高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修12 .ppt

第三章数系的扩充与复数的引入3 1数系的扩充和复数的概念3 1 1数系的扩充和复数的概念 1 复数 1 表示方法 复数通常用z表示 即z 2 代数式中各字母的名称 a bi a b r 实部 虚部 虚数单位 3 复数z a bi的分类及满足条件 b 0 复数a bi a b r 纯虚数a 0 b 0 b 0非纯虚数a 0 b 0 实数 虚数 2 复数的相等a bi c di a b c d r 3 复数集 1 定义 由 所构成的集合叫做复数集 2 表示 通常用大写字母 表示 3 关系 用图形表示n z q r间的关系 a c且b d 全体复数 c r q z n 1 判一判 正确的打 错误的打 1 若a b为实数 则z a bi为虚数 2 若a为实数 则z a一定不是虚数 3 bi是纯虚数 4 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0 那么这两个复数相等 解析 1 错误 若b 0 则z a bi为实数 2 正确 因为a为实数 所以z a中没有虚部 一定不是虚数 它是实数 3 错误 若b i 则bi i2 1 故bi不一定是纯虚数 4 正确 由复数相等的概念可得 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 若a bi 0 则实数a 实数b 2 1 i的实部与虚部分别是 3 若复数 a 1 a2 1 i a r 是实数 则a 解析 1 由复数相等的概念得a 0 b 0 答案 00 2 1 i可看作0 1 i a bi 所以实部a 0 虚部b 1 答案 0 1 3 a 1 a2 1 i a r 为实数的充要条件是a2 1 0 所以a 1 答案 1 要点探究 知识点1数系的扩充与分类1 数系扩充的脉络自然数系 整数系 有理数系 实数系 复数系 2 虚数单位i性质的两个关注点 1 i2 1的理解 并没有规定还是或在今后的学习中 我们将知道但不能说 2 i与实数之间可以进行四则运算 这条性质是数系扩充的原则之一 这里只提到加 乘运算 没提到减 除运算 并不是对减法与除法不成立 而是为了后面讲复数的四则运算时 只对加法乘法法则作出规定 而把减法 除法作为加法 乘法的逆运算的做法相一致 3 实部与虚部的要求 若z a bi 只有当a b r时 a才是z的实部 b才是z的虚部 知识拓展 数系扩充的原则数系扩充时 一般要遵循以下原则 1 增添新元素 新旧元素在一起构成新数集 2 在新数集里 定义一些基本关系和运算 使原有的一些主要性质 如运算定律 依然适用 3 旧元素作为新数集里的元素 原有的运算关系保持不变 4 新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾 微思考 1 复数m ni的实部是m 虚部是n吗 提示 不一定 只有当m n r时 m才是实部 n才是虚部 2 i可以除以任何实数吗 提示 不可以 i既然与实数之间建立了四则运算关系 运算与实数一致 由于在实数运算中0不能作除数 故i不可以除以任何实数 即时练 完成下列表格 分类栏填实数 虚数或纯虚数 解析 知识点2复数的相等对复数相等的两点说明 1 两个复数相等的充要条件的理解若z1 a bi z2 c di a b c d r 则z1 z2 a c且b d 利用这一结论 可以把复数问题转化为实数问题进行解决 并且一个复数等式可以转化为两个实数等式 通过解方程组得到解决 2 不能比较大小 一般对两个虚数只能说相等或不相等 不能比较大小 由于i2 0与实数集中a2 0 a r 矛盾 所以实数集中很多结论在复数集中不再成立 微思考 1 z1 z2是复数 z1 z2 0 那么z1 z2 这个命题是真命题吗 提示 假命题 例如 z1 1 i z2 2 i z1 z2 3 0 但z1 z2无意义 因为虚数不能比较大小 2 若z1 z2 r 则z1 z2 0 此命题对z1 z2 c还成立吗 提示 不一定成立 比如z1 1 z2 i满足但z1 0 z2 0 3 两个复数一定不能比较大小对吗 提示 不一定 当两个复数都是实数时 可以比较大小 两个虚数 或一个虚数与一个实数不能比较大小 即两个复数除去都是实数外 没有大小关系 即时练 如果 x y i x 1 则实数x y的值分别为 a x 1 y 1b x 0 y 1c x 1 y 0d x 0 y 0 解析 选a 由已知得所以x 1 y 1 