高中数学 1.2 第2课时 充要条件的应用课件 新人教A版选修21.ppt

第2课时充要条件的应用 充要条件一般地 如果既有p q 又有q p 就记作p q 此时 我们说 p是q的充分必要条件 简称 显然 如果p是q的充要条件 那么q也是p的充要条件 充要条件 思考 符号 的含义是什么 提示 符号 的含义是 等价于 例如 p q 可以理解为 p是q的充要条件 p等价于q q当且仅当p p q 的含义还可以理解为 p q且q p 知识点拨 常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为 若p 则q 逆命题为 若q 则p 那么p与q的关系有以下四种情形 类型一充要条件的判断 典型例题 1 2012 重庆高考 已知f x 是定义在r上的偶函数 且以2为周期 则 f x 为 0 1 上的增函数 是 f x 为 3 4 上的减函数 的 a 既不充分也不必要的条件b 充分而不必要的条件c 必要而不充分的条件d 充要条件 2 已知命题 若a 0 则函数f x x2 2x a有两个零点 有下列条件 充要 充分 必要 充分不必要 必要不充分 既不充分又不必要 其中 命题的结论是条件的条件 将满足题意的序号都填上 解题探究 1 如何确定命题的真假 2 题2中命题的条件与结论分别是什么 探究提示 1 对于命题 若p 则q 由p q一定成立 则为真命题 不一定成立 则为假命题 通常可举反例验证 2 条件是 a 0 结论是 函数f x x2 2x a有两个零点 解析 1 选d 如图 由于f x 是r上的偶函数 当f x 在 0 1 上为增函数时 根据对称性知f x 在 1 0 上为减函数 根据函数f x 的周期性将f x 在 1 0 上的图象向右平移4个单位 即可得到f x 在 3 4 上的图象 所以f x 在 3 4 上为减函数 同理当f x 在 3 4 上为减函数时 根据函数的周期性将f x 在 3 4 上的图象向左平移4个单位即可得到f x 在 1 0 上的图象 此时f x 为减函数 又根据f x 为偶函数知f x 在 0 1 上为增函数 所以 f x 为 0 1 上的增函数 是 f x 为 3 4 上的减函数 的充要条件 2 函数f x x2 2x a有两个零点的充要条件为 4 4a 0 a 1 由于a 0 a 1 且a 0a 1 所以 函数f x x2 2x a有两个零点 是 a 0 的必要不充分条件 答案 拓展提升 确定各种条件的策略 1 要确定p是q的哪一类条件 关键是判断命题 若p 则q 及其逆命题 若q 则p 的真假 2 若p q 则p是q的充要条件 也是充分条件 3 若p q 且pq 则p是q的充分不必要条件 p也是q的充分条件 同时 q是p的必要不充分条件 q也是p的必要条件 变式训练 2012 山东高考 设a 0且a 1 则 函数f x ax在r上是减函数 是 函数g x 2 a x3在r上是增函数 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选a 当f x ax为r上的减函数时 00 此时g x 2 a x3在r上为增函数成立 当g x 2 a x3为增函数时 2 a 0 a 0 且a 1 即0 a 1或1 a 2 但1 a 2时 f x ax为r上的减函数不成立 故选a 类型二充要条件的证明 典型例题 1 在 求证 是第一象限角的充要条件是sin 0 tan 0 的过程中 由sin 0 tan 0推出 是第一象限角是证明的性 填 充分 或 必要 2 设a b c为 abc中 a b c所对边 求证 方程x2 2ax b2 0与x2 2cx b2 0有公共根的充要条件是 a 90 解题探究 1 充分性与必要性分别指的是什么 2 题2中证明充分性与必要性分别是由谁推谁 探究提示 1 充分性是由条件推出结论 必要性正好相反 2 充分性是由 a 90 推出 方程x2 2ax b2 0与x2 2cx b2 0有公共根 必要性正好相反 解析 1 由题意知 条件 sin 0 tan 0 结论 是第一象限角 条件 结论 应为充分性 答案 充分2 必要性 设两个方程有公共根 则 2 a c 0 若 0 代入任一方程得b 0 这与已知a b c为 abc的三边相矛盾 a c 代入上面方程组中任何一个式子 均可得a2 b2 c2 a 90 充分性 a 90 a2 b2 c2 x2 2ax b2 0可化为x2 2ax a2 c2 0 即 x a 2 c2 0 x a c x a c 0 x1 a c x2 a c 同理 x2 2cx b2 0可化为x2 2cx c2 a2 0 即 x c 2 a2 0 x a c x c a 0 x3 a c x4 a c 所以两个方程有公共根 a c 综上所述 方程x2 2ax b2 0与x2 2cx b2 0有公共根的充要条件是 a 90 拓展提升 证明充要条件的注意事项 1 由充要条件的意义可知 如果原命题与逆命题都是真命题 即p q 那么p与q互为充要条件 尽管如此 在证明 p的充要条件是q 或q是p的充要条件 时 通常将 q p 作为充分性 将 p q 作为必要性进行证明 2 一般情况下 必要性比充分性更易于证明 所以可以先证明必要性 再证明充分性 变式训练 1 已知x y是非零实数 且x y 求证 的充要条件为xy 0 2 求证 关于x的方程x2 mx 1 0有两个负数根的充要条件是m 2 证明 1 必要性 y y x0 充分性 x y xy 0 即 2 必要性 设关于x的方程x2 mx 1 0有两个负数根为x1 x2 则即 m 2 充分性 m 2 m2 4 0 且x1 x2 m 20 关于x的方程x2 mx 1 0有两个负数根 误区警示 在证明充要条件时 因充分性 