高中数学 233 直线与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2.ppt

2 3 3直线与平面垂直的性质 一 填空1 线面垂直的性质定理 用数学符号表示为 2 a a 则 3 a 则a 4 a b b 则a 垂直于同一平面的两条直线互相平行 a b a b 二 判断正误 1 如果一条直线与一个平面不垂直 那么这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直 2 已知平面 和直线a b 若a b a 则b 解析 1 错 平面内与这条直线的射影垂直的直线与此直线垂直 2 错 正四棱台如图 b为上底面一边或斜高时都有b a 但b与下底面 不垂直 本节学习重点 直线与平面垂直的性质 本节学习难点 线线垂直与面面垂直的转化 直线与平面垂直的判定与性质归纳如下表 例1 如图 设平面 与 相交于直线l ac bd 垂足分别为c d 直线ab ac ab bd 求证 ab l 解析 ac bd l ac l bd l 过a作ae 垂足为e 则ae bd ab bd ab ae ab 平面ace ae l ae l 又ac l l 平面ace ab l 点评 要证线线平行 不具备公理4的条件 没有线面平行 面面平行关系好用 给出的条件多为垂直关系 于是想到应用线面垂直的性质定理 只须找到这样一个平面 l ab 于是作辅助线围绕找 展开 如图所示 abcd为正方形 sa垂直于abcd所在平面 过a且垂直于sc的平面分别交sb sc sd于e f g 求证 1 ae sb 2 ag sd 分析 要证ae sb 可先假定ae sb已经成立 结合条件sc 平面aefg可知ae 平面sbc 从而ae bc 又bc ab 故bc 平面sab 这样实际证明时 应先从已知条件sa 平面abcd入手证得bc 平面sab 后证ae 平面sbc 证明 1 sa 平面abcd sa bc 又ab bc sa ab a bc 平面sab 又ae 平面sab bc ae sc 平面aefg sc ae 又 sc bc c ae 平面sbc sb 平面sbc ae sb 2 sa 平面abcd cd sa 又cd ad ad sa a cd 平面sad ag 平面sad cd ag sc 平面aefg sc ag 又 sc cd c ag 平面sdc 又sd 平面sdc ag sd 例2 在正方体abcd a1b1c1d1中 点m n分别在直线bd b1c上 且mn bd mn b1c 求证 mn ac1 分析 已知mn bd mn b1c 而b1c与bd是异面直线 可考虑先平移其中一条 b1c a1d 得到线面垂直 结合正方体中存在众多垂直关系 问题实质是已知线面垂直关系证线线平行可考虑用性质 如果能推得ac1 平面a1bd 问题获解 由bd ac bd c1c可得 bd 平面acc1 bd ac1 同理a1d ac1 解析 连接a1d a1b 在正方体abcd a1b1c1d1中 b1c a1d mn b1c mn a1d 又mn bd mn 平面a1bd bd ac且bd c1c bd 平面acc1 bd ac1又a1d ad1且a1d c1d1 a1d 平面ac1d1 a1d ac1 ac1 平面a1db ac1 mn 例3 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 e f分别为ab c1d1的中点 求直线a1b1和平面a1ecf所成的角的正切 分析 求线面角的关键是找出直线在平面上的射影 为此由直线a1b1上一点向平面a1ecf作垂线 但垂足在什么位置呢 故欲作垂线 可先作垂面 解析 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 fc1綊eb ef c1b 又 c1b b1c c1b a1b1 c1b 平面a1b1c ef 平面a1b1c 平面a1b1c 平面a1ecf 交线为a1c 作b1h a1c 则b1h 平面a1cf a1c为a1b1在平面a1ecf上的射影 b1a1c即为直线a1b1和平面a1ecf所成的角 例4 如图 有一个正三棱锥体的零件 p是侧面abd上一点 在面abd内过点p画一条与棱ac垂直的线段 应怎样画 说明你的理由 解析 取bd中点e 几何体为正三棱锥 ae bd ce bd bd 平面ace bd ac 故在平面abd内 欲过p点作与棱ac垂直的线段 只须过p作mn bd分别交ab ad于m n 则线段mn ac mn即所求 例5 已知直线a 平面 b c a b c a到平面 的距离为4 a与b距离为5 b与c距离为6 则a与c的距离为 辨析 考虑问题不周到 由题设的条件知 当在直线a上取点a 作ab 时 垂足b可能在b c之间 也可能在两侧 故应讨论 一 选择题1 如果直线l与平面 不垂直 那么在平面 内 a 不存在与l垂直的直线b 存在一条与l垂直的直线c 存在无数条与l垂直的直线d 任意一条都与l垂直 答案 c 解析 若l 显然在 内存在无数条直线与l垂直 若l 过l作平面 l 则l l 在 内存在无数条直线与l 垂直 从而在 内存在无数条直线与l垂直 若l与 斜交 设交点为a 在l上任取一点p 过p作pq 垂足为q 在 内存在无数条直线与aq垂直 从而存在无数条直线与直线pa 即l 垂直 2 过一点和已知平面垂直的直线条数为 a 1条b 2条c 无数条d 不能确定 答案 a 解析 已知 平面 和一点p 求证 过点p与 垂直的直线只有一条 证明 不论点p在平面 外或平面 内 设pa 垂足为a 或p 如果过点p还有一条直线pb 设pa pb确定的平面为 且 a 于是在平面 内过点p有两条直线pa pb垂直于交线a 这是不可能的 所以过点p与 垂直的直线只有一条 二 解答题3 09 湖南文 如图 在正三棱柱abc a1b1c1中 ab 4 aa1 点d是bc的中点 点e在ac上 且de a1e 1 证明 平面a1de 平面acc1a1 2 求直线ad和平面a1d