高中数学 5.3线段的定比分点与平移配套课件 理 新人教A版.ppt

第三节线段的定比分点与平移 三年3考高考指数 1 掌握线段的定比分点和中点坐标公式 并能熟练地运用所学知识解决相关问题 2 掌握平移公式 并能熟练地应用平移公式解决问题 1 新课标教材中无本节内容 故大纲卷对线段的定比分点与平移的考查有所淡化 2 对线段的定比分点与平移的考查 各种题型都可能出现 主要考查线段的定比分点坐标公式和向量平移公式 1 线段的定比分点 1 定义设p1 p2是直线l上的两点 点p是l上异于p1 p2的任意一点 则存在一个实数 0 使 其中 叫做点p分有向线段所成的比 2 的范围设点p分有向线段所成的定比为 则 的取值与点p之间的对应关系如表 1 1 1 1 1 0 0 1 即时应用 1 思考 点p分有向线段所成的比 1与点p分有向线段所成的比 2相同吗 它们具有什么关系 提示 当点p为线段p1p2的中点时 1 2 1 当点p不是线段p1p2的中点时 1 2 此时 2 思考 点p分有向线段所成的比 r对吗 为什么 提示 不对 根据定比分点的定义可知 分点p不同于p1 p2两点 0且 1 3 在数轴上 p1 p2 p点的坐标分别是 1 0 2 则点p分有向线段所成的比 解析 由题意 得答案 2 线段的定比分点坐标公式 1 线段的定比分点坐标公式设点p分有向线段的比为 即并且p1 x1 y1 p2 x2 y2 p x y 则即点p的坐标为 1 2 线段中点 三角形重心坐标公式 当p x y 是线段p1p2的中点时 若p1 x1 y1 p2 x2 y2 则有即线段p1p2的中点坐标为 在 abc中 若a x1 y1 b x2 y2 c x3 y3 重心为g x y 则即重心g的坐标为 即时应用 1 已知a 2 2 b 1 1 c 0 3 则线段ab的中点坐标为 abc的重心的坐标为 2 已知p1 1 0 p2 0 2 点p分有向线段所成的比 3 则点p的坐标为 3 已知直线y 2x上三点a 1 2 b 1 2 c 2 4 则点c分有向线段所成的比 解析 1 ab的中点坐标为即为 abc的重心的坐标为即为 2 设点p的坐标为 x y 则 3 由定比分点坐标公式 得 解得 3 答案 1 2 3 3 3 平移公式设p x y 是图形f上任一点 它按向量a h k 平移后的图形f 上对应点为p x y 则有 即时应用 1 已知点p按向量a 1 2 平移后对应点p 2 3 则点p的坐标为 2 已知点a 3 1 按向量a平移后对应的点为b 2 0 则a 3 把函数y 2x2的图象按向量a 2 2 平移后得到f 则f 的解析式为 解析 1 设p x y 则即p 3 5 2 设a h k 则即a 1 1 3 设 x y 为函数y 2x2上任一点 x y 为图象f 上对应的点 则即代入函数y 2x2的解析式得y 2 2 x 2 2 即y 2 x 2 2 2 故所求解析式为y 2x2 8x 6 答案 1 3 5 2 1 1 3 y 2x2 8x 6 线段的定比分点坐标公式及应用 方法点睛 1 确定 的值的常用方法 1 定义法 由向量与的方向是否相同确定 的符号 相同为正 相反为负 由向量与的长度确定 的绝对值 即 2 图示法 借助直观图形 依据定义利用数形结合求解 先利用内 外 分点确定 的符号 再求长度之比 3 坐标法 2 求定比分点坐标有两种解法 1 定比分点坐标公式法 2 向量法 利用向量共线的充要条件解决此类问题更为简捷 特别地 对于平面内有任意三点o a b 若m是线段ab的中点 则这就是中点坐标的向量式 一般地 若点p是分有向线段成定比 的分点 即 1且 0 则这就是线段定比分点坐标的向量式 提醒 对于以上解法 要根据问题实际情况灵活选择 例1 1 已知点p1 2 1 p2 4 3 求出下列情况中点p分有向线段所成的比 及点p的坐标 点p在线段p1p2上 且 点p在线段p1p2的延长线上 且 2 已知p1 0 1 p2 2 y2 p 1 1 三点共线 试求点p分有向线段所成的比 及y2的值 解题指南 1 可先求出定比 然后利用定比分点坐标公式求分点坐标 或设出所求点的坐标 把向量定比分点的问题转化为向量的共线问题来解决 