必要性区别不清易失分 原因是分不清谁是条件 谁是结论 若分不清 证明时 可不注明充分性 必要性 充要条件的应用 典型例题 1 函数f x x x a b是奇函数的充要条件是 a ab 0b a b 0c a bd a2 b2 02 求关于x的不等式ax2 ax 1 0对x r恒成立的充要条件 解题探究 1 求一个命题的充要条件的实质是什么 2 题2中不等式恒成立的条件是什么 探究提示 1 求一个命题的充要条件 实质就是找出这个命题成立的等价条件 即所有条件 2 不等式ax2 ax 1 0对x r恒成立的条件是a 0或 解析 1 选d 方法一 特殊值法 取a 1 b 0排除a 取a 1 b 1排除b 取a 2 b 2排除c 方法二 直接解法 充分性 由a2 b2 0 a 0且b 0 f x x x 是奇函数 必要性 函数f x x x a b是奇函数 x x a b x x a b x x a x a 2b 0 取x 0 则b 0 再取x 1 则 1 a 1 a 0 即 a 1 a 1 所以a 0 所以a2 b2 0 2 当a 0时 不等式ax2 ax 1 0为1 0 不等式显然成立 当a 0时 要使不等式ax2 ax 1 0对x r恒成立 则有解得0 a 4 综上所述 对x r恒成立的充要条件是a 0或0 a 4 即0 a 4 互动探究 1 若题1函数变为f x loga x 则f x 是奇函数的充要条件为 2 若题2变为 关于x的不等式ax2 ax 1 0 对x 1 2 恒成立 则如何求充要条件 解析 1 方法一 依题意 得x r 先求函数为奇函数的必要条件 令f 0 0 得loga 0 a 或a 舍去 当a 时 充分性成立 方法二 依题意 函数为奇函数的充要条件为f x f x 0 得loga x loga x 0 loga x x 0 loga 4a2 0 4a2 1 解得a 或a 舍去 答案 2 若a 0 不等式ax2 ax 1 0为1 0 不等式显然成立 若a 0 令f x ax2 ax 1 要使不等式ax2 ax 1 0对x 1 2 恒成立 当a 0时 f x 在 上为增函数 从而f x 在 1 2 上为增函数 由于f 1 1 0 从而a 0满足f x 0在x 1 2 上恒成立 当a0 对x 1 2 恒成立的充要条件是 a a 拓展提升 一元二次不等式恒成立问题的解法 1 判别式法主要解决与一元二次不等式有关或经过转化与一元二次不等式有关的问题 2 一般地 不等式ax2 bx c 0对任意实数x恒成立 或不等式ax2 bx c 0对任意实数x恒成立 或 3 一般地 不等式ax2 bx c 0 a 0 对任意实数x m n 恒成立 常常结合二次函数的图象 利用判别式 对称轴以及单调性共同解决 规范解答 充要条件的求解问题 典例 规范解答 方法一 利用一元二次方程根与系数的关系 设方程的两根为x1 x2 使x1 x2都大于1的充要条件是 3分 条件分析 即 7分 10分解得m 2 为所求 12分 方法二 利用函数思想 令f x x2 2m 1 x m2 3分依题意 函数的两个零点都大于1的充要条件为 10分解得m 2 为所求 12分 失分警示 防范措施 1 等价转化的意识对于不等式 组 的转化必须是等价的 否则求的就不是充要条件 由 x1 1 x2 1 x1 x2 2 x1x2 1 但反过来 x1 x2 2 x1x2 1x1 1 x2 1 例如 取x1 1 x2 3有x1 x2 2 且x1x2 1 但没有保证两个根都大于1 所以仅是方程的两根都大于1的必要条件 而不是充分条件 2 整体思想的应用意识利用一元二次方程的根与系数的关系 体现了 设而不求 整体代入 的思想和方法 如本例 处的化简即体现了这种思想 类题试解 求关于x的方程x2 m 2 x 5 m 0的两根都大于2的充要条件 解析 方法一 设关于x的方程x2 m 2 x 5 m 0的两根为x1 x2 依题意 得不等式组等价于 解得 5 m 4 所以关于x的方程x2 m 2 x 5 m 0的两根都大于2的充要条件为 m 5 m 4 方法二 令f x x2 m 2 x 5 m 依题意 函数的两个零点都大于2的充要条件为 解得 5 m 4 所以关于x的方程x2 m 2 x 5 m 0的两根都大于2的充要条件为 m 5 m 4 1 设x r 则 x 是 2x2 x 1 0 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选a 由2x2 x 1 0得x 所以 x 是 2x2 x 1 0 的充分而不必要条件 2 对于函数y f x x r y f x 的图象关于y轴对称 是 y f x 是奇函数 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选b 若y f x 是奇函数 则y f x 的图象关于y轴对称 反之不成立 比如偶函数y f x 满足y f x 的图象关于y轴对称 但不是奇函数 故选b 3 数列 an 满足a1 1 an 1 r an r n n r r且r 0 则 r 1 是 数列 an 成等差数列 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选a 若r 1 则an 1 an 1 故 an 成等差数列 若 an 成等差数列 则2a2 a1 a3 得4r 1 2r2 r 即 r 1 2r 1 0 r 1或r 当r 1时 an n 故 an 是等差数列 当r 时 an 1 an 由a1 1 得an 1 故 an 是等差数列 所以 r 1 是 数列 an 成等差数列 的充分不必要条件 4 sin 是 cos2 的条件 解析 若sin 则cos2 1 2sin2 若cos2 则1 2sin2