高三数学一轮复习 2.4函数的奇偶性与周期性课件.ppt

备考方向要明了 考什么 怎么考 1 结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 2 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性 3 了解函数周期性 最小正周期的含义 1 高考对函数奇偶性的考查有两个方面 一是判断函数奇偶性 二是函数奇偶性概念的应用 一般为求参数或求值 如2010年高考t5 2 高考对周期性的考查主要是针对三角函数 一般函数不做要求 归纳知识整合 1 函数的奇偶性 f x f x f x f x y轴 原点 探究 1 奇函数 偶函数的定义域具有什么特点 它是函数具有奇偶性的什么条件 提示 定义域关于原点对称 必要不充分条件 2 若f x 是奇函数且在x 0处有定义 是否有f 0 0 如果是偶函数呢 提示 如果f x 是奇函数时 f 0 f 0 则f 0 0 如果f x 是偶函数时 f 0 不一定为0 如f x x2 1 3 是否存在既是奇函数又是偶函数的函数 若有 有多少个 提示 存在 如f x 0 定义域是关于原点对称的任意一个数集 这样的函数有无穷多个 2 周期性 1 周期函数 对于函数f x 如果存在一个非零的常数t 使得定义域内的每一个x值 都满足 那么函数f x 就叫做周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个的正数 那么这个就叫做f x 的最小正周期 探究 4 若t为y f x 的一个周期 那么nt n z 是函数f x 的周期吗 提示 不一定 由周期函数的定义知 函数的周期是非零常数 当n z且n 0时 nt是f x 的一个周期 f x t f x 最小 最小正数 自测牛刀小试 解析 首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称 然后由奇函数的定义逐个判断可知 为奇函数 答案 2 4 2012 重庆高考 若f x x a x 4 为偶函数 则实数a 5 设函数f x 是定义在r上的奇函数 若当x 0 时 f x lgx 则满足f x 0的x的取值范围是 解析 当x 0 时 f x lgx 当x 0 1 时 f x 0 又 函数f x 为奇函数 当x 1 0 时 f x 0 当x 1 时 f x 0的x的取值范围是 1 0 1 答案 1 0 1 判断函数的奇偶性 2 函数定义域为 0 0 关于原点对称 又当x 0时 f x x2 x 则当x0 故f x x2 x f x 当x0时 x 0 故f x x2 x f x 故原函数是偶函数 函数奇偶性的应用 答案 1 3 2 2 与函数奇偶性有关的问题及解决方法 1 已知函数的奇偶性 求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 2 已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量 转化到已知区间上 再利用奇偶性求出 或充分利用奇偶性构造关于f x 的方程 组 从而得到f x 的解析式 3 已知函数的奇偶性 求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法 利用f x f x 0得到关于待求参数的恒等式 由系数的对等性得参数的值或方程求解 4 应用奇偶性画图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性 2 设f x 为定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x 2x b b为常数 则f 1 解析 因为f x 为定义在r上的奇函数 所以f 0 20 2 0 b 0 解得b 1 所以当x 0时 f x 2x 2x 1 所以f 1 f 1 21 2 1 1 3 答案 3 3 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 则f 25 f 11 f 80 的大小关系为 解析 因为f x 满足f x 4 f x 所以f x 8 f x 所以函数是以8为周期的周期函数 则f 25 f 1 f 80 f 0 f 11 f 3 又因为f x 在r上是奇函数 f 0 0 得f 80 f 0 0 f 25 f 1 f 1 而由f x 4 f x 得f 11 f 3 f 3 f 1 4 f 1 又因为f x 在区间 0 2 上是增函数 所以f 1 f 0 0 所以 f 1 0 即f 25 f 80 f 11 答案 f 25 f 80 f 11 函数的周期性及其应用 答案 1 338 2 10 2 已知函数f x 是定义域为r的偶函数 且f x 1 f x 若f x 在 1 0 上是减函数 那么f x 在 1 3 上的单调增区间为 解析 由f x 在 1 0 上是减函数 又f x 是r上的偶函数 所以f x 在 0 1 上是增函数 由f x 1 f x 得f x 2 f x 1 1 f x 1 f x 故函数f x 是以2为周期的周期函数 结合以上性质 模拟画出f x 部分图象的变化趋势 如下图 由图象可以观察出 f x 在 1 2 上为减函数 在 2 3 上为增函数 答案 2 3 开区间也对 创新交汇 与奇偶性 周期性有关的交汇问题 1 函数的奇偶性 周期性以及单调性是函数的三大性质 在高考中常常将它们综合在一起命制试题 其中奇偶性多与单调性相结合 而周期性常与抽象函数相结合 并以结合奇偶性求函数值为主 2 根据奇偶性的定义知 函数的奇偶性主要体现为f x 与f x 的相等或相反关系 而根据周期函数的定义知 函数的周期性主要体现为f x t 与f x 的关系 它们都与f x 有关 因此 在一些题目中 函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到 函数的奇偶性体现的是一种对称关系 而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律 因此 在解题时 往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性 即实现区间的转换 再利用单调性来解决相关问题 答案 6 1 2013 衡阳六校联考 已知函数f x 是 上的偶函数 若对于x 0 都有f x 2 f x 且当x 0 2 时 f x log2 x 1 则f 2011 f 2012 解析 f x 是 上的偶函数 f 2011 f 2011 当x 0时 f x 4 f x 2 f x 则f x 是以4为周期的函数 注意到2011 4 502 3 2012 4 503 f 2011 f 3 f 1 2 f 1 log2 1 1 1 f 2012 f 0 log21 0 f 2011 f 2012 1 答案 1 2 2012 朝阳模拟 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 且对任意的x r 都有f x 2 f x 当0 x 1时 f x x2 若直线y x a与函数y f x 的图象在 0 2 内恰有两个不同的公共点 则实数a的值是 解析 f x 2 f x t 2 又0 x 1时 f x x2 可画出函数y f x 在一个周期内的图象如图 3 2012 珠海模拟 设定义在r上的函数f x 满足f x f x 2 13 若f 1 2 则f 99 1 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且x 0 2 时 f x x2 1 则f 7 的值为 解析 f 7 f 3 f 1 f 1 12 1 2 答案 2 2 若定义在r上的偶函数f x 和奇函数g x 满足f x g x ex 则g x 等于 3 已知f x 是r上最小正周期为2的周期函数 且当0 x 2时 f x x3 x 则函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为 解析 f x 是最小正周期为2的周期函数 且0 x 2时 f x