高考数学 2.10函数模型及其应用配套课件 文 新人教A版 .ppt

第十节函数模型及其应用 三年3考高考指数 1 了解指数函数 对数函数以及幂函数的变化特征 2 能利用给定的函数模型解决简单的实际问题 1 函数模型的应用是高考考查的重点 2 建立函数模型解决实际问题是高考命题的热点 常与导数 均值不等式 函数的单调性 最值等交汇出现 主要考查建模能力及分析问题和解决问题的能力 3 题型方面选择题 填空题 解答题三种题型都有所涉及 但以解答题为主 1 三种函数模型性质比较 相对平稳 随n值变化而不同 即时应用 1 思考 对于直线上升 指数增长 对数增长三种增长模型 你作为老板 希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长 提示 公司的利润选择直线上升或指数模型增长 而员工奖金选择对数模型增长 2 当x越来越大时 下列四个函数中 增长速度最快的是 y 2x y x10 y lgx y 10 x2 解析 由函数图象知 y 2x的增长速度最快 答案 3 函数y 2x与y x2的图象的交点个数是 解析 由y 2x与y x2的图象知有3个交点 答案 3 4 当2 x 4时 2x x2 log2x的大小关系是 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数y log2x y x2 y 2x的图象 在区间 2 4 内从上往下依次是y x2 y 2x y log2x的图象 所以x2 2x log2x 答案 x2 2x log2x 2 常见的几种函数模型 1 直线模型 一次函数模型 k 0 图象增长特点是直线式上升 x的系数k 0 通过图象可以直观地认识它 特例是正比例函数模型y kx k 0 2 反比例函数模型 k 0 型 增长特点是y随x的增大而减小 y kx b 3 指数函数模型 y a bx c b 0 b 1 a 0 其增长特点是随着自变量的增大 函数值增大的速度越来越快 底数b 1 a 0 常形象地称为指数爆炸 4 对数函数模型 即y mlogax n a 0 a 1 m 0 型 增长特点是随着自变量的增大 函数值增大的速度越来越慢 底数a 1 m 0 5 幂函数模型 即y a xn b a 0 型 其中最常见的是二次函数模型 a 0 其特点是随着自变量的增大 函数值先减小 后增大 a 0 y ax2 bx c 6 分段函数模型 y 其特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同 可以先将其当作几个问题 将各段的变化规律分别找出来 再将其合到一起 要注意各段自变量的取值范围不同 即时应用 1 据报道 全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5 如果按此速度 设2011年的冬季冰雪覆盖面积为m 从2011年起 经过x年后 北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是 2 某出租车公司规定乘车收费标准如下 3公里以内为起步价8元 即行程不超过3公里 一律收费8元 若超过3公里 除起步价外 超过的部分再按1 5元 公里计价 若司机再与某乘客约定按四舍五入以元计费不找零钱 已知该乘客下车时乘车行程为7 4公里 则该乘客应付的车费为 解析 1 设每年的冰雪覆盖面积与上一年的比为a 则由题意得1 0 05 a50 y x m m x n 2 依题意得 实际乘车车费为 8 1 5 7 4 3 14 6 元 应付车费15元 答案 1 y m x n 2 15元 用函数刻画实际问题 方法点睛 用函数图象刻画实际问题的解题思路在现实世界里 事物之间存在着广泛的联系 许多联系可以用函数去刻画 只需将实际问题中两个变量间变化的规律 如增长的快慢 最大 最小等 与函数的性质 如单调性 最值等 图象 增加 减少的缓急等 基本吻合即可 例1 如图所示 向高为h的水瓶a b c d中同时以等速注水 注满为止 1 若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的 a 则水瓶的形状是 2 若水量v与水深h的函数图象是下图中的 b 则水瓶的形状是 3 若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的 c 则水瓶的形状是 4 若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的 d 则水瓶的形状是 解题指南 根据实际问题中水深h 水量v和注水时间t之间的关系 结合图象使之吻合即可 规范解答 1 该题图中的 a 说明了注入水的高度是匀速上升的 只有c中的容器能做到 所以应填c 2 该题图中的 b 说明了水量v增长的速度随着水深h的增长越来越快 在已知的四个容器中 只有a中的容器能做到 所以应填a 3 该题图中的 c 说明水深h与注水时间之间的对应关系 且反映出来的是升高的速度是由快到慢再到快 在已知的四个容器中 只有d中的容器能做到 所以应填d 4 该题图中的 d 说明水深h与注水时间t之间的对应关系 且反映出来的是水深升高的速度是先慢后快 在已知的四个容器中 只有b中的容器能做到 所以应填b 答案 1 c 2 a 3 d 4 b 反思 感悟 用函数刻画实际问题的关键是分析所给实际问题中两个变量间的关系 从中发现其变化的规律 从而与函数的图象和性质联系起来 变式训练 如图所示 一质点p x y 在xoy平面上沿曲线运动 速度大小不变 其在x轴上的投影点q x 0 的运动速度v v t 的图象大致为 解析 选b 