高中数学 421 直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2.ppt

4 2直线 圆的位置关系 4 2 1直线与圆的位置关系 一 阅读教材p126 128回答1 直线与圆的位置关系设直线l ax by c 0 圆c x a 2 y b 2 r2 圆心c a b 到直线l的距离为d 联立 得方程组 消去x或y后 所得一元二次方程的根的判别式为 若直线和圆相交 则满足或若直线和圆相切 则满足或若直线和圆相离 则满足或 2 直线l与圆交于a b两点 圆心到直线的距离为d 圆的半径为r 则弦长 ab d r 0 d r 0 d r 0 二 解答下列各题1 已知 c x2 y2 8x 2y 8 0的圆心 半径r 圆心c到直线l 4x 3y 6 0的距离d 5 直线l与圆c的位置关系是 2 圆x2 y2 4x 3 0与直线2x y 5 0的位置关系是 c 4 1 5 相切 相离 本节学习重点 直线与圆的位置关系 本节学习难点 圆的几何性质与切线问题 弦长问题 1 直线与圆位置关系的判定有两种方法 1 代数法 通过直线方程与圆的方程所组成的方程组的解的个数来讨论 若有两组不同的实数解 即 0 则相交 若有两组相同的实数解 即 0 则相切 若无实数解 即 r时 直线与圆相离 3 圆的切线方程的求法 求过圆c外一点p x0 y0 的 c的切线方程 几何方法 设切线y y0 k x x0 由圆心c到切线距离等于圆的半径r 列方程求k 若有两解即得切线方程 若只有一解 则另一条为x x0 代数方法 设切线y y0 k x x0 与圆方程联立 消元由 0求出k 讨论方法同上 4 1 直线若过定点 定点在圆内则直线与圆必相交 2 直线与圆相离时 圆上点到直线的距离d 圆心到直线距离为m 则m r d m r 直线与圆相交时 圆上点到直线距离为d 圆心到直线距离为m 则0 d m r 3 过圆心的直线将圆平分 垂直平分弦的直线过圆心 4 过圆内一点的直线被圆截得最长弦为直径 最短弦为以该点为中点的弦 与圆有关的最值问题 常常用数形结合法求解 例1 已知圆的方程是x2 y2 2 直线y x b 当b为何值时 圆与直线有两个公共点 只有一个公共点 没有公共点 解析 解法1 将y x b代入x2 y2 2中消去y得2x2 2bx b2 2 0 其判别式 2b 2 8 b2 2 4 b 2 b 2 当 20 方程 有两个不等实根 直线与圆有两个公共点 当b 2时 0 方程 有两个相等实根 直线与圆有一个公共点 当b2时 r 即b2时 直线与圆相离 无公共点 点评 讨论直线与圆的位置关系 可以用代数法 即将直线与圆的方程联立 消元后用判别式 作判断 也可以用几何法 求圆心到直线的距离d和圆的半径r 用d与r大小判断 一般地 说几何法更简便 1 直线3x 4y 6 0与圆 x 2 2 y 3 2 4的位置关系是 a 相离b 相切c 相交且过圆心d 相交但不过圆心 2 若直线y kx 2k与圆 x 3 2 y2 1恒有两个交点 则实数k的取值范围为 3 直线y kx被圆x2 y2 2截得的弦ab长等于 a 4b 2 答案 1 c 2 a 3 c 解析 1 圆心 2 3 在直线3x 4y 6 0上 直线与圆相交且过圆心 故选c 2 设圆的切线方程为y x b 代入圆的方程 整理得2x2 2bx b2 4 0 直线与圆相切 2b 2 4 2 b2 4 0 解法2 设切点为m x0 y0 则过点m的切线方程为 总结评述 求过定点的圆的切线方程 一定要先判断点是在圆上还是在圆外 1 可以利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程 也可利用判别式的值等于0求切线方程 若设出切线斜率 用点斜式写出切线方程 应注意斜率不存在的情况 