2 用定比分点坐标公式列关于 y2的方程组 解方程组即得 规范解答 1 点p在线段p1p2上 且 3 方法一 设点p的坐标为 x y 由定比分点坐标公式得 点p的坐标为 方法二 设点p的坐标为 x y 则 x 2 y 1 3 4 x 3 y 即解得 点p的坐标为 点p在线段p1p2的延长线上 方法一 设点p的坐标为 x y 由定比分点坐标公式得即p点坐标为 5 5 方法二 设p x y x 2 y 1 3 4 x 3 y 即解得得p 5 5 2 由定比分点坐标公式得解得 及y2的值分别为 互动探究 将本例 1 改为p在直线p1p2上 且 求 的值及p点的坐标 解析 当点p在线段p1p2上时 即 3 设p x y 则 当点p在线段p2p1的延长线上时 设点p x y 则 反思 感悟 已知向量的模长关系 根据定义求 时 弄清点p相对于p1p2的位置是解题的关键 定比分点坐标公式或中 涉及四个量 知道三个就可以求第四个 解题过程体现了方程的思想 变式备选 已知点a 1 6 和b 3 0 在直线ab上求一点p 使 解析 点p分有向线段的比为 或 设点p的坐标为 x y 当 时 有即p 4 当时 有即p 8 综上可得所求点p的坐标为 平移公式的应用 方法点睛 利用平移公式可解决的三类问题 1 已知平移前的解析式和平移向量 求平移后的解析式 2 已知平移后的解析式和平移向量 求平移前的解析式 3 已知平移前后的解析式 求平移向量 其中 第 1 类问题的解法是将代入已知解析式后化简即可 第 2 类问题的解法是将代入已知解析式后化简即可 第 3 类问题常用待定系数法来解决 例2 1 将抛物线y x2 2x 8向左平移1个单位 再向上平移9个单位 则所得抛物线的解析式为 2 把函数y log2 x 3 2的图象按向量a平移后 可得函数y log2x的图象 试求把函数y sinx的图象按向量a平移后所得图象的解析式 解题指南 1 按函数图象的平移法则解题 或转化为按向量平移 套公式解题 2 先求a 再求所得图象的解析式 规范解答 1 方法一 y x 1 2 9 由函数图象的平移法则 左加右减 上加下减 得到要求抛物线的解析式为 y x 1 1 2 9 9 x2 方法二 把问题转化为按向量b 1 9 平移 设平移后所得抛物线上任一点p x y 与其对应的原抛物线上的点p x y 则即 y 9 x 1 2 2 x 1 8 即y x2 所求抛物线的解析式为y x2 答案 y x2 2 设a h k 函数y log2 x 3 2的图象上任一点p x y 与其对应的y log2x图象上的点p x y 则 y k log2 x h 即y log2 x h k 与y log2 x 3 2相比较 得h 3 k 2 a 3 2 设平移后所得图象上任一点m x y 与其对应的原图象上的点m x y 则即 y 2 sin x 3 即y sin x 3 2 平移后所得图象的解析式为y sin x 3 2 互动探究 若本例 2 改为 某函数图象按向量a平移后所得图象的解析式为y sinx 试求原图象对应的函数解析式 解析 由本例 2 的解析知a 3 2 设原图象上任一点p x y 与其对应的平移后的图象上的点为p x y 则 y 2 sin x 3 即y sin x 3 2 原图象对应的函数解析式为y sin x 3 2 反思 感悟 用平移公式解题的关键是弄清楚其中字母代表的意义 x y 是按向量a h k 平移后图象上点的坐标 x y 是与其相对应的平移前的图象上点的坐标 二者不可混淆 变式备选 已知函数的图象按向量a 1 1 平移后的图象解析式为y 2x2 求原函数的解析式 解析 设原函数图象上的点p x y 按向量a平移后变为函数y 2x2图象上的点p x y 则 y 2x 2 y 1 2 x 1 2 即y 2x2 4x 3 原函数的解析式为y 2x2 4x 3 与平移有关的综合问题 方法点睛 关于平移的常用结论 1 函数y f x 的图象按向量a h k 平移后 新图象所对应的函数的解析式为y k f x h 2 将图形 或点 按向量a h k 平移 即将图形沿x轴向右 或向左 平移 h 个单位 h 0时向右 