由图可知 当质点p x y 在两个封闭曲线上运动时 投影点q x 0 的速度先由正到0 到负数 再到0 到正 故a错误 质点p x y 在终点的速度是由大到小接近0 故d错误 质点p x y 在开始时沿直线运动 故投影点q x 0 的速度为常数 因此c是错误的 故选b 利用已知函数模型解决实际问题 方法点睛 利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数关系式 或可确定其函数模型的图象 求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值 再用求得的函数解析式解决实际问题 对于已知函数解析式的可以直接利用函数相关性质解决实际问题 提醒 分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同 要注意各段变量的范围 特别是端点 例2 1 某产品的总成本y 万元 与产量x 台 之间的函数关系式是y 3000 20 x 0 1x2 0 x 240 x n 若每台产品的售价为25万元 则生产者不亏本时 销售收入不小于总成本 的最低产量是 a 100台 b 120台 c 150台 d 180台 2 为了预防流感 某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒 已知药物释放过程中 室内每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间t 小时 成正比 药物释放完毕后 y与t的函数关系式为y t a a为常数 如图所示 根据图中提供的信息 求从药物释放开始 每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间t 小时 之间的函数关系式为 解题指南 1 结合二次函数的性质及实际意义解题即可 2 结合图象通过特殊点用待定系数法求出关系式 规范解答 1 选c 要使生产者不亏本 则有3000 20 x 0 1x2 25x 解上式得 x 200或x 150 又 0 x 240 x n x的最小值为150 2 药物释放过程中 室内每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间t 小时 成正比 则设函数y kt k 0 将点 0 1 1 代入可得k 10 则y 10t 将点 0 1 1 代入y t a 得a 则所求关系式为y 答案 y 互动探究 本例 2 中题干不变 若据测定 当空气中每立方米的含药量降低到0 25毫克以下时 学生方可进教室 那么从药物释放开始 至少需要经过 小时后 学生才能回到教室 解析 由本例 2 知 令 0 25 得t 0 6 即从药物释放开始 至少需要经过0 6小时后 学生才能回到教室 答案 0 6 反思 感悟 解决这类已给出数学模型的实际问题 关键是从实际问题分析出其经过的特殊点或满足的特殊情况 从而代入求得其解析式 变式备选 已知某物体的温度 单位 摄氏度 随时间t 单位 分钟 的变化规律是 m 2t 21 t t 0 并且m 0 1 如果m 2 求经过多少时间 物体的温度为5摄氏度 2 若物体的温度总不低于2摄氏度 求m的取值范围 解析 1 若m 2 则 2 2t 21 t 2 2t t 0 当 5时 2t 令2t x 1 则x 即2x2 5x 2 0 解得x 2或x 舍去 此时t 1 所以经过1分钟 物体的温度为5摄氏度 2 物体的温度总不低于2摄氏度 即 2恒成立 亦m 2t 2恒成立 亦即m 2 恒成立 令 x 则0 x 1 m 2 x x2 由于x x2 m 因此 当物体的温度总不低于2摄氏度时 m的取值范围是 自建函数模型解决实际问题 方法点睛 建立函数模型解决实际问题的步骤 1 审题 深刻理解题意 分清条件和结论 理顺其中的数量关系 把握其中的数学本质 2 建模 由题设中的数量关系 建立相应的数学模型 将实际问题转化为数学问题 3 解模 用数学知识和方法解决转化出的数学问题 4 还原 回到题目本身 检验结果的实际意义 给出结论 例3 2012 北京模拟 某特许专营店销售上海世博会纪念章 每枚进价为5元 同时每销售一枚这种纪念章还需要向上海世博局交特许经营管理费2元 预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时 该店一年可销售2000枚 经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元 则增加销售400枚 而每增加一元则减少销售100枚 现设每枚纪念章的销售价格为x元 1 写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y 元 与每枚纪念章的销售价格x 元 之间的函数关系式 并写出这个函数的定义域 2 当每枚纪念章销售价格x为多少元时 该特许专营店一年内利润y 元 最大 并求出这个最大值 解题指南 1 首先应根据题意确定出销售价格x的取值范围 再分别求出减少 增加一元时的销售利润 从而得到一年所得利润y 元 的函数关系式 2 根据函数关系式的结构特征 选择适当的求最值方法求解 规范解答 1 依题意销售价格x 7 40 即定义域为 7 40 而当7 x 20 x n 时 则增加销售400 20 x 枚 故其一年内销售所获得利润为y 2000 400 20 x x 7 当20 x 40 x n 时 则减少销售100 x 20 枚 故其一年内销售所获得利润为y 2000 100 x 20 x 7 综上得 y 2 因为y 若7 x 20 则当x 16时 ymax 