题型示范 类型一复数的概念 典例1 1 给出下列三个命题 若z c 则z2 0 2i 1虚部是2i 2i的实部是0 其中真命题的个数为 a 0b 1c 2d 3 2 2014 启东高二检测 已知复数z a2 2 b i的实部和虚部分别是2和3 则实数a b的值分别是 3 判断下列命题的真假 若x y c 则x yi 1 2i的充要条件是x 1 y 2 若实数a与ai对应 则实数集与纯虚数集一一对应 实数集的补集是虚数集 解题探究 1 题 1 中虚数的平方是否大于等于0 代数式中的虚部是否一定为实数 2 题 2 中复数z a2 2 b i实部与虚部分别是什么 3 题 3 中实数能否比较大小 中数x y是否一定为实数 探究提示 1 虚数的平方不一定大于等于0 实数的平方一定大于等于0 代数式中的虚部一定为实数 2 实部为a2 虚部为 2 b 3 实数能够进行大小比较 数x y不一定为实数也可能是虚数 自主解答 1 选b 对于 当z r时 z2 0成立 否则不成立 如z i z2 1 0 所以 为假命题 对于 2i 1 1 2i 其虚部为2 不是2i 所以 为假命题 对于 2i 0 2i 其实部是0 所以 为真命题 2 由题意得 a2 2 2 b 3 所以a b 5 答案 5 3 由于x y都是复数 故x yi不一定是代数形式 因此不符合两个复数相等的充要条件 故 是假命题 当a 0时 ai 0为实数 故 为假命题 由复数集的分类知 正确 是真命题 方法技巧 判断与复数有关的命题是否正确的方法 1 举反例 判断一个命题为假命题 只要举一个反例即可 所以解答这类型题时 可按照 先特殊 后一般 先否定 后肯定 的方法进行解答 2 化代数式 对于复数实部 虚部的确定 不但要把复数化为a bi的形式 更要注意这里a b均为实数时 才能确定复数的实 虚部 变式训练 下列命题中 1 i2 0 若a b r 且a b 则a i b i 若x2 y2 0 则x y 0 两个虚数不能比较大小 其中 正确命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 对于 因为i2 1 所以1 i2 0 故 正确 对于 两个虚数不能比较大小 故 错 对于 当x 1 y i时x2 y2 0成立 故 错 正确 误区警示 复数概念易错点 1 注意虚部不是bi 而是b 还要特别注意 要保证实部 虚部有意义 2 形如bi的数不一定是纯虚数 只有限定条件b r且b 0时 形如bi的数才是纯虚数 3 不要将复数与虚数的概念混淆 实数也是复数 实数和虚数是复数的两大构成部分 补偿训练 若复数z 3 bi 0 b r 则 a b 0b b 0c b0 则说明z 3 bi为实数 故b 0 类型二复数的分类 典例2 1 复数z a2 b2 a a i a b r 为纯虚数的充要条件是 a a b b a0且a bd a 0且a b 2 实数m取什么值时 复数 m2 3m 2 m2 4 i是 实数 虚数 纯虚数 解题探究 1 题 1 中复数z为纯虚数满足的条件是什么 2 复数z a bi a b r a b为什么时z为实数 a b为什么时z为虚数 a b为什么时z为纯虚数 探究提示 1 2 b 0时z为实数 b 0时z为虚数 a 0 b 0时z为纯虚数 自主解答 1 选d a2 b2 0 且a a 0 故得a 0且a b 2 设z m2 3m 2 m2 4 i 要使z为实数 必须有m2 4 0 得m 2或m 2 即m 2或m 2时 z为实数 要使z为虚数 必有m2 4 0 即m 2且m 2 故m 2且m 2时 z为虚数 要使z为纯虚数 必有所以所以m 1 故m 1时 z为纯虚数 延伸探究 把题 1 中的 纯虚数 改为 实数 则结果如何 解析 复数z为实数的充要条件是a a 0 而 a a 所以a 0 方法技巧 1 解决复数分类问题的方法与步骤 1 化标准式 解题时一定要先看复数是否为a bi a b r 的形式 以确定实部和虚部 2 定条件 复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题 只需把复数化为代数形式 列出实部和虚部满足的方程 不等式 组即可 3 下结论 设所给复数为z a bi a b r z为实数 b 0 z为虚数 b 0 z为纯虚数 a 0且b 0 2 复数分类的应用 1 参数自身 判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数 虚数 纯虚数 首先要保证参数值使表达式有意义 其次对参数值的取舍 