线 7 方程ax by c 0 其中a b不同时为0 叫做直线方程的 一般式 8 在求直线方程时 点斜式 斜截式 两点式 截距式各有怎样的局限性 答案 点斜式和斜截式都是适用于直线的斜率存在即直线不与x轴垂直的情况 两点式和截距式都适用于直线不与坐标轴垂直且截距式还要求直线不过原点 9 已知直线ax by c 0 1 若直线过原点 则系数a b c满足 2 若直线只与x轴相交 则系数a b c满足 3 若直线只与y轴相交 则系数a b c满足 10 x轴的方程是 y轴的方程是 c 0 a2 b2 0 b 0 a 0 c r a 0 b 0 c r y 0 x 0 本节学习重点 直线方程的两点式 截距式与一般式及各种形式与一般式的互化 本节学习难点 选择恰当形式求直线的方程和直线方程各种形式的适用条件 1 直线方程的一般式可表示任何一条直线 直线方程的几种特殊形式都可以化成一般式 反之 一般式能否化为其它几种特殊形式 要看a b c是否为零 求直线方程时 若无特殊说明都应化成一般式 2 误区警示 直线的截距式是两点式的一个特殊情形 用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积周长等比较方便 注意直线过原点或与坐标轴平行时 没有截距式方程 但直线过原点时两截距存在且都等于零 当遇直线在两坐标轴上截距相等或是倍数关系时 务必考虑截距为0的情形 例1 已知三角形的三个顶点分别为a 6 7 b 2 3 c 2 1 求ac边上的中线所在的直线方程 分析 欲求ac边上的中线所在直线的方程 因为两点确定一条直线 ac边上的中线过顶点a和ac边的中点 故只要求出ac边的中点a的坐标 即可代入两点式方程求得结果 例2 一条直线经过点a 2 2 并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1 求此直线方程 分析 直线与两坐标轴围成三角形的面积与两截距有关 故可设截距式方程求解 总结评述 要根据不同条件 选用适当的直线表示形式来求直线方程 本题选用直线方程的截距式就是一个好的选择 已知直线mx ny 12 0在x轴 y轴上的截距分别是 3和4 则m n 答案 4 3 例3 已知直线l经过点a 5 6 和点b 4 8 求直线的一般式方程和截距式方程 并画图 点评 熟练进行直线各种形式方程的互化 是解决直线方程问题的基本功 请自己再用点斜式求l的方程 并化为斜截式 直线l 2x 3y 6 0的斜率及在y轴上的截距分别为 例4 如图 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李 如果超过规定 则需要购买行李票 行李票费用y 元 与行李重量x kg 的关系用直线ab的方程表示 试求 1 直线ab的方程 2 旅客最多可免费携带多少行李 解析 1 由图知 点a 60 6 b 80 10 在直线上 由直线方程的两点式或斜截式可求得直线ab的方程是x 5y 30 0 2 依题意 令y 0 得x 30 即旅客最多可免费携带30kg行李 为了绿化城市 拟在矩形区域abcd内建一个矩形草坪如图 aef内部有一文物保护区不能占用 经测量ab 100m bc 80m ae 30m af 20m 应如何设计才能使草坪面积最大 分析 点p在线段ef上运动 随着点p的变化 矩形pqcr的面积也在变化 如果建立坐标系 则可写出直线ef的方程 ef上的点p的坐标 可用一个未知数x表示 从而矩形的面积可表达为此未知数x的函数 转化为函数极值来求解 由于ab ad 可以ab与ad为标架建立平面直角坐标系 容易写出ef的截距式方程 例5 1 已知三直线l1 2x 4y 7 0 l2 x 2y 5 0 l3 4x 2y 1 0 求证 l1 l2 l1 l3 2 求过点a 2 2 且分别满足下列条件的直线方程 与直线l 3x 4y 20 0平行 与直线l 3x 4y 20 0垂直 解法2 设所求直线方程为3x 4y c 0 由 2 2 点在直线上 3 2 4 2 c 0 c 14 所求直线为3x 4y 14 0 设所求直线方程为4x 3y 0 由 2 2 点在直线上 4 2 3 2 0 2 所求直线为4x 3y 2 0 点评 1 与直线ax by c 0平行的直线可设为ax by m 0 m c 与直线ax by c 0垂直的直线可设为bx ay m 0 2 直线l1 a1x b1y c1 0 直线l2 a2x b2y c2 0若l1 l2则 a1a2 b1b2 0 若a1a2 b1b2 0则l1 l2 若l1 l2 则a1b2 a2b1 0 反之若a1b2 a2b1 0 则l1 l2或l1与l2重合 1 直线l1 x ay 6 0与l2 a 2 x 3y 2a 0平行 则a的值为 2 过点a 1 2 与直线x 2y 1 0垂直的直线方程为 答案 1 1 2 2x y 4 0 点评 2 中求直线方程时 可以从不同角度入手解决 法一 所求直线过点a 1 2 可设方程为y 2 k x 1 整理为一般式用垂直条件求k 法二 已知直线的斜率k1 故所求直线的斜率k 2 直接用点斜式写出方程 例6 据下列所给条件求直线方程 1 abc的顶点a 1 3 b 2 4 c 3 2 求bc边上的中线所在直线的方程 2 abcd的顶点a 1 2 b 2 1 c 3 3 求直线bd的方程 例7 求斜率为且与两坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程 分析 已知直线斜率 可选用直线的斜截式方程 然后根椐题目条件确定b的值 点评 1 三角形的周长是三顶点间距离的和 截距 不是距离 故解题时应注意 距离 为截距的绝对值 在解决有关面积问题时 也要注意加绝对值符号 2 用待定系数法求直线方程的基本步骤是 设方程 求系数 代入 1 过定点p 2 3 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 2 若直线 m 1 x m2 m 2 y m 1在y轴上截距等于1 则实数m的值为 答案 1 3x 2y 0或x y 5 0 2 3 点评 1 第 1 问常出现下面错解 设直线的两截距皆为a 则有即x y a 将点p 2 3 代入得 a 5 所求的直线方程为x y 5 此解法的错误原因 就是审题时 没能把题中 非零截距相等 和 零截距相等 的分类因素挖掘出来进行分类讨论 把 零截距 的情况丢掉了 由此可见 如果题中出现直线在两轴上的 截距相等 截距互为相反数 在一坐标轴上截距是另一坐标轴截距的m倍 m 0 等条件时 采用截距式求直线方程时 要注意考虑 零截距 的情况 在零截距的情况下 由直线过原点可设y kx 还可以设点斜式y 3 k x 2 由在两轴上截距相等求出k 2 第 2 问