云南省2019中考数学试题研究题型三几何图形的证明与计算练习.docx

题型三几何图形的证明与计算1. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上动点(与点O不重合)，作AFBE，垂足为G，分别交BO、BC于点H、F.连接OG、CG.(1)求证：AHBE；(2)试探究：AGO的度数是否为定值？请说明理由；(3)若OGCG，BG3，求OGC的面积第1题图(1)证明：四边形ABCD是正方形，OAOB，AOBBOE90，AFBE，GAEAEGOBEAEG90.GAEOBE，AOHBOE(ASA)，AHBE；(2)解：是，理由如下：AOHBGH90，AHOBHG，AOHBGH，OHGAHB，OHGAHB，AGOABO45，即AGO的度数为定值；(3)解：ABC90，AFBE，BAGAFB90，FBGAFB90，BAGFBG，AGBBGF90，ABGBFG，AGGFBG218，AHBOHG，BAHGOHGBF.AOBBGF90，AOGGFC，AGO45，CGGO，AGOFGC45.AGOCGF，GOCGAGGF18.SOGCCGGO9.2. 如图，在矩形ABCD中，AD6，DC8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH2，连接CF.(1)若DG2，求证：四边形EFGH为正方形；(2)若DG6，求FCG的面积第2题图(1)证明：四边形EFGH为菱形，HGEH，AH2，DG2，DGAH，在RtDHG和RtAEH中，RtDHGRtAEH(HL)，DHGAHE，AEHAHE90，DHGAHE90，GHE90，四边形EFGH为正方形；(2)解：如解图，过点F作FQCD交DC的延长线于点Q，连接GE，四边形ABCD为矩形，ABCD，AEGQGE，即AEHHEGQGFFGE，四边形EFGH为菱形，HEGF，HEGF，HEGFGE，AEHQGF，在AEH和QGF中，第2题解图AEHQGF，AHQF2，DG6，CD8，CG2，SFCGCGFQ222.3. 如图，在ABC中，ABC90，ABBC，点P是AC上的一个动点(点P与A、C不重合)，连接BP，分别过点B、C作BP、AC的垂线BQ、CQ，两垂线交于点Q，连接QP，交BC于点E.(1)求证：CQAP；(2)求证：CPBCEQ；(3)若AB2，在点P的运动过程中，是否存在一点P，使得CEBC？若存在，请求出ABP的面积，若不存在，请说明理由第3题图(1)证明：在ABC中，ABC90，ABBC，AACB45，BQBP, CQAC，QCBA45，ABPPBCQBCPBC 90，ABPQBC.又BABC，BAPBCQ(ASA).CQAP；(2)证明：由(1)得，QCBACB45，又PCQPBQ 180，P、C、Q、B在以PQ为直径的圆上，如解图所示，CQPPBC，CPBCEQ；(3)解：存在理由如下：由CEBC，可得CEBCAB，由勾股定理可得，AC4；设APCQx，则PC4x，由(2)得CPBCEQ，即，第3题解图可得x24x30，解得x3或1，如解图，过点P作PDAB于点D，易得APDACB，即PDAP，当AP3时，可得PD，此时SABPABPD23，当AP1时，可得PD，此时SABPABPD21.ABP的面积为3或1.4. 如图，正方形ABCD的边长为10 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且AEBFCGDH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否一定经过正方形ABCD内部一个定点，并说明理由；(3)猜想当E点位于AB上何处时，正方形EFGH面积最小(不要求证明)第4题图(1)证明：四边形ABCD是正方形，BADBBCDD90，ABBCCDDA，AEBFCGDH，AHBECFDG，在AEH和BFE中，AEHBFE(SAS)，同理可得BFECGF，CGFDHG，EHFEGFGH，AEHBFE，四边形EFGH是菱形，BEFBFE90，BEFAEH90，HEF90，四边形EFGH是正方形；(2)解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心(AC、BD的交点)；理由如下：如解图，连接AC、EG，使其交点为O；四边形ABCD是正方形，ABCD，OAEOCG；在AOE和COG中，AOECOG(AAS)，OAOC，OEOG，即O为AC的中点，正方形的对角线互相平分，O为对角线AC、BD的交点，即点O为正方形的中心；第4题解图(3)解：设正方形EFGH的面积为S，BExcm，则BF(10x) cm，根据勾股定理得EF2BE2BF2x2(10x)2，Sx2(10x)22(x5)250，20，当x5时，S有最小值，S的最小值为50，即E点是AB的中点时，四边形EFGH的面积最小，最小值为50 cm2.5. 如图所示，四边形ADEF为正方形，ABC为等腰直角三角形，点D在BC边上，连接CF.(1)求证：BCCF；(2)若ABC的面积为16，BDDC13，求正方形ADEF的面积；(3)在(2)的条件下，连接AE交DC于点G，求的值第5题图解：(1)四边形ADEF为正方形，ABC为等腰直角三角形，ADAFEFDE，ABAC，DAFBACDEFADE90，BACB45，ADEF，DAFDACBACDAC，FACDAB.在ABD和ACF中，ABDACF(SAS)，BACF，BDCF，ACF45，ACFACB90，即BCF90，BCCF；(2)设ABACx，由题意，得16，x4，BC8，BDDC13，BD82，CD826，如解图，作DHAB于点H，DHBDHA90，BDH45，BBDH，BHDH，设BHDHa，由勾股定理得，a，AH43，在RtADH中，由勾股定理得AD220，AD2，S正方形ADEFAD220，正方形ADEF的面积为20；(3)如解图，设EF交BC于点M，设CMx，则DM6x，BDCF，CF2，在RtCMF中，由勾股定理得FM，DMEFMC，FCMDEM，则，解得x11，x24(舍去)，CM1，FM，ME，DM5，ADEF，AGDEGM，2，DG2GM，设GMb，DG2b，b2b5，b，第5题解图GC1，DG6，.6. 