是取 并 还是 交 非常关键 解答后进行验算是很必要的 2 整体与局部 对于复数z a bi a b r 既要从整体的角度去认识它 把复数z看成一个整体 又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它 这是解复数问题的重要思路之一 变式训练 m取何实数时 复数 1 是实数 2 是虚数 3 是纯虚数 解析 1 因为z为实数 所以所以所以m 5 所以当m 5时 z是实数 2 因为z为虚数 所以所以所以m 5且m 3 所以当m 5且m 3时 z是虚数 3 因为z为纯虚数 所以所以所以m 3或m 2 所以当m 3或m 2时 z是纯虚数 误区警示 形如a bi的复数 一定要注意 只有当a b是有定义的实数时才能充当复数的实部 虚部 在这个前提下 研究复数的分类才不易出错 补偿训练 实数a取什么值时 复数z a 1 a 1 i是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 解析 1 当a 1 0 即a 1时 复数z是实数 2 当a 1 0 即a 1时 复数z是虚数 3 当即a 1时 复数z是纯虚数 类型三复数的相等 典例3 1 已知x y均是实数 且满足 2x 1 i y 3 y i 则x y 2 已知m a 3 b2 1 i 8 集合n 3i a2 1 b 2 i 同时满足m nm m n 求整数a b 解题探究 1 复数 2x 1 i的实部与虚部分别是多少 复数 y 3 y i的实部与虚部分别是多少 2 由条件m nm m n 能得到的结论是什么 探究提示 1 复数 2x 1 i的实部为2x 1 虚部为1 复数 y 3 y i的实部为 y 虚部为 3 y 2 由m nm知两个集合m n不能相等 由m n 能得到两个集合m n中有公共元素 自主解答 1 由复数相等的充要条件得答案 2 由条件m nm m n 得 a 3 b2 1 i 3i 或8 a2 1 b 2 i 或 a 3 b2 1 i a2 1 b 2 i 由 得a 3 b 2 当a 3 b 2时 m 3i 8 n 3i 8 4i 满足题意 经检验 a 3 b 2不合题意 舍去 由 得b 2 a 3或b 2 a 3当b 2 a 3时m 3i 8 n 3i 8 不合题意 舍去 当b 2 a 3时 m 6 3i 8 n 3i 8 满足题意 由 得得a b不是整数舍去 故a 3 b 2或a 3 b 2 方法技巧 化复为实转化求解应用两个复数相等的充要条件时 首先要把 左右两侧的复数写成代数形式 即分离实部与虚部 然后确定两个独立参数列出方程 化复数问题为实数问题得以解决 变式训练 已知关于x的方程x2 1 2i x 3m i 0有实根 求实数m的值 解析 设x a为方程的一个实数根 则有a2 1 2i a 3m i 0 即 a2 a 3m 2a 1 i 0 因为a m r 由复数相等的充要条件故实数m的值为 补偿训练 已知p 1 1 4i m 1 m2 2m m2 m 2 i 若m p p 求实数m的值 解析 因为m p p 所以m p 即 m2 2m m2 m 2 i 1或 m2 2m m2 m 2 i 4i 由 m2 2m m2 m 2 i 1得m2 2m 1 m2 m 2 0 解得m 1 由 m2 2m m2 m 2 i 4i得m2 2m 0 m2 m 2 4 解得m 2 综上可知 m 1或m 2 拓展类型 含有虚数单位i的不等式 备选例题 若z1 m2 m2 3m i z2 m2 4m 3 i 10 m r z1 z2 求实数m的值 解析 因为z1 z2 所以z1 z2均为实数 所以解得m 3 又z1 m2 9 z2 故m 3 符合题意 所以m 3 方法技巧 隐含条件的应用两个虚数不能比较大小 若两个复数能够比较大小 则这两个复数一定为实数 即复数的虚部为0 易错误区 明晰复数概念 正确判断命题 典例 在下列命题中 正确命题的个数是 1 两个复数不能比较大小 2 若z1和z2都是虚数 且它们的虚部相等 则z1 z2 3 若a b是两个相等的实数 则 a b a b i必为纯虚数 a 0b 1c 2d 3 解析 选a 两个复数 当它们都是实数时 是可以比较大小的 故 1 是错误的 设z1 a bi a b r b 0 z2 c di c d r 且d 0 因为b d 所以z2 c bi 当a c时 z1 z2 当a c时 z1 z2 故 2 是错误的 3 当a b 0时 a b a b i是纯虚数 当a b 0 时 a b a b i 0是实数 故 3 错误 因此选