电磁场与电磁波.ppt.ppt

1 填空题 每空1分 共20分 简答题 每小题4分 共40分 计算题 每小题10分 共40分 2 计算题复习习题 第二章2 1 2 2 2 3 2 7 2 9 2 12 2 13 2 15 2 16 2 18 2 21 2 22 2 23 2 24 2 25 2 26 2 29第三章3 2 3 3 3 6 3 7 3 9 3 11 3 13 3 14 3 15 3 16 3 20 3 21 3 22 3 23 第四章4 34 104 11 3 第一章矢量分析 4 1 标量场的梯度 或 直角面坐标系 梯度的物理含义 5 2 矢量场的通量 通量的概念以及物理含义 通量的概念 面积元的法向单位矢量 穿过面积元的通量 如果曲面s是闭合的 则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外 矢量场对闭合曲面的通量是 6 直角坐标系 散度的表达式 散度的定义和物理含义 矢量场散度和通量之间的区别 7 4 散度定理 从散度的定义出发 可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分 即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系 在电磁理论中有着广泛的应用 8 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零 称该矢量场为无旋场 又称为保守场 环流的概念 矢量场对于闭合曲线c的环流定义为该矢量对闭合曲线c的线积分 即 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零 称该矢量场为有旋矢量场 能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源 电流是磁场的旋涡源 9 旋度的计算公式 旋度的定义和物理含义 10 3 斯托克斯定理 斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式 也在电磁理论中有广泛的应用 从旋度的定义出发 可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量 即 11 1 矢量场的源 散度源 是标量 产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于 或正比于 该封闭面内所包围的源的总和 源在一给定点的 体 密度等于 或正比于 矢量场在该点的散度 旋度源 是矢量 产生的矢量场具有涡旋性质 穿过一曲面的旋度源等于 或正比于 沿此曲面边界的闭合回路的环量 在给定点上 这种源的 面 密度等于 或正比于 矢量场在该点的旋度 1 6无旋场与无散场 12 2 矢量场按源的分类 1 无旋场 性质 线积分与路径无关 是保守场 仅有散度源而无旋度源的矢量场 无旋场可以用标量场的梯度表示为 例如 静电场 13 2 无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场 即 性质 无散场可以表示为另一个矢量场的旋度 例如 恒定磁场 14 从数学角度看 斯托克斯定理建立了和的关系 面积分 线积分 从数学角度看 高斯散度定理建立了和的关系 面积分 体积分 15 16 第2章电磁场的基本规律 17 2 1 3电荷守恒定律 电流连续性方程 电荷守恒定律 电荷既不能被创造 也不能被消灭 只能从物体的一部分转移到另一部分 或者从一个物体转移到另一个物体 电流连续性方程 积分形式 微分形式 流出闭曲面s的电流等于体积v内单位时间所减少的电荷量 恒定电流的连续性方程 恒定电流是无源场 电流线是连续的闭合曲线 既无起点也无终点 电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一 18 1 库仑 coulomb 定律 1785年 真空中静止点电荷q1对q2的作用力 满足牛顿第三定律 大小与两电荷的电荷量成正比 与两电荷距离的平方成反比 2 2 1库仑定律电场强度 方向沿q1和q2连线方向 同性电荷相排斥 异性电荷相吸引 19 电场力服从叠加定理 真空中的n个点电荷 分别位于 对点电荷 位于 的作用力为 20 2 电场强度 空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷 又称试验电荷 受到的作用力 即 如果电荷是连续分布呢 根据上述定义 真空中静止点电荷q激发的电场为 