度高中数学 3.2一元二次不等式同步辅导与检测课件 苏教版必修5.ppt

3 2一元二次不等式 不等式 某项体育活动中 甲小组有n人 n 5 游戏规则是每人在规定时间内从a地跑到b地可得 n 4 分 经测试甲小组至多有5人不能在比赛时完成这个任务 甲小组在比赛中得分要多于56分 问至少应有多少人参赛 你能解决这个问题吗 学完一元二次不等式后你将很容易地解决这类问题 1 一般地 含有一个未知数 且未知数的最高次数为 的整式不等式 叫做一元二次不等式 2 设f x ax2 bx c a 0 则一元二次方程f x 0的解集 就是使二次函数值 0时自变量x的取值的集合 3 设f x ax2 bx c a 0 则一元二次不等式f x 0的解集 就是使二次函数值 0时自变量的取值的集合 4 若二次函数f x ax2 bx c a 0 的图象与x轴无交点 则说明方程f x 0无 此时 一元二次方程的判别式的值 0 1 二次2 等于3 4 实数解 5 若一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 判别式的值 0 则说明一元二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴没有交点 若a 0 则意味着不等式ax2 bx c 0的解集是 不等式ax2 bx c 0的解集是 6 若一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 判别式的值 0 则说明一元二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴有两个交点x1 x2 设x1 x2 若a 0 则使y f x 的函数值为负值的自变量x的取值的集合为 x 此集合即为不等式ax2 bx c 0的 7 若ax2 bx c 0的解集是空集 则二次函数f x ax2 bx c的图象开口向 且与x轴 交点 5 全体实数 空集6 x1 x x2 解集7 下 没有 8 若ax2 bx c 0的解集是实数集r 则二次函数f x ax2 bx c的图象开口向 且二次三项式的判别式 0 9 应用不等式解实际问题的步骤 10 周长为l的矩形的面积的最大值为 对角线长的最小值为 11 b克糖水中含有a克糖 b a 0 糖水的浓度为 若再加入m克糖 则糖水更甜了 此时糖水的浓度为 8 上 9 建立数学模型 设变量 建立数学关系式 解不等式 检验 12 若一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 判别式的值 0 则说明二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴相切于 若a 0 则不等式ax2 bx c 0的解集是 不等式ax2 bx c 0的解集是 13 若函数f x ax2 bx c a 0 与x轴有两个交点 要求出不等式ax2 bx c 0 或ax2 bx c 0 的解集 只要求出方程 的根即可 14 若一元二次不等式ax2 bx c 0的解集为 x x1 x x2 则可以判定a 0 方程ax2 bx c 0的根分别为 几种不等式的解法 1 一元一次不等式的解法步骤 1 化标准形ax b或ax b 2 求解集 2 一元二次不等式的解法步骤 1 化标准形 ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 2 判断 进一步求方程的根 3 根据 及a的正负 写出解集 3 一元高次不等式的解法这里只研究能分解成若干个一次因式积的形式的一元高次不等式 其步骤如下 1 化为标准型 设f x x x1 x x2 x xn 则化成f x 0 0 或f x 0 0 2 在序轴 简化的数轴 上标根 n个 将序轴分成n 1个区间 3 判断f x 在这n 1个区间上的正负 从而得到解集 这种方法叫做穿根法 4 分式不等式的解法步骤 1 化标准形式 g x 是关于x的代数式 2 同解变形为f x g x 0或f x g x 0 3 通过一元高次不等式的求解步骤完成 和一元二次不等式间的主要关系 二次项系数是正数的二次函数 一元二次方程 一元二次不等式及简单分式高次不等式解法 解下列不等式 1 x2 5x 6 2 3x2 5x 4 0 分析 先把不等式变成标准形式 然后利用一元二次不等式的解法进行求解 解析 1 原不等式变形为 x2 5x 6 0 因为 5 2 4 1 6 1 0 解方程x2 5x 6 0 得x1 2 x2 3 原不等式的解集为 x 2 x 3 2 因为 5 2 4 3 4 23 0 而a 3 0 故原不等式的解集为r 名师点评 1 解不等式是求不等式解集的过程 求得的结果要用集合 如本例的结果用集合表示 或区间表示 要避免错误的写法 如 1 的解写成 x x 2 x 3 2 解二次不等式 要注意熟练掌握一元二次不等式与二次函数 一元二次方程之间的关系 变式迁移 1 解不等式 x 2 x 1 3 x 1 2x 0 解析 令y x 2 x 1 3 x 1 2x各因式的根分别为 2 1 1 0 其中 1为3重根 1为2重根 结合图形 如下图 可得原不等式的解集为 2 1 0 含有字母参数的不等式解法 设m r 解关于x的不等式m2x2 2mx 3 0 名师点评 解不等式时 由于m r 因此不能完全按一元二次不等式的解法求解 因为当m 0时 原不等式化为 3 0 此时不等式的解集为r 所以解题时应分m 0与m 0两种情况来讨论 变式迁移 2 已知a x x2 x 6 0 b x x2 2x 8 0 c x x2 4ax 3a2 0 若 a b c 求实数a的取值范围 解析 由x2 x 6 0得 2 x 3 a x 2 x 3 由x2 2x 8 0得x 4 或x 2 b x x 4 或x 2 a b x 2 x 3 由x2 4ax 3a2 0 得 x a x 3a 0 二次方程根的分布问题 若关于x的方程22x 2x a a 1 0有实根 求实数a的取值范围 分析 因为2x 0 故问题等价于关于2x的二次方程有正根时 求实数a的取值范围 故可利用一元二次方程与二次函数之间的关系进行求解 解析 设t 2x f t t2 at a 1 问题转化为求函数f t 在t轴的正方向上至少有一个交点的条件 所以 名师点评 1 对于含字母的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的实根分布的问题 通常可根据图象具有的特征列出字母参数应满足的条件求解 2 注意换元法及转化法的运用 变式迁移 3 设a r 关于x的一元二次方程7x2 a 13 x a2 a 2 0有两实根x1 x2 且0 x1 1 x2 2 求a的取值范围 综合应用 已知a x x2 5x 4 0 b x2 2ax a 2 0 且b a 求实数a的取值范围 分析 根据一元二次不等式解法 先求出集合a 再由b a确定集合b的情况 即不等式x2 2ax a 2 0解的情况 最后由二次函数 一元二次不等式 一元二次方程三者间关系确定系数的条件 列出不等式组即可 解析 a x x2 5x 4 0 x x 4 x 1 0 x 1 x 4 又 b a 当b 时 即 4a2 4 a 2 0 即 1 a 2时 满足b a 当b 时 b a 设方程x2 2ax a 2 0的两根为x1 x2 x1 x2 则b x1 x2 1 4 设f x x2 2ax a 2 其图象与x轴的交点在区间 1 4 之内 如下图 结合图象知 必须满足 名师点评 1 对于b a易丢掉b 导致出错 2 借助数形结合使问题浅显易懂 同时一元二次不等式的解集与一元二次方程的根和二次函数图象的相互转化是至关重要的 变式迁移 4 设a r 二次函数f x ax2 2x 2a 设