高考数学总复习 第7章 第5讲直线、平面垂直的判定及性质配套课件 理 新人教A版.ppt

不同寻常的一本书 不可不读哟 1 能以立体几何中的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论 证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题 1个重要关系垂直问题的转化关系 2种必会方法1 证明直线和平面垂直的常用方法有 判定定理 a b a b a a 面面垂直的性质 2 判定面面垂直的方法有 面面垂直的定义 面面垂直的判定定理 a a 3点必须注意1 解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程 如用判定定理证明线面垂直时 一定要体现出 平面中的两条相交直线 这一条件 2 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据 应用时常添加的辅助线是在一平面内作两平面交线的垂线 3 两个相交平面同时垂直于第三个平面 它们的交线也垂直于第三个平面 课前自主导学 1 直线与平面垂直 1 直线和平面垂直的定义直线l与平面 内的 直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 2 直线与平面垂直的判定定理 3 直线与平面垂直的性质定理 1 命题 如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直 那么这条直线和这个平面垂直是真命题吗 其逆命题呢 2 如果两条平行线中有一条垂直于平面 那么另一条也垂直于这个平面吗 2 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的判定定理 2 平面与平面垂直的性质定理 1 如果一条直线和一个平面垂直 那么经过这条直线的所有平面都和这个平面垂直吗 2 如果两个平面垂直 那么其中一个平面内的任何一条直线都和另一个平面垂直吗 3 如果两个平面都和第三个平面垂直 那么这两个平面平行吗 1 任意一条两条相交直线a b a b ol al b平行a b 想一想 提示 1 假命题 真命题 2 垂直 2 一条垂线l l 交线 al l a想一想 提示 1 垂直 2 不一定 3 不一定 核心要点研究 例1若有平面 与 且 l p p l 则下列说法中错误的是 填序号 过点p且垂直于 的直线平行于 过点p且垂直于l的直线平行于 过点p且垂直于 的直线在 内 过点p且垂直于l的直线在 内 解析 如图 1 所示 设过点p且垂直于 的直线为b 过l上的任意一点a作直线a 使a l 且a 因为 所以a 所以a b 根据直线与平面平行的判定定理可知b 所以 正确 如图 2 所示 过点p作a l 垂足为a 过点a作直线b l 且a b 设过直线a b的平面为 因为a l b l a b a 所以l 在平面 内过点p任作一条直线m l l m 而m与 可能平行 也可能相交 所以 不正确 如图 3 所示 过点p在平面 内作直线a l 根据两平面垂直的性质定理可知 a 又因为在同一个平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 所以 正确 如图 4 所示 过点p垂直于直线l的直线可能在平面 内 也可能不在平面 内 过点p作直线a l交l于点a 过点a作直线b l 所以l 平面abp 可知l bp 因为bp 所以 不正确 答案 本题利用了几何图形来判断真假 解决本类问题应注意以下几点 1 作图要熟练 借助几何图形来说明线面关系要做到作图快 准 甚至无需作图在头脑中形成印象来判断 2 善于寻找反例 只要存在反例 那么结论就被驳倒了 3 要思考完整 反复验证所有可能的情况 必要时要运用判定或性质定理进行简单说明 变式探究 2012 浙江高考 设l是直线 是两个不同的平面 则下列结论正确的是 a 若l l 则 b 若l l 则 c 若 l 则l d 若 l 则l 答案 b解析 a选项中由l l 不能确定 与 的位置关系 c选项中由 l 可推出l 或l d选项由 l 不能确定l与 的位置关系 也可借助正方体模型作出判断 例2 2012 福建高考 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab ad 1 aa1 2 m为棱dd1上的一点 1 求三棱锥a mcc1的体积 2 当a1m mc取得最小值时 求证 b1m 平面mac 又由长方体abcd a1b1c1d1知 b1c1 平面cdd1c1 b1c1 cm 又b1c1 c1m c1 cm 平面b1c1m 得cm b1m 同理可证 b1m am 又am mc m b1m 平面mac 奇思妙想 在棱a1b1上是否存在一点n 使d1n 平面a1bm 证明你的结论 垂直问题的证明 其一般规律是 由已知想性质 由求证想判定 也就是说 根据已知条件去思考有关的性质定理 根据要求证的结论去思考有关的判定定理 往往需要将分析与综合的思路结合起来 变式探究 2012 北京高考 如图1 在rt abc中 c 90 d e分别为ac ab的中点 点f为线段cd上的一点 将 ade沿de折起到 a1de的位置 使a1f cd 如图2 1 求证 de 平面a1cb 2 求证 a1f be 3 线段a1b上是否存在点q 使a1c 平面deq 说明理由 解 1 因为d e分别为ac ab的中点 所以de bc 又因为de 平面a1cb 所以de 平面a1cb 2 由已知得ac bc且de bc 