高中数学 1.2 应用举例课件 新人教A版必修5.ppt

1 2应用举例 基础知识复习 解三角形应用举例 1 正弦定理 2 余弦定理 1 分析 理解题意 画出示意图 2 建模 把已知量与求解量集中在一个三角形中 3 求解 运用正弦定理和余弦定理 有顺序地解这些三角形 求得数学模型的解 4 检验 检验所求的解是否符合实际意义 从而得出实际问题的解 实际问题 数学问题 三角形 数学问题的解 解三角形 实际问题的解 解三角形应用题的一般步骤是 解三角形中的有关名词 术语 1 坡度 斜面与地平面所成的角度 2 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中 视线在水平线上方的角叫仰角 视线在水平线下方的角叫俯角 3 方位角 从正北方向顺时针转到目标方向的夹角 4 视角 由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角 例1 设a b两点在河的两岸 要测量两点之间的距离 测量者在a的同测 在所在的河岸边选定一点c 测出ac的距离是55cm bac 51o acb 75o 求a b两点间的距离 精确到0 1m 分析 已知两角一边 可以用正弦定理解三角形 解 根据正弦定理 得 答 a b两点间的距离为65 7米 变式练习 两灯塔a b与海洋观察站c的距离都等于akm 灯塔a在观察站c的北偏东30 灯塔b在观察站c南偏东60 则a b之间的距离为多少 例2 a b两点都在河的对岸 不可到达 设计一种测量两点间的距离的方法 分析 用例1的方法 可以计算出河的这一岸的一点c到对岸两点的距离 再测出 bca的大小 借助于余弦定理可以计算出a b两点间的距离 解 测量者可以在河岸边选定两点c d 测得cd a 并且在c d两点分别测得 bca acd cdb bda 在adc和bdc中 应用正弦定理得 计算出ac和bc后 再在abc中 应用余弦定理计算出ab两点间的距离 注 阅读教材p12 了解基线的概念 练习1 一艘船以32 2nmile hr的速度向正北航行 在a处看灯塔s在船的北偏东20o的方向 30min后航行到b处 在b处看灯塔在船的北偏东65o的方向 已知距离此灯塔6 5nmile以外的海区为航行安全区域 这艘船可以继续沿正北方向航行吗 练习2 自动卸货汽车的车厢采用液压机构 设计时需要计算油泵顶杆bc的长度 已知车厢的最大仰角是60 油泵顶点b与车厢支点a之间的距离为1 95m ab与水平线之间的夹角为6 20 ac长为1 40m 计算bc的长 精确到0 01m 1 什么是最大仰角 2 例题中涉及一个怎样的三角形 在 abc中已知什么 要求什么 练习2 自动卸货汽车的车厢采用液压机构 设计时需要计算油泵顶杆bc的长度 已知车厢的最大仰角是60 油泵顶点b与车厢支点a之间的距离为1 95m ab与水平线之间的夹角为6 20 ac长为1 40m 计算bc的长 精确到0 01m 已知 abc中ab 1 95m ac 1 40m 夹角 cab 66 20 求bc 解 由余弦定理 得 答 顶杆bc约长1 89m 测量垂直高度 1 底部可以到达的 测量出角c和bc的长度 解直角三角形即可求出ab的长 图中给出了怎样的一个几何图形 已知什么 求什么 想一想 2 底部不能到达的 例3ab是底部b不可到达的一个建筑物 a为建筑物的最高点 设计一种测量建筑物高度ab的方法 分析 由于建筑物的底部b是不可到达的 所以不能直接测量出建筑物的高 由解直角三角形的知识 只要能测出一点c到建筑物的顶部a的距离ca 并测出由点c观察a的仰角 就可以计算出建筑物的高 所以应该设法借助解三角形的知识测出ca的长 解 选择一条水平基线hg 使h g b三点在同一条直线上 由在h g两点用测角仪器测得a的仰角分别是 cd a 测角仪器的高是h 那么 在acd中 根据正弦定理可得 例3 ab是底部b不可到达的一个建筑物 a为建筑物的最高点 设计一种测量建筑物高度ab的方法 分析 根据已知条件 应该设法计算出ab或ac的长 cd bd bc 177 27 3 150 m 答 山的高度约为150米 解 在 abc中 bca 90 abc 90 bac bad 根据正弦定理 例3 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到a处时测得公路北侧远处一山顶d在西偏北150的方向上 行驶5km后到达b处 测得此山顶在西偏北250的方向上 仰角为80 求此山的高度cd 分析 要测出高cd 只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长 根据已知条件 可以计算出bc的长 例5一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶 到a处时测得公路南侧远处一山顶d在东偏南15 的方向上 行驶5km后到达b处 测得此山顶在东偏南25 的方向上 仰角8 求此山的高度cd 解 在 abc中 a 15 c 25 15 10 根据正弦定理 cd bc tan dbc bc tan8 1047 m 答 山的高度约为1047米 变式 某人在m汽车站的北偏西200的方向上的a处 观察到点c处有一辆汽车沿公路向m站行驶 公路的走向是m站的北偏东400 开始时 汽车到a的距离为31千米 汽车前进20千米后 到a的距离缩短了10千米 问汽车还需行驶多远 才能到达m汽车站 例6一艘海轮从a出发 沿北偏东75 的方向航行67 5nmile后到达海岛b 然后从b出发 沿北偏东32 的方向航行54 0nmile后到达海岛c 如果下次航行直接从a出发到达c 此船应该沿怎样的方向航行 需要航行多少距离 角度精确到0 1 距离精确到0 01nmile 解 在 abc中 abc 180 75 32 137 根据余弦定理 练习 解 如图 在 abc中 由正弦定理可得 因为bc ab 所以a为锐角 a 14 15 b 180 a c 85 45 又由正弦定理 解题过程 答 活塞移动的距离为81mm 解题过程 解