32400 元 若20 x 40 则当x 23或24时 ymax 27200 元 综上可得当x 16时 该特许专营店获得的利润最大 为32400元 反思 感悟 解决这类问题常见的两个误区 1 不会将实际问题转化为函数模型 从而无法求解 2 在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件 变式训练 据气象中心观察和预测 发生于m地的沙尘暴一直向正南方向移动 其移动速度v km h 与时间t h 的函数图象如图所示 过线段oc上一点t t 0 作横轴的垂线l 梯形oabc在直线l左侧部分的面积即为t h 内沙尘暴所经过的路程s km 1 当t 4时 求s的值 2 将s随t变化的规律用数学关系式表示出来 3 若n城位于m地正南方向 且距m地650km 试判断这场沙尘暴是否会侵袭到n城 如果会 在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到n城 如果不会 请说明理由 解析 1 由图象可知 当t 4时 v 3 4 12 s 4 12 24 km 2 当0 t 10时 s t 3t t2 当10 t 20时 s 10 30 30 t 10 30t 150 当20 t 35时 s 10 30 10 30 t 20 30 t 20 2 t 20 t2 70t 550 综上 可知s 3 t 0 10 时 smax 102 150 650 t 10 20 时 smax 30 20 150 450 650 当t 20 35 时 令 t2 70t 550 650 解得t1 30 t2 40 20 t 35 t 30 沙尘暴发生30h后将侵袭到n城 变式备选 2012 长沙模拟 某公司是专门生产健身产品的企业 第一批产品a上市销售40天内全部售完 该公司对第一批产品a上市后的市场销售进行调研 结果如图 1 2 所示 其中 1 的抛物线表示的是市场的日销售量与上市时间的关系 2 的折线表示的是每件产品a的销售利润与上市时间的关系 1 写出市场的日销售量f t 与第一批产品a上市时间t的关系式 2 第一批产品a上市后的第几天 这家公司日销售利润最大 最大利润是多少 解析 1 设f t a t 20 2 60 由f 0 0可知a 即f t t 20 2 60 t2 6t 0 t 40 t n 2 设销售利润为g t 万元 则g t 当30 t 40时 g t 单调递减 当0 t 30时 g t t2 24t 易知g t 在 0 单调递增 30 单调递减 而t n 故比较g 26 g 27 经计算 g 26 2839 2 g 27 2843 1 故第一批产品a上市后的第27天这家公司日销售利润最大 最大利润是2843 1万元 满分指导 函数模型应用解答题的规范解答 典例 14分 2011 江苏高考 请你设计一个包装盒 如图所示 abcd是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得a b c d四个点重合于图中的点p 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 e f在ab上 是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点 设ae fb x cm 1 某广告商要求包装盒的侧面积s cm2 最大 试问x应取何值 2 某厂商要求包装盒的容积v cm3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 解题指南 解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示成x的函数 然后根据二次函数的最值求法和导数法求解 规范解答 设包装盒的高为h cm 底面边长为a cm 由已知得a x h 30 x 0 x 30 2分 1 s 4ah 8x 30 x 4分 8 x 15 2 1800 所以当x 15时 s取得最大值 6分 2 v a2h 2 x3 30 x2 8分v 6x 20 x 由v 0得x 0 舍 或x 20 10分当x 0 20 时 v 0 当x 20 30 时 v 0 所以当x 20时 v取得极大值 也是最大值 12分此时 即包装盒的高与底面边长的比值为 14分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 北京高考 根据统计 一名工人组装第x件某产品所用的时间 单位 分钟 为f x a c为常数 已知工人组装第4件产品用时30分钟 组装第a件产品用时15分钟 那么c和a的值分别是 a 75 25 b 75 16 c 60 25 d 60 16 解析 选d 因为组装第a件产品用时15分钟 所以 15 所以必有4 a 且 30 联立 解得c 60 a 16 故选d 2 2012 杭州模拟 汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限 年均消耗费用 年均成本费用 年均维修费 设某种汽车购车的总费用为50000元 使用中每年的保险费 养路费及汽油费合计为6000元 前x年的总维修费y满足y ax2 bx 已知第一年的总维修费为1000元 前两年的总维修费为3000元 则这种汽车的最佳使用年限为 年 解析 设这种汽车的最佳使用年限为x年 年均消耗费用为k 则又当x 1时 ax2 bx 1000 当x 2时 ax2 bx 3000 即 a 500 b 500 故 当且仅当 500 x 即x 10时取最小值 答案 10 3 2011 湖北高考 里氏地震m的计算公