2019高考数学一轮复习精编课件：函数的奇偶性与周期性.ppt

一 函数的奇偶性 任意一个 f x f x 任意一个 f x f x y轴 原点 1 奇 偶 函数的定义域有何特点 提示 若函数f x 具有奇偶性 则f x 的定义域关于原点对称 反之 若函数的定义域不关于原点对称 则该函数无奇偶性 二 奇偶函数的性质1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 填 相同 相反 2 在相同的定义域内 1 两个奇函数的和是 两个奇函数的积是 2 两个偶函数的和 积是 3 一个奇函数 一个偶函数的积是 3 若f x 是奇函数且在x 0处有定义 则f 0 0 4 若f x 是偶函数 则有f x f x f x 相同 相反 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 2 若f x 是偶函数且在x 0处有定义 是否有f 0 0 提示 不一定 如f x x2 1 而f 0 1 三 周期性1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的任何值时 都有f x T 那么就称函数y f x 为周期函数 称T为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中的正数 那么这个正数就叫做f x 的最小正周期 f x 存在 一个最小 最小 3 对称性与周期性的关系 1 若函数f x 关于直线x a和直线x b对称 则函数f x 必为周期函数 2 a b 是它的一个周期 2 若函数f x 关于点 a 0 和点 b 0 对称 则函数f x 必为周期函数 2 a b 是它的一个周期 3 若函数f x 关于点 a 0 和直线x b对称 则函数f x 必为周期函数 4 a b 是它的一个周期 3 一个函数若具有周期性 其周期唯一吗 提示 若T为函数y f x 的周期 则kT k 0 也为函数的周期 故周期不唯一 1 设函数f x 和g x 分别是R上的偶函数和奇函数 则下列结论恒成立的是 A f x g x 是偶函数B f x g x 是奇函数C f x g x 是偶函数D f x g x 是奇函数 解析 函数f x 和g x 分别是R上的偶函数和奇函数 f x f x g x g x 令F x f x g x F x f x g x f x g x f x g x F x 故F x 为偶函数 即f x g x 是偶函数 答案 A 2 若函数f x 是定义在R上的偶函数 在 0 上是减函数 且f 2 0 则使得f x 0的取值范围是 A 2 B 2 C 2 2 D 2 2 解析 f x 是偶函数且在 0 上是减函数 且f 2 f 2 0 可画示意图如图所示 由图知f x 0的解集为 2 2 答案 D 3 2013 长沙模拟 函数f x 的定义域为R 且满足 f x 是偶函数 f x 1 是奇函数 若f 0 5 9 则f 8 5 等于 A 9B 9C 3D 0解析 f x f x f x 1 f x 1 f 2 x f x f x 则f 4 x f x 2 f x 即4是函数f x 的一个周期 f 8 5 f 0 5 9 故应选B 答案 B 5 设f x 是 上的奇函数 且f x 2 f x 下面关于f x 的判定 其中所有正确命题的序号为 f 4 0 f x 是以4为周期的函数 f x 的图象关于x 1对称 f x 的图象关于x 2对称 解析 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 的周期为4 f 4 f 0 0 又f x 2 f x f x f x 的图象关于x 1对称 综上 正确 答案 考向探寻 1 运用函数奇偶性的定义判断 2 运用函数图象判断 3 抽象函数的奇偶性的判断 注意挖掘函数 原形 常采用 赋值 等策略 1 令x y 0 得f 0 然后令y x 判断f x 与f x 的关系即可 2 首先判断函数的定义域 若可能具有奇偶性 则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简 最后判断f x 与f x 间的关系 相等还是互为相反数 1 解析 显然f x 的定义域是R 关于原点对称 又 函数f x 对一切x y R都有f x y f x f y 令x y 0 得f 0 2f 0 f 0 0 再令y x 得f 0 f x f x f x f x f x 为奇函数 答案 奇 互动探究 在本例 1 中增加条件 若x 0时 f x x1 则f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 f x1 f x2 x1 x2 x1 x2 x1 0 f x2 x1 0 f x2 f x1 函数f x 为减函数 1 利用定义判断函数奇偶性的步骤 2 分段函数奇偶性的判定步骤 分析其定义域是否关于原点对称 对x的值进行分段讨论 寻求f x 与f x 在各段上的关系 综合 2 在定义域内f x 与f x 的关系 从而判断f x 的奇偶性 3 抽象函数奇偶性判定的步骤 巧妙赋值 合理 灵活变形配凑 找出f x 与f x 的关系 得出结论 函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质 其定义中要求f x 和f x 必须同时存在 所以函数定义域必须关于原点对称 这是函数具有奇偶性的前提 考向探寻 1 利用函数的奇偶性求函数的解析式 2 利用函数的奇偶性求参数的值 2 已知f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 求当x 0时 f x 3 已知f x 是定义在R上的偶函数 且在 0 上是减函数 若f a f 2 