描述电场分布的基本物理量 电场强度矢量 试验正电荷 21 小体积元中的电荷产生的电场 22 2 2 2静电场的散度与旋度 高斯定理表明 静电场是有源场 电力线起始于正电荷 终止于负电荷 静电场的散度 微分形式 1 静电场散度与高斯定理 静电场的高斯定理 积分形式 环路定理表明 静电场是无旋场 是保守场 电场力做功与路径无关 静电场的旋度 微分形式 2 静电场旋度与环路定理 静电场的环路定理 积分形式 23 在电场分布具有一定对称性的情况下 可以利用高斯定理计算电场强度 3 利用高斯定理计算电场强度 具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解 球对称分布 包括均匀带电的球面 球体和多层同心球壳等 带电球壳 多层同心球壳 24 无限大平面电荷 如无限大的均匀带电平面 平板等 轴对称分布 如无限长均匀带电的直线 圆柱面 圆柱壳等 25 1 安培力定律 安培对电流的磁效应进行了大量的实验研究 在1821 1825年之间 设计并完成了电流相互作用的精巧实验 得到了电流相互作用力公式 称为安培力定律 实验表明 真空中的载流回路c1对载流回路c2的作用力 载流回路c2对载流回路c1的作用力 2 3 1安培力定律磁感应强度 26 2 磁感应强度 电流在其周围空间中产生磁场 描述磁场分布的基本物理量是磁感应强度 单位为t 特斯拉 磁场的重要特征是对场中的电流磁场力作用 载流回路c1对载流回路c2的作用力是回路c1中的电流i1产生的磁场对回路c2中的电流i2的作用力 根据安培力定律 有 其中 27 任意电流回路c产生的磁感应强度 电流元产生的磁感应强度 体电流产生的磁感应强度 面电流产生的磁感应强度 28 2 3 2恒定磁场的散度和旋度 1 恒定磁场的散度与磁通连续性原理 磁通连续性原理表明 恒定磁场是无源场 磁感应线是无起点和终点的闭合曲线 恒定场的散度 微分形式 磁通连续性原理 积分形式 安培环路定理表明 恒定磁场是有旋场 是非保守场 电流是磁场的旋涡源 恒定磁场的旋度 微分形式 2 恒定磁场的旋度与安培环路定理p48 安培环路定理 积分形式 29 2 4 1电介质的极化电位移矢量 1 电介质的极化现象 电介质的分子分为无极分子和有极分子 在电场作用下 介质中无极分子的束缚电荷发生位移 有极分子的固有电偶极矩的取向趋于电场方向 这种现象称为电介质的极化 无极分子的极化称为位移极化 有极分子的极化称为取向极化 30 由于极化 正 负电荷发生位移 在电介质内部可能出现净余的极化电荷分布 同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷 3 极化电荷 1 极化电荷体密度 在电介质内任意作一闭合面s 只有电偶极矩穿过s的分子对s内的极化电荷有贡献 由于负电荷位于斜柱体内的电偶极矩才穿过小面元ds 因此ds对极化电荷的贡献为 s所围的体积内的极化电荷为 31 2 极化电荷面密度 紧贴电介质表面取如图所示的闭合曲面 则穿过面积元的极化电荷为 故得到电介质表面的极化电荷面密度为 32 2 4 2磁介质的磁化磁场强度 1 磁介质的磁化 介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流 形成分子磁矩 在外磁场作用下 分子磁矩定向排列 宏观上显示出磁性 这种现象称为磁介质的磁化 无外磁场作用时 分子磁矩不规则排列 宏观上不显磁性 33 由 即得到磁化电流体密度 在紧贴磁介质表面取一长度元dl 与此交链的磁化电流为 2 磁化电流面密度 则 即 34 则得到介质中的安培环路定理为 磁通连续性定理为 小结 恒定磁场是有旋无源场 磁介质中的基本方程为 积分形式 微分形式 35 2 4 3媒质的传导特性 对于线性和各向同性导电媒质 媒质内任一点的电流密度矢量j和电场强度e成正比 表示为 这就是欧姆定律的微分形式 式中的比例系数称为媒质的电导率 单位是s m 西 米 存在可以自由移动带电粒子的介质称为导电媒质 在外场作用下 导电媒质中将形成定向移动电流 36 2 5电磁感应定律和位移电流 本节内容2 5 1电磁感应定律2 5 2位移电流 电磁感应定律 揭示时变磁场产生电场 位移电流 揭示时变电场产生磁场 重要结论 在时变情况下 电场与磁场相互激励 形成统一的电磁场 37 2 5 1电磁感应定律 1881年法拉第发现 当穿过导体回路的磁通量发生变化时 回路中就会出现感应电流和电动势 且感应电动势与磁通量的变化有密切关系 由此总结出了著名的法拉第电磁感应定律 负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化 