高中数学 2.13定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用课件 理 新人教A版.ppt

第十三节定积分的概念与微积分基本定理 定积分的简单应用 三年8考高考指数 1 定积分的计算与利用定积分求平面图形的面积是高考的重点 2 多以选择题 填空题的形式考查 1 定积分的定义及具体意义 1 定义 分割 设函数f x 在区间 a b 上连续 用分点a x0 x1 x2 xi 1 xi xn b将区间 a b 等分成n个小区间 每个小区间的长度为 x 近似代替 用区间 xi 1 xi 内任一点 i处的函数值f i 代替f x 求和 取极限得定积分 2 具体意义曲边图形面积 s 变速运动路程s 变力做功 即时应用 1 思考 积分与是否相等 提示 相等 定积分的大小仅与被积函数及积分区间有关 而与积分变量无关 2 设f x 在 a b 上连续 则f x 在 a b 上的平均值为 解析 由定积分的含义可知f x 在 a b 上的平均值为答案 3 设连续函数f x 0 则当a b时 定积分的符号为 填 正 或 负 解析 由定积分的几何意义可知的符号为正 答案 正 2 定积分的几何意义 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积 即时应用 1 设f x 是连续函数 且为奇函数 在对称区间 a a 上的定积分 2 若y f x 与y g x 是 a b 上的两条光滑曲线的方程 则由这两条曲线及直线x a x b所围成的平面区域的面积为 解析 1 由定积分的几何意义和奇函数的性质知 2 利用定积分的几何意义可得 平面区域的面积应表示为答案 1 0 2 3 定积分的性质性质1 性质2 其中k为常数 性质3 性质4 其中a c b b a 即时应用 1 已知则 2 解析 1 由定积分的性质得 2 由定积分的性质可得又sinx与2x都是奇函数 所以所求定积分为0 答案 1 1 2 0 4 微积分基本定理一般地 如果函数f x 是区间 a b 上的连续函数 并且f x f x 那么 f b f a 即时应用 1 2 一物体在力f x 3x 4 单位 n 的作用下 沿着与力f相同的方向 从x 0处运动到x 4处 单位 m 所做的功为 解析 1 2 所做的功为答案 1 2 2 40j 定积分的计算 方法点睛 定积分的计算方法 1 利用定积分的几何意义 转化为求规则图形 三角形 矩形 圆或其一部分等 的面积 2 应用微积分基本定理求定积分时 可按以下两步进行 第一步 求使f x f x 成立的f x 第二步 计算f b f a 例1 1 2011 福建高考 等于 a 1 b e 1 c e d e 1 2 定积分的值为 a 9 b 3 c d 3 2011 陕西高考 设若f f 1 1 则a 解题指南 1 寻求使f x ex 2x的f x 从而求得积分值 2 利用定积分的几何意义 化为求圆面积的一部分 3 分段函数问题通常需要分段进行计算或判断 从x 1算起是解答本题的突破口 规范解答 1 选c ex x2 ex 2x 2 选c 由定积分的几何意义知是由曲线直线x 0 x 3 y 0围成的封闭图形的面积 故故选c 3 因为x 1 0 所以f 1 lg1 0 又因为所以f 0 a3 所以a3 1 a 1 答案 1 互动探究 本例 2 中 改变积分下限 求的值 解析 由例题知 此时的几何意义是由曲线直线x 3 x 3 y 0围成的封闭图形的面积 故 反思 感悟 1 求定积分时 如果被积函数比较复杂 可把被积函数变形为幂函数 正弦函数 余弦函数 指数函数与常数的积或和或差的形式 再求解 2 求定积分值时 应首先选用微积分基本定理 当满足f x f x 的f x 不易求时 可考虑应用定积分的几何意义求解 变式备选 等于 a 2ln2 b 2ln2 c ln2 d ln2 解析 选d 利用定积分求平面图形的面积 方法点睛 求曲边图形面积的方法与步骤 1 画图 并将图形分割为若干个曲边梯形 2 对每个曲边梯形确定其存在的范围 从而确定积分的上 下限 3 确定被积函数 4 