高中数学 2.2.2向量减法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4.ppt

2 2 2向量减法运算及其几何意义 一 相反向量 相等 相反 a 零向量 a 0 b a 0 思考 1 相反向量就是方向相反的向量吗 2 若 a b 则a b或a b吗 提示 1 不是 相反向量是方向相反且长度相等的向量 2 若 a b 则a b不一定共线 有可能a b且a b 二 向量的减法 a b 相反向量 向量a的终点 判断 正确的打 错误的打 1 两个向量的差仍是一个向量 2 3 向量a b与b a是相反向量 4 a b a b 提示 1 正确 两个向量的差仍是一个既有大小又有方向的量 是向量 2 正确 根据向量减法的几何意义可知正确 3 正确 a b b a 0 4 错误 a b 与 a b 的大小关系不确定 答案 1 2 3 4 知识点拨 1 相反向量的意义 1 在相反向量的基础上 可以通过向量加法定义向量减法 2 为向量的 移项 提供依据 利用 a a 0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量 实现向量的 移项 例如由a b c d可得a c d b 2 剖析向量减法 1 向量减法的两种定义方法 将向量减法定义为向量加法的逆运算 也就是 如果b x a 则x叫做a与b的差 记作a b 在相反向量的基础上 通过向量加法定义向量减法 即定义a b a b 2 向量加法和减法几何意义的联系 如图所示 平行四边形abcd中 若则 类比 a b a b a b 可知 a b a b a b 类型一向量减法的几何意义及应用 典型例题 1 在 abc中 则ab等于 a a bb a b c a bd b a2 如图所示 o为 abc内一点 求作向量b c a 解题探究 1 向量如何用向量与表示 向量与有什么关系 2 两个向量差的作图方法是什么 两个向量和的作图方法是什么 探究提示 1 2 两个向量差的作图方法是根据向量减法的几何意义利用三角形法则 两个向量和的作图方法是三角形法则和平行四边形法则 解析 1 选b 2 方法一 以为邻边作 obdc 连接od ad 则 方法二 作连接ad 则 互动探究 题2中 求作向量a b c 解析 如图所示 拓展提升 1 平移作两向量的差的步骤此步骤可以简记为 作平移 共起点 两尾连 指被减 2 利用相反向量作两向量差的方法作向量a b时 先作向量再作则向量 类型二向量式化简变形问题 典型例题 1 给出下列论述 若则 若则 若则 若则其中所有正确的序号为 2 化简下列各式 1 2 解题探究 1 对于向量等式 移项 法则是否成立 2 有向线段表示向量进行加减混合运算时 为了应用向量加法和减法的几何意义 应该用向量加法的交换律和结合律变形出哪些形式 探究提示 1 对于向量等式 移项 法则是成立的 2 变形出以下两种形式 1 向量相加首尾相接的形式 2 向量相减共起点的形式 解析 1 正确 若则即 正确 若则即 正确 由知其正确 正确 若则即答案 2 方法一 1 2 方法二 1 2 方法三 设o是平面内任一点 则 1 2 拓展提升 1 向量减法运算的常用方法 2 向量加减法化简的两种形式 1 首尾相连且为和 2 起点相同且为差 做题时要注意观察是否有这两种形式 同时要注意逆向应用 3 向量式变形中应注意的问题 1 利用相反向量的定义 向量在等式中可以移项 例如 a b c a c b b c a 2 用有向线段表示向量时 相反向量之间具有以下关系 变式训练 化简 1 2 解析 1 2 类型三用已知向量表示其他向量 典型例题 1 如图所示 已知o为平行四边形abcd内的一点 则可以用a b c表示为 2 在五边形abcde中 设用a b c d表示 解题探究 1 根据题1条件 可以得到哪些向量相等 是否可以转化为关于的等式 2 题2中 可以利用哪两种方法表示出向量由此可以思考如何用a b c d表示探究提示 1 利用向量减法的几何意义 可以转化为2 由此可得进而 移项 用a b c d表示 解析 1 因为四边形abcd是平行四边形 所以所以所以答案 a b c2 因为所以即b d a c 所以 拓展提升 用已知向量表示其他向量要注意的问题 1 解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量 相反向量 共线向量以及构成三角形三向量之间的关系 确定已知向量与被表示向量的转化渠道 2 注意综合应用向量加法 减法的几何意义以及加法的结合律 交换律来分析解决问题 3 注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则 例如四边形abcd中 变式训练 如图所示 在五边形abcde中 若四边形acde是平行四边形 且试用向量a b c表示向量及 解题指南 解答本题要注意及向量加法减法几何意义的应用 解析 因为四边形acde是平行四边形 所以所以 用向量法证明平面几何问题 典型例题 1 已知p为 abc所在平面内一点 当时 点p位于 a abc的ab边上b abc的bc边上c abc的内部d abc的外部2 试用向量方法证明 对角线互相平分的四边形是平行四边形 解析 1 选d 由得所以p在过a与bc平行的直线上运动 故p位于 abc的外部 2 已知四边形abcd 其中ac与bd相交于点o 且ao oc do ob 求证 四边形abcd为平行四边形 证明 由题意知又由已知 所以即ab与dc平行且相等 所以四边形abcd为平行四边形 拓展提升 1 用向量法解决平面几何问题的步骤 1 将平面几何问题中的量抽象成向量 2 化归为向量问题 进行向量运算 3 将向量问题还原为平面几何问题 2 用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键 1 利用向量证明线段平行且相等从而证明四边形为平行四边形 只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可 2 根据图形灵活应用向量的运算法则 找到向量之间的关系是解决此类问题的关键 易错误区 向量减法的几何意义应用中的误区 典例 2013 兰州高一检测 已知d e f分别是 abc的边ab bc ca的中点 则 a b c d 解析 选a 因为d e f分别是 abc的边ab bc ca的中点 所以所以故a成立 故b不成立 故c不成立 故d不成立 误区警示 防范措施 1 重视向量知识与平面几何知识的结合利用平面几何中线线平行 线段相等可以推出向量共线 向量相等等结论 为向量式的变形提供依据 如本例中 利用线段中点及三角形中位线的性质可以推出等结论 2 记准向量减法的几何意义根据向量减法的几何意义作两个向量的差的基本步骤 作平移 共起点 两尾连 指被减 本例中一定要注意指向被减向量 类题试解 如图 在 abc中 若d是边bc的中点 e是边ab上一点 则 解析 因为所以答案 0 1 设b是a的相反向量 则下列说法错误的是 a a与b的长度必相等b a bc a与b一定不相等d a是b的相反向量 解析 选c 若b是a的相反向量 则b与a长度相等方向相反 结合向量共线和向量相等的定义可知 a b d中说