1 法拉第电磁感应定律的表述 当通过导体回路所围面积的磁通量 发生变化时 回路中产生的感应电动势的大小等于磁通量的时间变化率的负值 方向是要阻止回路中磁通量的改变 即 38 全电流定律 微分形式 积分形式 全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场 变化的电场也可以激发磁场 它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系 39 2 位移电流密度 电位移矢量随时间的变化率 能像电流一样产生磁场 故称 位移电流 注 在绝缘介质中 无传导电流 但有位移电流 在理想导体中 无位移电流 但有传导电流 在一般介质中 既有传导电流 又有位移电流 位移电流只表示电场的变化率 与传导电流不同 它不产生热效应 位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步 它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念 40 2 6 1麦克斯韦方程组的积分形式 41 2 6 2麦克斯韦方程组的微分形式 42 2 6 3媒质的本构关系 代入麦克斯韦方程组中 有 各向同性线性媒质的本构关系为 43 2 7 1边界条件一般表达式 44 两种理想介质分界面上的边界条件 2 7 2两种常见的情况 在两种理想介质分界面上 通常没有电荷和电流分布 即js 0 s 0 故 45 2 理想导体表面上的边界条件 理想导体表面上的边界条件设媒质2为理想导体 则e2 d2 h2 b2均为零 故 理想导体 电导率为无限大的导电媒质 特征 电磁场不可能进入理想导体内 46 47 48 第3章静态电磁场及其边值问题的解 49 2 边界条件 微分形式 本构关系 1 基本方程 积分形式 或 或 3 1 1静电场的基本方程和边界条件 若分界面上不存在面电荷 即 则 50 在静电平衡的情况下 导体内部的电场为0 则导体表面的边界条件为 或 场矢量的折射关系 导体表面的边界条件 51 2 电位的表达式 对于连续的体分布电荷 由 同理得 面电荷的电位 故得 点电荷的电位 线电荷的电位 p13 52 在均匀介质中 有 5 电位的微分方程 在无源区域 53 电容是导体系统的一种基本属性 是描述导体系统储存电荷能力的物理量 孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值 即 1 电容 孤立导体的电容 两个带等量异号电荷 q 的导体组成的电容器 其电容为 电容的大小只与导体系统的几何尺寸 形状和及周围电介质的特性参数有关 而与导体的带电量和电位无关 54 1 假定两导体上分别带电荷 q和 q 计算电容的方法一 4 求比值 即得出所求电容 3 由 求出两导体间的电位差 2 计算两导体间的电场强度e 计算电容的方法二 1 假定两电极间的电位差为u 4 由得到 2 计算两电极间的电位分布 3 由得到e 5 由 求出导体的电荷q 6 求比值 即得出所求电容 55 如果充电过程进行得足够缓慢 就不会有能量辐射 充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量 或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功 静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量 静电场最基本的特征是对电荷有作用力 这表明静电场具有能量 任何形式的带电系统 都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立 或充电 过程 在此过程中 外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功 3 1 4静电场的能量 56 1 静电场的能量 设系统从零开始充电 最终带电量为q 电位为 充电过程中某一时刻的电荷量为 q 电位为 0 1 当 增加为 d 时 外电源做功为 qd 对 从0到1积分 即得到外电源所做的总功为 根据能量守恒定律 此功也就是电量为q的带电体具有的电场能量we 即 对于电荷体密度为 的体分布电荷 体积元dv中的电荷 dv具有的电场能量为 57 故体分布电荷的电场能量为 对于面分布电荷 电场能量为 对于多导体组成的带电系统 则有 第i个导体所带的电荷 第i个导体的电位 式中 58 2 电场能量密度 从场的观点来看 