2019高考数学一轮复习精编课件：数列的综合应用.ppt

一 数列的综合应用及注意的问题数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题 二是数列与其他数学内容相联系的综合问题 解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会 1 数列是一种特殊的 解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法 函数 2 转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法 复杂的数列问题经常转化为数列 数列或常见的特殊数列问题 3 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想 已知数列的若干项求通项 由有限的特殊事例推测出一般性的结论 都是利用此法实现的 4 分类讨论思想在数列问题中常会遇到 如等比数列中 经常要对进行讨论 由Sn求an时 要对进行分类讨论 等差 等比 公比q n的取值 二 数列的实际应用数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容 解答应用问题的核心是建立数学模型 1 建立数学模型时 应明确是模型 模型 还是模型 是求an还是求Sn 具体如下 等差数列 等比数列 递推数列 1 等差模型 一般地 如果增加 或减少 的量是一个固定的具体量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 其一般形式是 an 1 an d 常数 2 等比模型 一般地 如果增加 或减少 的量是一个固定的百分数时 该模型是等比模型 与变化前的量的比就是公比 3 混合模型 在一个问题中 同时涉及到等差数列和等比数列的模型 4 生长模型 如果某一个量 每一期以一个固定的百分数增加 或减少 同时又以一个固定的具体量增加 或减少 时 我们称该模型为生长模型 如分期付款问题 树木的生长与砍伐问题等 5 递推模型 如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an 1 或前n项 间的递推关系式 那么我们可以用递推数列的知识求解问题 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型 提示 单利公式是等差数列模型 复利公式是等比数列模型 2 解决实际问题的具体步骤如下列框图所示 解析 依题意有2a5 4a1 2a3 即2a1q4 4a1 2a1q2 整理得q4 q2 2 0 解得q2 1 q2 2舍去 所以q 1或 1 答案 C 解析 an 是递增数列 an 1 an 即 n 1 2 n 1 n2 n 2n 1对于n N 恒成立 而 2n 1在n 1时取得最大值 3 3 故选D 答案 D 3 某地发生震灾后 某中学组织学生在学校开展募捐活动 第一天只有10人捐款 人均捐款10元 之后通过积极宣传 从第二天起 每天的捐款人数是前一天的2倍 且当天人均捐款数比前一天多5元 则到第5天 包括第5天 捐款总数将达到 A 4800元B 8000元C 9600元D 11200元 解析 由题意知 5天共捐款10 10 10 2 10 5 10 4 15 5 10 8 20 5 10 16 25 5 8000 元 答案 B 答案 9 答案 4 考向探寻 1 利用等差 等比数列的通项公式 前n项和公式及性质解题 2 构造辅助数列 建立等差 等比数列模型 等差 等比数列的综合问题 典例剖析 1 2013 唐山模拟 已知 an 为等差数列 其公差为 2 且a7是a3与a9的等比中项 Sn为 an 的前n项和 n N 则S10的值为A 110B 90C 90D 110 答案 D 1 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点 特别是等差 等比数列的通项公式 前n项和公式以及等差中项 等比中项问题是历年命题的热点 2 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值 同时对两种数列的性质 要熟悉它们的推导过程 利用好性质 可降低题目的难度 解题时有时还需利用条件组成方程组求解 活学活用 1 设 an 是公比大于1的等比数列 Sn为数列 an 的前n项和 已知S3 7 且a1 3 3a2 a3 4构成等差数列 1 求数列 an 的通项 2 令bn lna3n 1 n 1 2 求数列 bn 的前n项和Tn 考向探寻 以等差 等比数列为模型解决实际问题 以等差等比数列为模型的实际应用题 典例剖析 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M M的价值在使用过程中逐年减少 从第2年到第6年 每年初M的价值比上年初减少10万元 从第7年开始 每年初M的价值为上年初的75 1 解数列应用题时 首先要认真审题 深刻理解问题的实际背景 理清蕴含在语言中的数学关系 把应用问题抽象为数学中的等差数列问题 然后用等差数列知识求解 这其中体现了把实际问题数学化的能力 也就是所谓的数学建模能力 2 等比数列中处理分期付款问题的注意事项 准确计算出在贷款全部付清时 各期所付款额及利息 注 最后一次付款没有利息 明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之和 等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和 只有掌握了这一点 才可顺利建立等量关系 现实生活中涉及到的利率 复利 产品利润 平均增长率 信贷 保险 环保 人口增长等问题 常常利用数列知识建立数学模型加以解决 活学活用 2 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树 每人植一棵 相邻两棵树相距10米 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小 这个最小值为 米 答案 2000 考向探寻 解决数列与函数 解析几何 不等式的综合问题 数列与函数 解析几何 不等式的综合应用 典例剖析 理 12分 已知Sn为数列 an 的前n项和 且Sn 2an n2 3n 2 n 1 2 3 1 求证 数列 an 2n 为等比数列 2 设bn an cosn 求数列 bn 的前n项和Pn 理 1 可考虑将Sn 2an n2 3n 2转换为an与an 1的关系 然后用定义求解 2 在第 1 问的基础上 观察bn的结构 分组求和 3 求出cn 由其结构适当放缩 文 1 由已知代入函数解析式得an 1与an的关系从而获解 2 两两结合提取公因式利用第一步条件获解 3 利用裂项求和及数列性质求解 理 1 令n 1 则S1 2a1 1 3 2 a1 4 1分又Sn 2an n2 3n 2 则Sn 1 2an 1 n 1 2 3 n 1 2 由 得an 1 2an 1 2an 2n 2 数列与其他知识的综合问题主要指的是用几何方法或函数的解析式构造数列 用函数或方程的方法研究数列问题 函数与数列的综合问题主要有以下两类 一是已知函数的条件 利用函数的性质图象研究数列问题 如恒成立 最值问题等 二是已知数列条件 利用数列的范围 公式 求和方法等知识对式子化简变形 从而解决函数问题 答案 C 2 函数y x2 x 0 的图象在点 ak a 处的切线与x轴交点的横坐标为ak 1 其中k N 若a1 16 则a1 a3 a5的值是 答案 21 已知等比数列 an 中a2 1 则其前3项的和S3的取值范围是A 1 B 0 1 C 3 D 1 3 解数列问题时由思维定势导致错误 上面解法默认q 0 遗漏当q