吉林省松原市扶余县第一中学高考数学总复习 专题三第2讲 数列求和及综合应用课件.ppt

第2讲数列求和及综合应用 本节目录 感悟真题把脉考向 聚焦高考突破热点 名师讲坛精彩呈现 知能演练轻松闯关 真题试做 1 2011 高考江西卷 已知数列 an 的前n项和sn满足 sn sm sn m 且a1 1 那么a10 a 1b 9c 10d 55解析 选a sn sm sn m 且a1 1 s1 1 可令m 1 得sn 1 sn 1 sn 1 sn 1 即当n 1时 an 1 1 a10 1 2 2010 高考浙江卷 设a1 d为实数 首项为a1 公差为d的等差数列 an 的前n项和为sn 满足s5s6 15 0 则d的取值范围是 3 2012 高考江西卷 已知数列 an 的前n项和sn kcn k 其中c k为常数 且a2 4 a6 8a3 1 求an 2 求数列 nan 的前n项和tn 考向分析 数列求和问题是数列中的重要知识 在各地的高考试题中频频出现 对于等差数列 等比数列的求和主要是运用公式 而非等差数列 非等比数列的求和问题 一般用倒序相加法 通项化归法 错位相减法 裂项相消法 分组求和法等 数列知识 不仅可与函数 方程 不等式相联系 而且还可与三角函数 立体几何密切相关 数列作为特殊的函数 在实际问题中有着广泛的应用 如增长率 银行信贷等问题 这就要求考生除熟练运用有关概念外 还要善于观察题设的特征 联想有关数学知识和方法 迅速确定解题的方向 以提高解数列题的速度 热点一数列求和 1 等差 等比数列的求和可直接利用求和公式 此时需准确确定所求和的项数 注意等比数列的公比是否需分q 1和q 1两种情况讨论 2 有些数列可通过构造新数列 转化为等差 或等比 数列或等差 等比数列组合 再分别用公式求和 3 对于非等差 等比数列的求和 常用裂项相消法 错位相减法 倒序相加法等方法求得 2012 高考天津卷 已知 an 是等差数列 其前n项和为sn bn 是等比数列 且a1 b1 2 a4 b4 27 s4 b4 10 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 记tn a1b1 a2b2 anbn n n 证明tn 8 an 1bn 1 n n n 2 思路点拨 1 根据已知条件列出方程组 求得公差 公比 可得通项公式 2 利用错位相减法 求解数列的前n项和即可证明 3n 4 2n 1 8 即tn 8 3n 4 2n 1 而当n 2时 an 1bn 1 3n 4 2n 1 所以tn 8 an 1bn 1 n n n 2 规律方法 数列求和的方法 1 直接由等差 等比数列的求和公式求和 注意对等比数列中q 1的讨论 2 错位相减法 主要用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列求和 即等比数列求和公式的推导过程的推广 3 裂项相消求和法 把数列每一项分裂成两项的和 通过正 负项相消求和 4 分组转化法 把数列的每一项分成两项 使其转化为几个等差 等比数列 再求解 注意 利用错位相减法求和时 转化为等比数列求和 若公比是参数 字母 则应先对参数进行讨论 变式1 热点二数列与函数 不等式的交汇数列是特殊的函数 以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点 该类综合题的知识综合性强 能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力 因而一直是高考命题者的首选 热点三数列的实际应用解数列应用题的关键是建模 建模的思路是 从实际出发 通过抽象概括建立数学模型 通过对模型的解析 再返回实际中去 其思路框图为 2012 高考湖南卷 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产 该企业第一年年初有资金2000万元 将其投入生产 到当年年底资金增长了50 预计以后每年资金年增长率与第一年的相同 公司要求企业从第一年开始 每年年底上缴资金d万元 并将剩余资金全部投入下一年生产 设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元 1 用d表示a1 a2 并写出an 1与an的关系式 2 若公司希望经过m m 3 年使企业的剩余资金为4000万元 试确定企业每年上缴资金d的值 用m表示 思路点拨 1 由第n年和第 n 1 年的资金变化情况 得到an和an 1的递推关系 2 由递推关系 利用迭代的方法可求通项公式 问题可解 规律方法 在数列应用题中 如果增加 或减少 的量是一个固定量时 该模型即为等差模型 增加 或减少 的量就是公差 则可把应用问题抽象为数学中的等差数列问题 然后用等差数列知识对模型解析 最后再返回实际中去 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 该模型是等比模型 这个固定的数就是公比 解此类题型的思路同等差数列模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定 随项的变化而变化时 应考虑an与an 1的递推关系 或考虑前n项和sn与sn 1的递推关系 变式3某市投资甲 乙两个工厂 2012年两工厂的年产量均为100万吨 在今后的若干年内 甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨 乙工厂第n年比上一年增加2n 1万吨 记2012年为第一年 甲 乙两工厂第n年的年产量分别记为an bn 1 求数列 an bn 的通项公式 2 若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍 则将另一工厂兼并 问到哪一年底其中一个工厂将被另一工厂兼并 解 1 因为 an 是等差数列 a1 100 d 10 所以an 10n 90 因为bn bn 1 2n 1 bn 1 bn 2 2n 2 b2 b1 2 所以bn 100 2 22 2n 1 2n 98 2 当n 5时 an bn且an 2bn 当n 6时 an bn 所以甲工厂有可能被乙工厂兼并 2an bn 即2 10n 90 2n 98 解得n 8 故2019年底甲工厂将被乙工厂兼并 备选例题 1 2012 长春市调研 已知等差数列 an 满足 a5 9 a2 a6 14 1 求 an 的通项公式 2 若bn an qan q 0 求数列 bn 的前n项和sn 本题满分12分 2012 高考湖北卷 已知等差数列 an 前三项的和为 3 前三项的积为8 1 求等差数列 an 的通项公式 2 若a2 a3 a1成等比数列 求数列 an 的前n项和 构建答题模板 1 列出关于首项a1和公差d的方程