静电场的能量分布于电场所在的整个空间 电场能量密度 电场的总能量 对于线性 各向同性介质 则有 59 3 2 1恒定电场的基本方程和边界条件 恒定电场的基本方程为 微分形式 积分形式 恒定电场的基本场矢量是电流密度和电场强度 线性各向同性导电媒质的本构关系 恒定电场的电位函数 由 若媒质是均匀的 则 60 2 恒定电场的边界条件 场矢量的边界条件 即 即 导电媒质分界面上的电荷面密度 场矢量的折射关系 61 微分形式 1 基本方程 2 边界条件 本构关系 或 若分界面上不存在面电流 即js 0 则 积分形式 或 3 3 1恒定磁场的基本方程和边界条件 62 3 3 4恒定磁场的能量 1 磁场能量 在恒定磁场建立过程中 电源克服感应电动势做功所供给的能量 就全部转化成磁场能量 电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动 表明恒定磁场具有能量 磁场能量是在建立电流的过程中 由电源供给的 当电流从零开始增加时 回路中的感应电动势要阻止电流的增加 因而必须有外加电压克服回路中的感应电动势 假定建立并维持恒定电流时 没有热损耗 假定在恒定电流建立过程中 电流的变化足够缓慢 没有辐射损耗 63 2 磁场能量密度 从场的观点来看 磁场能量分布于磁场所在的整个空间 磁场能量密度 磁场的总能量 对于线性 各向同性介质 则有 64 3 4 1边值问题的类型 已知场域边界面上的位函数值 即 边值问题 在给定的边界条件下 求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程 第一类边值问题 或狄里赫利问题 已知场域边界面上的位函数的法向导数值 即 已知场域一部分边界面上的位函数值 而另一部分边界面上则已知位函数的法向导数值 即 第三类边值问题 或混合边值问题 第二类边值问题 或纽曼问题 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 65 在场域v的边界面s上给定或的值 则泊松方程或拉普拉斯方程在场域v具有惟一值 3 4 2惟一性定理 惟一性定理的重要意义 给出了静态场边值问题具有惟一解的条件 为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据 为求解结果的正确性提供了判据 惟一性定理的表述 66 2 镜像法的原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布 从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间 使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法 在导体形状 几何尺寸 带电状况和媒质几何结构 特性不变的前提条件下 根据惟一性定理 只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件 那就是该问题的解答 并且是惟一的解答 镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理 面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法 3 镜像法的理论基础 解的惟一性定理 67 像电荷的个数 位置及其电量大小 三要素 4 镜像法应用的关键点 5 确定镜像电荷的两条原则 等效求解的 有效场域 镜像电荷的确定 像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中 像电荷的个数 位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定 68 3 6分离变量法 将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积 把偏微分方程分解成n个常微分方程 求出各常微分方程的通解后 把它们线性叠加起来 得到级数形式解 并利用给定的边界条件确定待定常数 分离变量法是求解边值问题的一种经典方法 分离变量法的理论依据是惟一性定理 分离变量法解题的基本思路 69 70 第4章时变电磁场 71 本章内容4 1波动方程4 2电磁场的位函数4 3电磁能量守恒定律4 4惟一性定理4 5时谐电磁场 72 4 1波动方程 在无源空间中 设媒质是线性 各向同性且无损耗的均匀媒质 则有 无源区的波动方程 波动方程 二阶矢量微分方程 揭示电磁场的波动性 麦克斯韦方程 