2 也可以先求出以q和圆x2 y2 4的圆心 原点 o为端点的线段oq为直径的圆的方程 进而求出两圆交点即切点的坐标 由两点式求得切线方程 已知圆o x2 y2 5和点a 1 2 则过a且与圆o相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 若x y满足 x 2 2 y2 3 那么 x y的取值范围是 x 2 2 y 2 2的取值范围是 解析 令x y t 则y t x 点评 此题解法较多 可用代数法 也可用几何法 数形结合的思想在这里起主导作用 望细致体会 例4 自点a 3 3 发出的光线l射到x轴上 被x轴反射 其反射光线所在直线与圆x2 y2 4x 4y 7 0相切 求光线l所在直线的方程 光线l所在直线的方程为3x 4y 3 0或4x 3y 3 0 解法2 已知圆 x 2 2 y 2 2 1关于x轴的对称圆c 的方程为 x 2 2 y 2 2 1 如图所示 可设光线l所在直线方程为y 3 k x 3 直线l与圆c 相切 圆心c 2 2 到直线l的距离 点评 解法1用的是常规方法 待定系数法 关键在于运用已知条件去确定系数 而解法2主要运用对称思想 这样可使运算过程得以简化 点评 1 直线l与圆有公共点 可利用d r或 0求解 2 半径r 半弦m 弦心距d满足d2 m2 r2是解决弦长问题的主要途径 3 直线l与圆相离时 设圆心c到l距离为d 圆半径为r 则圆上点到直线距离的最大值为d r 最小值为d r 自己想想l与圆c相切 或相交 时呢 4 点p x0 y0 在圆c内 圆半径为r pc d 则圆上所有点中到p距离的最大值为d r 最小值为r d 过p的所有直线与圆相交弦中 最长弦为直径 最短弦为与pc垂直的弦 此时p为弦的中点 1 已知圆的方程为x2 y2 6x 8y 0 设该圆过点 3 5 的最长弦和最短弦分别为ac和bd 则四边形abcd的面积为 2 已知圆c的圆心与点p 2 1 关于直线y x 1对称 直线3x 4y 11 0与圆c相交于a b两点 且 ab 6 则圆c的方程为 3 直线l与圆x2 y2 2x 4y a 0 a 3 相交于两点a b 弦ab的中点为 0 1 则直线l的方程为 4 由点p 2 0 向圆c x2 y2 1所引切线长为 解析 1 圆x2 y2 6x 8y 0的圆心 3 4 半径为5 由题意知 ac为圆的直径且bd ac 2 设圆的圆心坐标为 a b 由题意得a 0 b 1 圆心到直线3x 4y 11 0的距离 所求圆的方程为x2 y 1 2 18 3 已知圆x2 y2 2x 4y a 0的圆心c 1 2 弦ab的中点d 0 1 由圆的几何性质知 cd l kcd 1 kl 1 l y 1 1 x 0 即x y 1 0 答案 d 2 过点p 2 3 引圆x2 y2 2x 4y 4 0的切线 其方程是 a x 2b 12x 5y 9 0c 5x 12y 26 0d x 2和12x 5y 9 0 答案 d 解析 点p在圆外 故过p必有两条切线 选d 二 填空题3 已知圆c的圆心是直线x y 1 0与x轴的交点 且圆c与直线x y 3 0相切 则圆c的方程为 答案 x 1 2 y2 2 解析 在直线方程x y 1 0中 令y 0得 x 1 圆心坐标为 1 0 4 若直线3x 4y m 0与圆x2 y2 2x 4y 4 0没有公共点 则实数m的取值范围是 答案 0 10 解析 圆x2 y2 2x 4y 4 0的圆心坐标为 1 2 半径r 1 5 将圆x2 y2 1沿x轴正向平移1个单位后得到圆c 则圆c的方程是 若过点 3 0 的直线l和圆c相切 则直线l的斜率是 解析 将圆x2 y2 1沿x轴正向平移1个单位得到的圆c 其半径仍为1 圆心由 0 0 变为 1 0 所以其方程为 x 1 2 y2 1