高中数学（新知初探+题型探究+典例展示）2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必修4.ppt

2 4平面向量的数量积2 4 1平面向量数量积的物理背景及其含义 第二章平面向量 学习导航 1 平面向量数量积的定义 已知两非零向量a与b 它们的夹角为 则把数量 叫做a与b的 或 记作a b 即 规定零向量与任一向量的数量积均为 数量积 内积 0 a b cos a b a b cos 想一想1 向量的数量积与向量的数乘相同吗 提示 不相同 向量的数量积a b是一个实数 数乘向量 a是一个向量 做一做1 若 m 4 n 6 m与n的夹角为135 则m n 2 向量的数量积的几何意义 1 投影 a cos b cos 叫做向量a在b方向上 b在a方向上 的 2 几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 的乘积 想一想2 投影是向量吗 提示 投影是数量而不是向量 它可正可负可为零 它的符号由 的取值决定 投影 b cos a b 0 a b a b 做一做 答案 30 4 向量数量积的运算律 1 a b 交换律 2 a b 结合律 3 a b c 分配律 b a a b a b a c b c 想一想3 对于向量a b c 等式 a b c a b c 一定成立吗 提示 不一定成立 若 a b c 0 其方向与c相同或相反 而a b c 0时其方向与a相同或相反 而a与c方向不一定相同 故该等式不一定成立 题型一向量数量积的运算 名师点评 求两向量数量积的步骤是 1 求a与b的夹角 2 分别求 a b 3 求数量积 即a b a b cos 应注意书写时a与b之间用 连接 而不能用 连接 也不能省去 跟踪训练 1 已知 a 3 b 6 当 a b a b a与b的夹角是60 时 分别求a b 解 当a b时 若a与b同向 则它们的夹角 0 a b a b cos0 3 6 1 18 若a与b反向 则它们的夹角 180 a b a b cos180 3 6 1 18 题型二向量的模长问题 跟踪训练 题型三两个向量的夹角和垂直 1 已知a2 1 b2 2 a b a 0 求a与b的夹角 2 已知平面上三个向量a b c的模均为1 它们相互之间的夹角为120 求证 a b c 2 证明 由题意可得 a b c a c b c a c cos120 b c cos120 0 所以 a b c 跟踪训练3 已知单位向量e1 e2的夹角为60 求向量a e1 e2 b e2 2e1的夹角 1 向量数量积的几何意义 是一个向量的长度乘以另一向量在其上的投影值 这个投影值可正可负也可以为零 向量的数量积的结果是一个实数 2 数量积的运算律只适合交换律 加乘分配律及数乘结合律 但不适合乘法结合律 即 a b c a b c 这里是因为a b b c都是实数 a b c与向量c方向相同或相反 a b c 与向量a方向相同或相反 而a与c不一定共线 就是a与c共线 a b c与a b c 也不一定相等 3 向量数量积的性质及作用设a和b是非零向量 a与b的夹角为 1 a b a b 0 此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系 2 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 即当a与b共线时 a b a b 此性质可用来证明向量共线 规范解答 应用向量的模及夹角求解 本题满分12分 已知 a 4 b 8 a与b的夹角是120 1 计算 4a 2b 2 当k为何值时 a 2b ka b 1 2 2 若 a 2b ka b 则 a 2b ka b 0 8分 ka2 2k 1 a b 2b2 0 10分即16k 16 2k 1 2 64 0 k 7 12分 3 抓关键促规范 若cos120 值算错 则后续计算结果全错 是本题的关键点 解答时 应先求出 从而可