求实数a的取值范围 2 解析 当x0 则f x x 2 2 x x2 2x 又f x 为奇函数 f x f x 故f x f x x2 2x 因此当x 0时 f x x2 2x 答案 x2 2x 3 解 f x 是定义在R上的偶函数 f a f a 则f a f 2 f a f 2 又f x 在 0 上是减函数 f a f 2 a 2 解得 2 a 2 根据奇偶性讨论函数的单调区间是常用的方法 奇函数在两个对称区间上的单调性相同 偶函数在两个对称区间上的单调性相反 所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究 只需研究对称区间上的单调性即可 函数的奇偶性体现的是一种对称关系 活学活用 1 1 函数f x a 1 x2 a2 1 x 1是偶函数 则a的值为 解析 由f x 为偶函数得f x f x 即 a 1 x2 a2 1 x 1 a 1 x2 a2 1 x 1 a2 1 0 a 1 答案 1 2 设f x 是定义在R上的奇函数 若当x 0时 f x log2 x 1 则f 3 解析 f 3 f 3 log2 3 1 2 答案 2 考向探寻 1 求函数的周期 2 利用函数的周期性求值 典例剖析 1 已知定义在R上的奇函数f x 满足f x 1 f x 则f 2012 等于 2 设f x 是定义在R上的奇函数 且对任意实数x 恒有f x 2 f x 当x 0 2 时 f x 2x x2 求证 f x 是周期函数 当x 2 4 时 求f x 的解析式 计算f 0 f 1 f 2 f 2013 1 解析 f x 1 f x f x 2 f x 1 f x 函数f x 的周期为2 f 2012 f 0 又f x 为定义在R上的奇函数 f 0 0 答案 0 2 解 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为4的周期函数 当x 2 0 时 x 0 2 由已知得f x 2 x x 2 2x x2 又f x 是奇函数 f x f x 2x x2 f x x2 2x x 2 0 又当x 2 4 时 x 4 2 0 f x 4 x 4 2 2 x 4 又f x 是周期为4的周期函数 f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 从而求得x 2 4 时 f x x2 6x 8 f 0 0 f 2 0 f 1 1 f 3 1 又f x 是周期为4的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2008 f 2009 f 2010 f 2011 0 f 0 f 1 f 2 f 2013 0 f 2012 f 2013 f 0 f 1 1 2 如果T是函数y f x 的周期 则 kT k Z k 0 也是函数y f x 的周期 即f x kT f x 若已知区间 m n m n 上的图象 则可画出区间 m kT n kT k Z k 0 上的图象 函数的周期性通常通过函数的奇偶性得到 活学活用 2 1 已知定义在R上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 则 A f 25 f 11 f 80 B f 80 f 11 f 25 C f 11 f 80 f 25 D f 25 f 80 f 11 解析 由函数f x 是奇函数且f x 在 0 2 上是增函数可以推知 f x 在 2 2 上递增 又f x 4 f x f x 8 f x 4 f x 故函数f x 以8为周期 f 25 f 1 f 11 f 3 f 3 4 f 1 f 80 f 0 故f 25 f 80 f 11 故选D 答案 D 2 已知f x 是定义在R上的函数 且满足f 1 x f 1 x 则 f x 为偶函数 是 2为函数f x 的一个周期 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 若f x 是偶函数 则f x 2 f 1 1 x f 1 1 x f x f x 即f x 的一个周期为2 若2是f x 的一个周期 则f x f x 2 f 1 1 x f 1 1 x f x 即f x 是偶函数 综上知 f x 为偶函数 是 2为函数f x 的一个周期 的充要条件 答案 C 12分 函数f x 的定义域D x x 0 且满足对任意x1 x2 D都有f x1 x2 f x1 f x2 1 求f 1 的值 2 判断f x 的奇偶性并证明 3 如果f 4 1 f 3x 1 f 2x 6 3 且f x 在 0 上是增函数 求x的取值范围 1 令x1 x2 1 有f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 2分 2 f x 为偶函数 证明如下 4分令x1 x2 1 有f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 令x1 1 x2 x 有f x f 1 f x f x f x f x 为偶函数 7分 3 f 4 4 f 4 f 4 2 f 16 4 f 16 f 4 3 8分由f 3x 1 f 2x 6 3 变形为f 3x 1 2x 6 f 64 f x 为偶函数 f x f x f x 不等式 等价于f 3x 1 2x 6 f 64 9分 解函数不等式的问题一般步骤第一步 确定函数f x 在给定区间上的单调性 第二步 利用奇偶性将函数不等式转化为f M f N 的形式 第三步 运用函数的单调性 去掉 函数的抽象符号 f 转化成一般的不等式或不等式组 第四步 解不等式或不等式组确定解集 第五步 反思回顾 查看关键点 易错点及解题规范 函数的奇偶性主要体现为f x 与f x 的相等或相反