h 0时向左 再沿y轴向上 或向下 平移 k 个单位 k 0时向上 k 0时向下 例3 2012 贺州模拟 已知向量a 2 b sin2 x cos2 x 0 1 若f x a b 且f x 的最小正周期为 求f x 的最大值 并求f x 取得最大值时x的集合 2 在 1 的条件下 函数f x 的图象沿向量c平移可得到函数y 2sin2x的图象 求使 c 最小的向量c 解题指南 1 由向量的数量积得到函数f x 的解析式 转化为三角函数的知识进行求解 2 设出向量c的坐标 根据平移公式得到平移前后对应点坐标之间的关系 代入解析式求解 或按图象的平移法则求解 规范解答 1 由题意知f x a b 最小正周期t 1 f x 2sin 2x 1 f x max 2 1 1 此时 所以f x 取得最大值时x的集合为 x x k k z 2 方法一 设c h k1 x y 为函数f x 图象上任一点 x y 为函数y 2sin2x图象上的对应点 则代入y 2sin2x 整理得y 2sin2 x h k1 2sin 2x 2h k1 与f x 2sin 2x 1比较系数得 c 且 c 最小 h c 1 方法二 因为f x 的图象向左平移的最小距离为个单位 再向上平移1个单位可得到函数y 2sin2x的图象 所以使 c 最小的向量c 1 反思 感悟 按向量a h k 平移和函数图象的平移法则 左加右减 上加下减 可以相互转化 如本例 2 可先设出c的坐标用待定系数法求解 也可按图象的平移变换转化为向量变换 变式训练 已知a 0 记f x a b 并且f x 的最小正周期为 1 求f x 的单调增区间 2 将函数y f x 的图象按向量v m 0 m 0 平移后得函数g x 2sin 2x 的图象 求m的最小值 解析 1 f x a b 最小正周期为 f x 2sin 2x 由得函数f x 的增区间为 2 g x 2sin 2x f x m m 0 当k 0时 m取最小值 满分指导 与向量平移有关的主观题的规范解答 典例 12分 2011 重庆高考 设函数f x sinxcosx cos x cosx x r 1 求f x 的最小正周期 2 若函数y f x 的图象按b 平移后得到函数y g x 的图象 求y g x 在上的最大值 解题指南 1 先把函数f x 的解析式化为asin x b的形式 再求最小正周期 2 先按向量平移公式或函数图象平移法则求函数y g x 的解析式 再求其在上的最大值 规范解答 1 f x 2分 4分 6分 f x 的最小正周期t 7分 2 方法一 设p x y 是y g x 图象上任意一点 其对应y f x 图象上的点p x y 则即 9分 y sin 2x y sin 2 x 即g x sin 2x 11分此时g x 为增函数 12分 方法二 函数y f x 的图象按向量b 平移 相当于把y f x 的图象向右平移个单位 再向上平移个单位 9分 11分下同方法一 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 山东高考 设a1 a2 a3 a4是平面直角坐标系中两两不同的四个点 若且则称a3 a4调和分割a1 a2 已知点c c 0 d d 0 c d r 调和分割点a 0 0 b 1 0 则下面说法正确的是 a c可能是线段ab的中点 b d可能是线段ab的中点 c c d可能同时在线段ab上 d c d不可能同时在线段ab的延长线上 解析 选d 由知 四点a1 a2 a3 a4在同一条直线上 且不重合 因为c d调和分割点a b 所以a b c d四点在同一直线上 且选项a中c 不满足 同理选项b也不正确 选项c中 0 c 1 0 d 1 也不正确 故选d 2 2012 南宁模拟 将函数的图象按向量a m n 平移后得到函数g x 的图象 满足和g x g x 0 则向量a的一个可能值是 a b c d 解析 选b 函数f x 的图象按向量a m n 平移后 得其图象对应的解析式为y n f x m 即y n 2sin 2 x m 3 y 2sin 2x 2m 3 n g x 2sin 2x 2m 3