求出各曲边梯形的面积和 即各积分的绝对值的和 提醒 利用定积分求曲边图形面积时 一定要找准积分上限 下限及被积函数 当图形的边界不同时 要分不同情况讨论 例2 1 2011 湖南高考 由直线与曲线y cosx所围成的封闭图形的面积为 2 求函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积 解题指南 1 画出草图 分析如何用定积分表示该面积 再求解 2 画出草图 设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题 规范解答 1 选d 由定积分知识可得故选d 2 所求面积为图中阴影部分的面积 由题意知a 2 0 b 0 2 c 0 所求图形的面积为 互动探究 将本例 2 改为求由函数与围成的图形面积 解析 如图 所求图形面积为 反思 感悟 1 在求平面图形的面积时 一般需画出草图 观察图形的面积与定积分的关系 2 在x轴上侧图形对应的定积分值是正的 下侧图形对应的定积分值是负的 变式备选 设y f x 是二次函数 方程f x 0有两个相等的实根 且f x 2x 2 1 求y f x 的表达式 2 求y f x 的图象与两坐标轴所围成图形的面积 3 若直线x t 0 t 1 把y f x 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分 求t的值 解析 1 设f x ax2 bx c 则f x 2ax b 又已知f x 2x 2 a 1 b 2 f x x2 2x c 又方程f x 0有两个相等的实根 判别式 4 4c 0 即c 1 故f x x2 2x 1 2 依题意 所求面积 3 依题意 有 2t3 6t2 6t 1 0 2 t 1 3 1 于是 定积分物理意义的应用 方法点睛 定积分的物理意义的应用定积分在物理中可以用来求变速运动的速度 位移 变力做功等 加速度关于时间的积分是速度 速度关于时间的积分是位移 力关于力的方向上的位移的积分是所做的功 例3 在某介质内作变速直线运动的物体 经过时间t 单位 s 所走过的路程s 4t2 单位 m 若介质阻力f与物体的运动速度v成正比 且当v 10m s时 f 5n 求物体在位移区间 1 4 内克服介质阻力所做的功 解题指南 由题意可以先求出阻力f 再利用变力做功公式 求物体克服阻力所做的功 规范解答 物体经过时间t所走过的路程s 4t2 速度v t s 8t 设f kv t 由 当v 10m s时 f 5n 知 f 4t dw fds 4t d 4t2 32t2dt s 1 4 t 1 物体在位移区间 1 4 内克服介质阻力所做的功 反思 感悟 用定积分解决变速运动的位移与路程问题时 把物理问题转化为数学问题是关键 另外注意变速直线运动的速度函数往往是分段函数 故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分 然后求出积分的和 变式训练 一物体在力 单位 n 的作用下沿与力f x 相同的方向运动了4米 力f x 做功为 a 44j b 46j c 48j d 50j 解析 选b 力f x 所做的功为 变式备选 一质点a以速度v1 t 3t2 1 m s 在直线l上运动 另一质点b以速度v2 t 10t m s 也在直线l上运动 若两质点同时同地出发并同向运动 求经过多少时间 质点a比质点b多运动5m 解析 设经过xs 质点a比质点b多运动5m 则即 x3 x 5x2 5 解得x 5 经过5s 质点a比质点b多运动5m 易错误区 利用定积分求平面图形的面积的易错点 典例 2011 新课标全国卷 由曲线直线y x 2及y轴所围成的图形的面积为 解题指南 画出图形 确定积分区间 然后用积分求面积 规范解答 选c 与y x 2以及y轴所围成的图形面积为如图所示的阴影部分 联立得交点坐标为 4 2 故所求面积为 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2012 黄冈模拟 曲线与直线y x 1及x 4所围成的封闭图形的面积为 a 2 ln2 b