高中数学 4.4三角函数的化简与求值配套课件 理 新人教A版.ppt

第四节三角函数的化简与求值 三年12考高考指数 1 掌握二倍角的正弦 余弦 正切公式 2 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简 求值和恒等式证明 1 三角恒等变换是三角函数式化简与求值以及研究三角函数的图象和性质的基础 是本节的重点 也是高考的热点 2 题型以选择题和填空题为主 与其他知识点交汇则以解答题为主 1 三角恒等变换的基本公式 1 三角函数的基本关系 平方关系 商数关系 倒数关系 sin2 cos2 1 tan cot 1 2 和角 差角公式及二倍角公式 和角公式 二倍角公式 差角公式cos sin tan cos cos sin sin sin cos cos sin 即时应用 1 思考 在两角和与差的正切公式中 若其中一个角为 公式还成立吗 能用二倍角的正切公式计算tan 吗 提示 因为无意义 所以公式都不成立 不能用二倍角公式计算tan 不妨令 则 cot tan 2 化简 解析 原式 答案 2 3 化简 解析 原式 答案 2 公式的逆用与公式的变形 1 公式的逆用和角与差角公式的逆用可以化为一个角的一个三角函数 例如asin bcos 其中tan 2 公式的变形 sin2 tan tan 1 tan tan tan 等 即时应用 1 化简sin cos cos sin 2 计算sin15 cos15 3 若 则tan tan tan tan 解析 1 原式 sin sin 2 原式 3 tan tan 1 tan tan tan tan tan tan 1 答案 三角函数式的无条件求值 方法点睛 三角函数式无条件求值的技巧 1 将题中的切函数化为弦函数 2 熟练运用二倍角公式进行升 降幂变换 3 利用公式asin bcos sin 其中tan 化 角的两种名称为同一名称 4 拆角 把一非特殊角拆成两个特殊角的和与差的形式 展开化简 5 将题中是分式的变形后约分 是整式的变形后产生相消项 例1 求值 1 2012 柳州模拟 4sin235 cos110 tan160 sin70 2 解题指南 1 注意角之间的关系 尽量化为锐角 相同角 切化弦 利用二倍角公式降幂 注意角的变换 2 切化弦 通分 利用公式asin bcos tan 化简分子 利用二倍角公式去掉根号化简分母 规范解答 1 原式 2 2cos70 cos70 sin20 2 cos70 cos70 2 答案 2 2 原式 答案 互动探究 把本例 2 改为 试求其值 解析 原式 反思 感悟 此类题目所给角都是非特殊角 但最后所求值都是确定的 解答此类题目易出现化简 变形方向不明确 式子越变越复杂 或变形不彻底 所得结果中还含有非特殊角的某一函数值的情况 变式备选 求值 解析 原式 三角函数式的条件求值 方法点睛 三角函数式条件求值的一般步骤 1 先化简所求式子 或已知条件 2 观察已知条件与所求式子之间的联系 决定是否对已知条件变形 3 将已知条件 或变形后的结果 代入所求式子 化简求值 提醒 利用条件求值时 要注意条件与所求结论之间的关系 特别是角之间的关系 公式之间的关系 例2 已知 求的值 解题指南 先化简要求的式子 再确定对已知条件的变形方向 然后整体代入求值 或把要求的式子变成已知条件的形式 整体代入求值 规范解答 方法一 即 故原式 方法二 反思 感悟 1 三个式子sin cos sin cos sin cos 根据sin2 cos2 1知一可求二 同时注意根据角的范围判断式子的正负 其中sin cos 的正负可以确定角所在的象限 2 运用整体思想和平方变形的方法是解决此类题的关键 变式训练 已知 求cos4x的值 解析 由已知 得 即 变式备选 1 已知 且 求cos 的值 解析 2 已知 0 且 求2 的值 解析 tan tan 三角函数式的化简与证明 方法点睛 1 三角函数式化简的方法 1 弦切互化 2 异名化同名 3 异角化同角 4 降幂或升幂 2 三角恒等式的证明方法 1 观察等式两边的特点 转化为三角函数式的化简 由左推右 或由右推左 或两边同时推 推出同一个结果 2 证明三角函数条件等式时 观察条件与结论的差异 通过变换 将已知表达式代入得出结论 或通过变换已知条件得出结论 如果这两种方法都证不出来 可采用分析法 如果已知条件含参数 可采用消去参数法 例3 1 化简 2 已知sin 2sin 2 求证 tan 3tan 解题指南 1 分步化简 统一将角转化为 开方时要注意角的范围 2 把已知条件中的角统一到 和 上来 展开化简 弦化切得证 规范解答 1 答案 cos 2 sin 2sin 2 sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin 即 sin cos 3cos sin 即tan 3tan 互动探究 本例 1 中 若 0 试对原式进行化简 2 中若已知tan 3tan 等式sin 2sin 2 成立吗 若成立 试给出证明 若不成立 请说明理由 解析 1 由本例 1 的解答知 原式 0 故原式 cos 2 若已知tan 3tan 则等式sin 2sin 2 成立 因为本例 2 证明的每一步都是可逆的 故等式sin 2sin 2 成立 反思 感悟 三角恒等变换的原则 1 化繁为简 变异角为同角 化非同名函数为同名函数 化高次为低次 化多项式为单项式 化无理式为有理式 2 消除差异 消除已知与未知 条件与结论 左端与右端以及各项的次数 角 函数名称 结构等方面的差异 变式备选 已知 求证 tan2 tan tan 证明 因为 易错误区 三角函数条件求值的误区分析 典例 2011 重庆高考 已知 且 则的值为 解题指南 由题意可求出sin cos 和sin cos 的值 然后化简 整体代入求值 或由已知求出sin2 cos2 的值 再求的值 最后整体代入求值 规范解答 方法一 由题意知 两边平方可得 所以 sin cos 2 1 2sin cos 又 所以sin cos 故 方法二 由已知 得两边平方得 又 sin cos 答案 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 福建高考 若tan 3 则的值