在四边形ABCD中，BCCD，连接AC、BD，ADB90.(1)如图，若ADBDBC，过点D作DFAB于点F，交AC于点E：DAC_；猜想AE、DE、CE的数量关系，并证明你的猜想；(2)如图，若ACBD，求CAD的度数第6题图解：(1)15；【解法提示】ADBDBC，BCCD，BDBCCD，BDC是等边三角形，CDB60，ADB90，ADC9060150，DADC，DACDCA15；CEDEAE.证明：如解图中，设AC交BD于点O，连接BE，在EC上截取EHEB.DADB，DFAB，AFFB，EAEB，DAFDBF，EABEBA，第6题解图DAEDBE，DAEDCO，DCOOBE，DOCEOB，BEOODC60，EHEB，EBH是等边三角形，EBHDBC60，BEBH，EBDHBC，BDBC，EBDHBC(SAS)，DECH，CEEHCHEBEDAEDE；第6题解图(2)如解图，过点C作CKBD于点K，CHAD交AD的延长线于点H，HCKDHDK90，四边形DHCK是矩形，DKCH，CDCB，CKBD，DKBD，ACBD，CHDKAC，在RtACH中，sinCAD，CAD30.7. 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长CB至点F，使CFCA，连接AF，ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M.(1)求证：BNBF；(2)求证：CNCM；(3)若正方形ABCD的边长为，求OM的长第7题图(1)证明：在正方形ABCD中，ABCABF90，BCAB，CFCA，ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，CEAF，BAFANE90，ANEBNC，BAFBNC90，BCNBNC90，BAFBCN，在BCN和BAF中，BCNBAF(ASA)，BNBF；(2)证明：设正方形的边长为m，则BDACm，ACCFBCBFmBFm，BNBF(1)m，BNCD，1，CNCM；(3)解：BNCD，1，BM(1)DM，BMDMBD2，DM，点O是正方形ABCD对角线的交点，ODBD1，OMDMOD1.8. 如图，在矩形ABCD中，AD6，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接ME.(1)如图，若AB3，过点M作MGME交线段BC于点G，连接EG，判断GEM的形状，并说明理由；(2)如图，若AB3，延长EM交线段CD的延长线于点F，过点M作MGEF交线段BC的延长线于点G，连接FG.直接写出线段AE长度的取值范围；判断GEF的形状，并说明理由第8题图解：(1)GEM是等腰直角三角形第8题解图理由如下：如解图，过点G作GHAD于点H，ABAHG90，四边形ABGH是矩形GHAB3.AD6，M是AD的中点，AM3，MGME，GME90.AMEGMH90.AMEAEM90，AEMGMH.在AEM与HMG中，AEMHMG(AAS)，MEMG，GEM是等腰直角三角形；(2)AE3；【解法提示】如解图，当C，G重合时，第8题解图四边形ABCD是矩形，AADC90，AMEAEM90，MGEF，EMG90，AMEDMC90，AEMDMC，AEMDMC，AE，AE3；GEF是等边三角形第8题解图理由如下：如解图，过点G作GHAD交AD的延长线于点H，由得AEMGMH，又AGHM90，AEMHMG，在RtGME中，tanMEG，MEG60，AMDF90，AMMD，AMEDMF，AEMDFM，MEMF，MGEF，GEGF，GEF是等边三角形9. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在BC、CD上，连接AE、EF、AF，且DAEAEF.(1)求证：EFBEDF；(2)线段AF的垂直平分线交AD于点G，连接FG，求证：EFG90；(3)在(2)的条件下，若tanDFG，EF，求SAEF.第9题图(1)证明：如解图，过点A作AHEF于点H，四边形ABCD是正方形，ABAD，BD90，ADBC，BEADAE，DAEAEF，BEAAEF，在ABE和AHE中，ABEAHE(AAS)，ABAH，BEHE，AHAD，RtAHFRtADF(HL)，DFHF，EFHEHF，EFBEDF；第9题解图(2)证明：如解图，由题意知GAGF，GAFGFA，由(1)知AFEAFD，FADAFD90，GFAAFE90，EFG90；(3)解：由tanDFG，可设DG3x，DF4x，则AGGF5x，FHDF4x，BCCDAD8x，CFCDDF4x，EF，BEEHEFFH4x，则ECBCBE8x(4x)12x，在RtECF中，由勾股定理得EF2EC2CF2，即()2(12x)2(4x)2，解得x10(舍)，x21，即AHAD8x8，SAEFEFAH8.10. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH.(1)求证：GFGC；(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明；(3)若正方形ABCD的边长为4，取DH的中点M，请直接写出线段BM长的最小值第10题图(1)证明：如解图，连接DF，第10题解图四边形ABCD是正方形，DADC，AC90，点A关于直线DE的对称点为F，ADEFDE，DADFDC，DFEA90，DFG90，在RtDFG和RtDCG中，RtDFGRtDCG(HL)，GFGC；(2)解：BHAE，第10题解图证明：如解图，在线段AD上截取AP，使APAE，ADAB，DPBE，由(1)知：12，34，ADC90，123490，222390，2345，即EDG45，EH