高中数学 2.3.1数乘向量课件 北师大版必修4 .ppt

向量的线性运算1 对向量的大小 方向及几何意义的理解是一个向量 不是一个实数 其几何意义是将表示向量的有向线段伸长或压缩 当 1时 表示向量的有向线段在原方向 0 或反方向 0 或反方向 0 上缩短为原来的 倍 2 当 0或时 其方向为任意 当 0时 与方向相同 0时 与方向相反 3 向量的大小为 2 对向量的线性运算的理解 1 向量线性运算的种类 2 向量线性运算的结果是向量 实数和代数式运算的结果是实数或代数式 尽管它们的运算律形式上相似 但其意义却迥然不同 因此在类比实数的运算律学习向量的有关运算律时务必经过严格证明后方可使用 向量同实数之间只能进行数乘运算 不能进行加 减及除法运算 即等都是错误的 例1 计算 审题指导 利用向量的线性运算的法则求解 规范解答 变式训练 若化简的结果为 解析 选a 向量的表示用已知向量表示未知向量的求解思路 1 先结合图形的特征 把待求向量放在三角形或平行四边形中 2 然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量 3 求解过程体现了数学上的化归思想 例2 如图 在 abc中 d e为边ab的两个三等分点 求 审题指导 由d e为边ab的两个三等分点可知a b d e四点共线 从而向量均可以由向量表示 而向量可由向量表示 从而问题可解 规范解答 又d e为边ab的两个三等分点所以所以 互动探究 在题设不变的情况下 求 解题提示 可利用向量共线定理或三角形法则求解 解析 利用向量法证明几何问题1 利用向量法证明几何问题的常用方式思路一 利用几个首尾顺次相接且能围成封闭图形的向量和为零向量这一特征 此法较简单 但思考容量大 一般不易想到 思路二 可以构造一些新的向量 应用三角形法则直接求解 此法也是常规解法 思路清晰易思考 2 向量线性运算几何意义应用中的常见结论 例 如图所示 已知d e分别为 abc的边ab ac的中点 延长cd到m使dm cd 延长be到n使be en 求证 m a n三点共线 审题指导 本题利用三角形法则转化到可证两向量共线 从而解决点共线的几何问题 规范解答 在 amc中 d为mc的中点 又 d是ab的中点 同理可证共线且有公共点a a m n三点共线 变式备选 如图 abcd为一个四边形 e f g h分别为bd ab ac和cd的中点 求证 四边形efgh为平行四边形 解题提示 只需证明即可得出结论 eh fg且eh fg 问题可解 解析 f g分别为ab ac的中点 同理 四边形efgh为平行四边形 典例 12分 设两个非零向量与不共线 1 若求证 a b d三点共线 2 试确定实数k 使和共线 审题指导 非零向量与满足的条件 不共线 1 要证明a b d三点共线 只要建立与的等量关系便可 2 引入参数 使其满足并由向量与不共线求解该方程 规范解答 共线 4分又有公共点b a b d三点共线 6分 2 和共线 则存在实数 使得 8分即 非零向量与不共线 k 0且1 k 0 10分 k 1 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 设是不共线的向量 已知向量若a b d三点共线 求k的值 解题提示 证明存在实数 使得 解析 假设存在实数 使 得 k 8 1 等于 解析 选d 2 ad是 abc的中线 则 解析 选c ad是 abc的中线 结合向量的平行四边形法则可知 3 已知则下列关系一定成立的是 a a b c三点共线 b a b d三点共线 c a c d三点共线 d b c d三点共线 解析 选c 且有公共点c 故a c d三点共线 4 已知非零向量满足则下列结论中正确的有 向量的方向相同 解析 共线 故 正确 又且向量的方向相反 故 错误 答案 5 设是非零向量 是非零实数 则下列结论中正确的有 只填序号 与 的方向相反 与 2方向相同 2 2 解析 错误 当 0时成立 当 0 与 方向相同 错误 当 1或 1时 当 1 1