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2 4幂函数 函数概念与基本初等函数 我们已经学习了指数函数 它是底数为常数 指数为自变量的函数 这与我们初中学习过的一些函数 如y x y x2 y x 1等 底数为自变量 指数为常数 是否为同一类型 性质是否有区别 幂函数 1 y x 中的 是任意实数 要确定一个幂函数的解析式 只需确定出 即可 2 要把幂函数和指数函数区别开来 幂函数的底为自变量 指数为常数 指数函数恰好相反 底数为常数 指数为自变量 幂函数的图象和性质 1 幂函数图象的性质 都过点 1 1 0 在第一象限内图象上凸 0时幂函数图象总过原点 0时 幂函数图象不过原点 2 幂函数的图象在第一象限的分布规律 在经过点 1 1 平行于y轴的直线的右侧 按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从下到上分布 幂指数的分母为偶数时 图象只在第一象限 幂指数的分子为偶数时 图象在第一 二象限关于y轴对称 幂指数的分子 分母都是奇数时 图象在第一 第三象限关于坐标原点对称 幂函数与指数函数的应用 点评 指数函数和幂函数的性质混合应用时很容易混淆 首先必须分清底同还是幂同 若底同应用指数函数的性质 比较0 30 1和0 30 5 若幂指数相同就应用幂函数的性质 如3a与5a a 0 的大小比较 在利用性质时最好结合函数图象 设a适合不等式 1 若f x ax g x h x logax且x 1 则 a h x g x h x b h x f x g x c f x g x h x d f x h x g x 从图形观察知 当x 1时 g x f x h x 答案 b 点评 由 1得0 a 1 可作图用数形结合方法求解 也可取特值a x 2 判断 变式训练 幂函数性质的应用 点评 利用定义证明单调性 作差之后分解因式 注意差的符号判断有时需分类讨论 变式训练 3 证明函数y x 1在 0 上是减函数 幂函数的单调区间的求解 解题总结 复合函数单调性的判断原则 同增异减 也可利用函数图象的平移规律求解 变式训练 4 已知幂函数y xm2 2
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