所以de ac 所以de a1d de cd 所以de 平面a1dc 而a1f 平面a1dc 所以de a1f 又因为a1f cd 所以a1f 平面bcde 所以a1f be 3 线段a1b上存在点q 使a1c 平面deq 理由如下 如图 分别取a1c a1b的中点p q 则pq bc 又因为de bc 所以de pq 所以平面deq即为平面dep 由 2 知 de 平面a1dc 所以de a1c 又因为p是等腰三角形da1c底边a1c的中点 所以a1c dp 所以a1c 平面dep 从而a1c 平面deq 故线段a1b上存在点q 使得a1c 平面deq 例3 2012 江苏高考 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 a1b1 a1c1 d e分别是棱bc cc1上的点 点d不同于点c 且ad de f为b1c1的中点 求证 1 平面ade 平面bcc1b1 2 直线a1f 平面ade 审题视点 1 证明面面垂直一般用判定定理 2 证明线面平行 可转化为证线线平行或面面平行 证明 1 因为abc a1b1c1是直三棱柱 所以cc1 平面abc 又ad 平面abc 所以cc1 ad 又因为ad de cc1 de 平面bcc1b1 cc1 de e 所以ad 平面bcc1b1 又ad 平面ade 所以平面ade 平面bcc1b1 2 因为a1b1 a1c1 f为b1c1的中点 所以a1f b1c1 因为cc1 平面a1b1c1 且a1f 平面a1b1c1 所以cc1 a1f 又因为cc1 b1c1 平面bcc1b1 cc1 b1c1 c1 所以a1f 平面bcc1b1 由 1 知ad 平面bcc1b1 所以a1f ad 又ad 平面ade a1f 平面ade 所以a1f 平面ade 证明面面垂直的方法 证明一个面过另一个面的垂线 将证明面面垂直转化为证明线面垂直 一般先从现有直线中寻找 若图中不存在这样的直线 则借助中点 高线与添加辅助线解决 例4 2012 浙江高考 如图 在侧棱垂直底面的四棱柱abcd a1b1c1d1中 ad bc ad ab ab ad 2 bc 4 aa1 2 e是dd1的中点 f是平面b1c1e与直线aa1的交点 1 证明 ef a1d1 ba1 平面b1c1ef 2 求bc1与平面b1c1ef所成的角的正弦值 解 1 证明 因为c1b1 a1d1 c1b1 平面add1a1 所以c1b1 平面a1d1da 又因为平面b1c1ef 平面a1d1da ef 所以c1b1 ef 所以a1d1 ef 因为bb1 平面a1b1c1d1 所以bb1 b1c1 又因为b1c1 b1a1 所以b1c1 平面abb1a1 所以b1c1 ba1 1 求角的大致步骤 一找角 二证明 三求解 2 线面角的求法 找出斜线在平面上的射影 关键是作垂线 找垂足 3 二面角的大小求法 二面角的大小用它的平面角来度量 平面角的作法常见的有 定义法 垂面法 1 求证 pd 平面abc 2 求二面角p ab c的正切值大小 课课精彩无限 规范解答 1 取sd的中点e 连接ae ne 如图所示 由sa2 ad2 22 22 8 sd2 sa2 ab2 22 12 5 sb2 得sa ab sa ad 又ab ad a 所以sa 平面abcd 又因为ab ad ab sa a 所以ab 平面sad 又cd 平面sad 所以ab cd 又因为 sad为等腰直角三角形 e是中点 所以ae sd 又sd cd d 所以ae 平面scd 因为mn ae 所以mn 平面scd 又mn 平面smc 所以平面smc 平面scd 备考 角度说 no 1角度关键词 审题视点第 1 问由垂直转化为平行 即通过证明两条直线同垂直于某一个平面 那么这两条直线平行 第 2 问是由平行转化为垂直 即两条平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条直线也垂直于这个平面 no 2角度关键词 方法突破平行与垂直是高考命题的重点与热点 考查内容灵活多样 线线的位置关系 能够判定线面的位置关系 线面的位置关系 能够判定面面的位置关系 反之 面面的位置关系隐含了线面的位置关系 线面的位置关系隐含了线线的位置关系 这种转化构成了位置关系证明中的主要思维指向 每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的 经典演练提能 1 2012 安徽高考 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在平面 内 且b m 则 是 a b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件答案 a解析 由面面垂直的性质定理可得 m b b m b 又 a a b 但反之则不成立 2 2012 宿迁模拟 已知两条直线m n 两个平面 给出下面四个命题 m n m n m n m n m n m n m n m n 其中正确命题的序号是 a b c d 答案 c解析 对于 由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直 则另一条直线也与该平面垂直 因此 是正确的 对于 分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点 但它们不一定平行 因此 是错误的 对于 直线n可能位于平面 内 此时结论显然不成立 因此 是错误的 对于 由m 且 得m 又m n 故n 因此 是正确的 3 如图 在三