高中数学（新知初探+题型探究+典例展示）2.3.2 平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2.ppt

2 3 2平面与平面垂直的判定 第二章点 直线 平面之间的位置关系 学习导航学习目标重点难点重点 能用面面垂直的判定定理证明面面垂直及求二面角的大小 难点 求二面角的大小 1 二面角的有关概念 1 半平面的定义 平面内的一条直线把这个平面分成 部分 其中的每一部分都叫做半平面 2 二面角的定义 从一条直线出发的两个 所组成的 叫做二面角 如图 1 其中的直线叫做二面角的 这两个半平面叫做二面角的 两 半平面 图形 棱 面 3 二面角的记法 棱为ab 面分别为 的二面角记作二面角 有时为了方便 也可在 内 棱以外的半平面部分 分别取点p q 将这个二面角记作二面角p ab q 如果棱记作l 那么这个二面角记作二面角 l 或二面角p l q 如图 2 所示 ab 4 二面角的平面角 如图 3 所示 在二面角的棱l上任取一点o 以点o为垂足 在半平面 和 内分别作 于棱l的射线oa和ob 则射线oa和ob构成的 aob叫做二面角的平面角 5 直二面角 平面角是 的二面角叫做直二面角 垂直 直角 想一想1 二面角的平面角与棱上的点的位置有关吗 提示 无关 只与二面角的大小有关 做一做1 在正方体abcd a1b1c1d1中 二面角d1 ab d的平面角的大小是 答案 45 2 两个平面垂直 1 两个平面互相垂直的定义 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 2 表示法 两个互相垂直的平面通常画成如下图 1 2 所示的样子 此时把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直 平面 与 垂直 记为 3 两个平面互相垂直的判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 符号语言 a a 垂线 想一想2 过平面 的一条垂线能作多少个平面与平面 垂直 提示 无数个 做一做2 在三棱锥p abc中 已知pa pb pb pc pc pa 如图所示 则在三棱锥p abc的四个面中 互相垂直的面有 对 解析 平面pab 平面pac 平面pab 平面pbc 平面pac 平面pbc 答案 3 题型一二面角及其平面角的理解 下列说法 两个相交平面组成的图形叫做二面角 异面直线a b分别和一个二面角的两个面垂直 则a b所成的角与这个二面角相等或互补 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个面内作射线所成角的最小角 其中正确的是 a b c d 题型探究 解析 对于 混淆了平面与半平面的概念 是错误的 对于 由于a b分别垂直于两个平面 所以也垂直于二面角的棱 但由于异面直线所成的角为锐角 或直角 所以应是相等或互补 是正确的 对于 因为从棱上一点出发 分别在两个面内作射线所成角与该二面角的平面角比较 大小不确定 所以是错误的 答案 b 名师点评 结合定义对二面角及二面角的平面角要加以区别 跟踪训练1 自二面角棱l上任选一点o 若 aob是二面角 l 的平面角 则必须具有条件 a ao bo ao bo b ao l bo lc ab l ao bo d ao l bo l 且ao bo 解析 选d 根据二面角的相关概念进行分析判断 在棱的同一点分别在两个半平面作棱的垂线 如图所示 已知 bsc 90 bsa csa 60 又sa sb sc 求证 平面abc 平面sbc 题型二面面垂直的判定与证明 证明 法一 利用定义证明 bsa csa 60 sa sb sc asb和 asc是等边三角形 则有sa sb sc ab ac 令其值为a 则 abc和 sbc为共底边bc的等腰三角形 取bc的中点d 如图所示 名师点评 证明面面垂直常用的方法有 1 定义法 即说明两个半平面所成的二面角是直二面角 2 判定定理法 在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直 即把问题转化为 线面垂直 3 性质法 两个平行平面中的一个垂直于第三个平面 则另一个也垂直于此平面 互动探究2 在本例中 若sa sb sc 2 其他条件不变 如何求三棱锥s abc的体积呢 如图 四边形abcd是正方形 pa 平面abcd 且pa ab 求二面角b pc d的大小 题型三求二面角的大小 解 作be pc于e 连接de 如图 则由 pbc pdc 知 bpe dpe 从而 pbe pde dep bep 90 且be de bed为二面角b pc d的平面角 pa 平面abcd pa bc 名师点评 求二面角的大小关键是作出平面角 求二面角大小的步骤是 1 找出这个平面角 2 证明这个角是二面角的平面角 3 作出这个角所在的三角形 解这个三角形 求出角的大小 跟踪训练 1 根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角为直二面角 如例2 通常情况下利用判定定理要比定义简单些 是证明面面垂直的常用方法 即要证面面垂直 只要转证线面垂直 其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直 2 确定二面角的平面角的方法 1 定义法 在二面角的棱上找一个特殊点 在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线 如例3 2 垂面法 过棱上一点作棱的垂直平面 该平面与二面角的两个半平面产生交线 这两条交线所成的角 即为二面角的平面角 方法感悟 如图所示 已知三棱锥p abc acb 90 cb 4 ab 20 d为ab的中点 且 pdb是正三角形 pa pc 1 求证 平面pac 平面abc 2 求二面角d ap c的正弦值 3 若m为pb的中点 求三棱锥m bcd的体积