一阶矢量微分方程组 描述电场与磁场间的相互作用关系 问题的提出 73 同理可得 推证 问题 若为有源空间 结果如何 若为导电媒质 结果如何 74 4 2电磁场的位函数 讨论内容 位函数的性质 位函数的定义 位函数的规范条件 位函数的微分方程 75 引入位函数来描述时变电磁场 使一些问题的分析得到简化 引入位函数的意义 位函数的定义 76 位函数的不确定性 满足下列变换关系的两组位函数和能描述同一个电磁场问题 即 也就是说 对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述 不同位函数之间的上述变换称为规范变换 原因 未规定的散度 为任意可微函数 77 除了利用洛仑兹条件外 另一种常用的是库仑条件 即 在电磁理论中 通常采用洛仑兹条件 即 位函数的规范条件 造成位函数的不确定性的原因就是没有规定的散度 利用位函数的不确定性 可通过规定的散度使位函数满足的方程得以简化 78 位函数的微分方程 79 同样 80 4 3电磁能量守恒定律 讨论内容 坡印廷定理 电磁能量及守恒关系 坡印廷矢量 81 进入体积v的能量 体积v内增加的能量 体积v内损耗的能量 电场能量密度 磁场能量密度 电磁能量密度 空间区域v中的电磁能量 特点 当场随时间变化时 空间各点的电磁场能量密度也要随时间改变 从而引起电磁能量流动 电磁能量守恒关系 电磁能量及守恒关系 82 其中 单位时间内体积v中所增加的电磁能量 单位时间内电场对体积v中的电流所做的功 在导电媒质中 即为体积v内总的损耗功率 通过曲面s进入体积v的电磁功率 表征电磁能量守恒关系的定理 积分形式 坡印廷定理 微分形式 83 在线性和各向同性的媒质中 当参数都不随时间变化时 则有 将以上两式相减 得到 由 推证 84 即可得到坡印廷定理的微分形式 再利用矢量恒等式 在任意闭曲面s所包围的体积v上 对上式两端积分 并应用散度定理 即可得到坡印廷定理的积分形式 物理意义 单位时间内 通过曲面s进入体积v的电磁能量等于体积v中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和 85 定义 w m2 物理意义 的方向 电磁能量传输的方向 的大小 通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁功率 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 坡印廷矢量 电磁能流密度矢量 86 时谐电磁场可用复数方法来表示 使得大多数时谐电磁场问题的分析得以简化 设是一个以角频率 随时间t作正弦变化的场量 它可以是电场和磁场的任意一个分量 也可以是电荷或电流等变量 它与时间的关系可以表示成 其中 时间因子 利用三角公式 式中的a0为振幅 为与坐标有关的相位因子 时谐电磁场的复数表示 87 场矢量瞬时形式和复数形式的相互转换 见例4 5 1和4 5 2 88 第5章均匀平面波在无界空间中的传播 89 均匀平面波的概念 波阵面 空间相位相同的点构成的曲面 即等相位面 平面波 等相位面为无限大平面的电磁波 均匀平面波 等相位面上电场和磁场的方向 振幅都保持不变的平面波 均匀平面波是电磁波的一种理想情况 其分析方法简单 但又表征了电磁波的重要特性 90 1 均匀平面波的传播参数 周期t 时间相位变化2 的时间间隔 即 1 角频率 频率和周期 角频率 表示单位时间内的相位变化 单位为rad s 频率f 5 1 2理想介质中均匀平面波的传播特点 91 2 波长和相位常数 k的大小等于空间距离2 内所包含的波长数目 因此也称为波数 波长 空间相位差为2 的两个波阵面的间距 即 相位常数k 表示波传播单位距离的相位变化 92 3 相速 波速 真空中 由 相速v 电磁波的等相位面在空间中的移动速度 故得到均匀平面波的相速为 93 2 能量密度与能流密度 故 94 3 理想介质中的均匀平面波的传播特点 电场 磁场与传播方向之间相互垂直 是横电磁波 tem波 无衰减 电场与磁场的振幅不变 波阻抗为实数 电场与磁场同相位 电磁波的相速与频率无关 无色散 电场能量密度等于磁场能量密度 能量的传输速度等于相速 根据前面的分析 可总结出理想介质中的均匀平面波的传播特点为 95 一般情况下 沿 z方向传播的均匀平面波 其中 电磁波的极化状态取决于ex和ey的振幅之间和相位之间的关系 分为 线极化 圆极化 椭圆极化 极化的三种形式 线极化 电场强度矢量的端点轨迹为一直线段 圆极化 电场强度矢量的端点轨迹为一个圆 椭圆极化 电场强度矢量的端点轨迹为一个椭圆