高中数学 （主干知识+典例精析）3.5和角公式课件 理 新人教B版.ppt

第五节和角公式 三年9考高考指数 1 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2 能用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦 正切公式 3 能用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦 余弦 正切公式 推导出二倍角的正弦 余弦 正切公式 了解它们的内在联系 1 利用两角和与差的正弦 余弦 正切公式进行三角函数式的化简 求值是高考的常考点 2 公式逆用 变形应用是高考热点 3 在选择题 填空题 解答题中都有所考查 1 两角和与差的正弦 余弦和正切公式 即时应用 1 判断下列式子的正误 请在括号内打 或 cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sin15 sin 45 30 cos45 sin30 sin45 cos30 cos15 cos 60 45 cos60 cos45 sin60 sin45 cos15 cos 60 45 cos60 cos45 sin60 sin45 2 计算sin72 cos18 cos72 sin18 3 计算cos72 cos12 sin72 sin12 解析 1 cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sin45 sin30 故 错误 sin15 sin 45 30 sin45 cos30 cos45 sin30 故 错误 正确 cos15 cos 60 45 cos60 cos45 sin60 sin45 故 错误 2 原式 sin 72 18 sin90 1 3 原式 cos 72 12 cos60 答案 1 2 1 3 2 形如asinx bcosx的式子的化简asinx bcosx sin x 其中sin cos 即时应用 1 把下列三角函数式化成sin x 的形式 sin cos sin cos 5sin 12cos 2 计算 解析 1 sin cos sin 2sin sin cos sin 5sin 12cos sin 13sin 其中tan 2 原式 答案 1 2sin sin 13sin 其中tan 2 三角函数的化简 求值 方法点睛 1 三角函数的化简方法 1 化简方法 寻求角与角之间的关系 化非特殊角为特殊角 正确灵活地运用公式 通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值 2 三角函数的化简常用方法是 异名三角函数化为同名三角函数 异角化为同角 异次化为同次 正切化弦 特殊值与特殊角的三角函数互化 2 三角函数的求值主要有两种类型 即给角求值 给值求值 1 给角求值的关键是正确地选用公式 以便把非特殊角的三角函数相消 从而化为特殊角的三角函数 2 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异 一般可以适当变换已知式 求得另外函数式的值 以备应用 同时也要注意变换待求式 便于将已知式求得的函数值代入 从而达到解题的目的 例1 若cos x x 求的值 解题指南 本题可以利用x x 的变换 同时要注意x的范围和符号 求出sinx和cosx代入原式求解 也可以化简原式后得到二倍角与和角的三角函数 利用2x 2 x 的变换 再利用两角差的余弦和二倍角公式求解 规范解答 方法一 由 x 得 x 2 又因为cos x sin x cosx cos x cos x cos sin x sin 从而sinx tanx 7 原式 方法二 原式 sin2xtan x 而sin2x sin 2 x cos2 x 2 x 1 tan x 所以 原式 反思 感悟 1 此题若将cos x 的左边展开成coscosx sinsinx 再求cosx sinx的值就很繁琐 把 x作为整体 并注意角的变换2 x 2x 这样就可运用二倍角公式 化难为易 化繁为简是三角恒等变换的关键 2 解答有条件限制的求值问题时 要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系 一般方法是拼角与拆角 变式训练 已知sin sin 求的值 解析 方法一 由题设 从而 方法二 令x 5 x 即 变式备选 已知 0 cos sin 求sin 的值 解析 又 cos sin 0 又 sin cos sin sin sin sin cos cos sin 三角函数的给值求角 方法点睛 1 解决三角函数的给值求角问题的一般思路 1 求出该角的某一三角函数值 2 确定角的范围 3 根据角的范围写出角 2 三角函数给值求角时应注意的问题求角的某一三角函数值时 尽量选择在该角所在范围内是单调的函数 这样 由三角函数值才可以唯一确定角 1 若角的范围是 0 选正 余弦皆可 2 若角的范围是 0 选余弦较好 3 若角的范围为 则选正弦 例2 已知cos cos 且0 1 求tan2 的值 2 求 解题指南 1 利用同角三角函数关系式求出sin tan 再求出tan2 2 把 写成 根据已知条件求出 的正弦 的正弦 求出cos 根据范围确定角 规范解答 1 由cos 0 得sin tan 于是tan2 2 由0 得0 又 cos sin 由 得cos cos cos cos sin sin 反思 感悟 根据三角函数值求角时 一定要先确定角的范围 另外 也可运用同角三角函数的商数关系 在等式sinbcosa sinacosb两端同除以cosacosb得tanb tana等变化技巧也经常用到 变式训练 已知0 cos cos 求 的值 解析 0 cos sin 又 0 0 由cos 可知0 sin sin sin sin cos cos sin 由 得 或求cos 得 三角函数的综合应用 方法点睛 三角函数公式和三角函数性质的关系两角和与差的正弦 余弦 正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中 有时还可以通过asin bcos sin 其中tan 进行变形 需要利用这些公式 先把函数解析式化为y asin x 的形式 再进一步探讨定义域 值域和最值 单调性 奇偶性 周期性 对称性等性质 例3 2012 抚顺模拟 已知函数f x sin2x cos2x 1 求函数f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 2 求函数f x 在区间 上的值域 解题指南 先将函数式化为f x asin x 的形式 再求解 规范解答 f x sin2x cos2x sin2x cos cos2x sin sin 2x 1 函数f x 的最小正周期t 由2x k k z 得x k z 函数f x 图象的对称轴方程为x k z 2 x 2x sin 2x 1 f x 在区间 上的值域为 1 互动探究 若本例题干不变 如何求函数f x 的单调区间 解析 f x sin 2x 2k 2x 2k 即k x k k z f x 的单调增区间为 k k k z 又2k 2x 2k k x k k z f x 的单调减区间为 k k k z 反思 感悟 利用三角函数公式进行三角恒等变形 要求熟练掌握公式和变换技巧 强化运算能力 以基本三角函数的性质为基础求y asin x 的性质 有时给出角的范围时要注意 x 的范围的变化 变式备选 2012 潍坊模拟 已知函数f x 1 化简函数f x 的解析式 并求其定义域和单调区间 2 若f 求sin2 的值 解析 1 f x 2sin x 由题意sin x 0 x k k z 其定义域为 x x k k z 函数f x 在 2k 2k k z 上单调递增 在 2k 2k k z 上单调递减 2 f sin cos sin cos sin2 sin cos 2 1 1 满分指导 三角函数主观题的规范解答 典例 12分 2011 广东高考 已知函数f x 2sin x x r 1 求f 的值 2 设 0 f 3 f 3 2 求cos 的值 解题指南 1 把x 代入解析式直接求解 2 由题目条件可求出sin 及cos 的值 然后利用同角三角函数关系 求出cos 及sin 的值 再利用两角和的余弦公式求解 规范解答 1 f 2sin 2sin 3分 2 由f 3 得2sin 即sin 6分 由f 3 2 得2sin 从而cos 8分 0 cos sin 10分 cos cos cos sin sin 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 浙江高考 若0 0 cos cos 则cos a b c d 解析 选c 由cos 可得sin 由cos 及 可得sin 所以cos cos cos cos sin sin 2 2011 湖北高考 已知函数f x sinx cosx x r 若f x