高中数学 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课件 北师大版必修2 .ppt

对直线方程的两点式和截距式的理解及认识 1 直线的两点式体现了两点确定一条直线的思想 其形式为体现了数学的对称美 2 对于适合两点式的直线而言 这两点是任意的 但形式一定要一致 可以写成也可以写成但不能写成 直线方程的两点式和截距式 3 在直线方程的两点式中 由于x1 x2且y1 y2 因此它不能表示与两坐标轴垂直的直线 当x1 x2 y1 y2时 直线方程为x x1 0 当y1 y2 x1 x2时 直线方程为y y1 0 4 两点式方程若变形为 y y1 x2 x1 x x1 y2 y1 则此方程不再受x1 x2且y1 y2的限制 可表示过 x1 y1 x2 y2 的所有直线 5 特别地 当a b两点为直线与坐标轴的交点 非原点 时 两点式可化为截距式 所以截距式是两点式的特殊情况 直线方程的两点式万万不能写成的形式 例1 三角形的顶点是a 5 0 b 3 3 c 0 2 求这个三角形三边所在直线方程 审题指导 由题目条件知 已知两点求直线方程 代入直线方程的两点式或截距式可求得结果 规范解答 直线ab过a 5 0 b 3 3 两点 由两点式得 整理得3x 8y 15 0 直线bc过c 0 2 b 3 3 两点 由两点式得 整理得 5x 3y 6 0 直线ac过a 5 0 c 0 2 两点 由截距式得 整理得 2x 5y 10 0 变式训练 已知直线l在x轴 y轴上的截距分别为 4和8 求直线l的方程 并求其斜率 解题提示 利用截距式写出方程 再化成斜截式求其斜率 解析 由直线方程的截距式可得 直线方程为化成斜截式为y 2x 8 所以直线的斜率为2 1 直线方程形式的选择技巧一般地 直线方程形式的选择技巧如下 1 已知一点通常选择点斜式 2 已知斜率通常选择斜截式或点斜式 3 已知截距通常选择截距式 4 已知两点通常选择两点式 直线方程的几种形式 2 直线方程的几种形式的转化 选择直线的点斜式和斜截式时 应考虑斜率不存在的情形 选择截距式时 应考虑零截距及与坐标轴平行的情形 选择两点式时 应考虑与坐标轴平行的情形 例2 根据下列条件写出直线方程 并化为一般式方程 1 斜率为2 且在y轴上的截距为1 2 经过点p1 2 1 p2 3 2 两点 3 在x轴 y轴上的截距分别为3 5 4 经过点p 4 3 且垂直于x轴 审题指导 根据题意灵活选择直线的方程形式 1 斜截式 2 两点式 3 截距式 4 数形结合求解 规范解答 1 由题意知 直线的斜截式方程为y 2x 1 化为一般式方程为2x y 1 0 2 由题意知 直线的两点式方程为化为一般式方程为x 5y 7 0 3 由题意知 直线的截距式方程为化为一般式方程为5x 3y 15 0 4 由题意知 直线方程为x 4 化为一般式方程为x 4 0 变式训练 已知直线x 2y 4 0 1 把该直线化成斜截式 并求其斜率 2 把该直线化成截距式 并求其在坐标轴上的截距 解题提示 1 化直线为y kx b的形式 2 化直线为的形式 解析 1 把该直线化成斜截式 得所以该直线的斜率为 2 把该直线化成截距式 得故直线在x轴上的截距为4 在y轴上的截距为2 对直线方程一般式的应用的认识 1 直线方程的一般式同二元一次方程ax by c 0 a b不同时为零 之间是一一对应关系 因此研究直线的几何性质完全可以借助于方程的观点来研究 这实际上也是解析几何的思想所在 用方程的思想来研究几何问题 2 可以借助于直线方程的五种形式间的互化 求解一些定值问题 范围问题等 一般式的综合应用 例3 设直线l的方程为 a 1 x y 2 a 0 a r 若直线l不过第三象限 求a的取值范围 审题指导 首先把直线l化成斜截式 由直线l不过第三象限 求a的取值范围 规范解答 把直线l化成斜截式 得y 1 a x a 2 因为直线l不过第三象限 故该直线的斜率小于等于零 且直线在y轴上的截距大于等于零 即解得a 1 所以a的取值范围为 1 互动探究 若把本例中的条件 直线l不过第三象限 换成 直线l与两坐标轴围成的面积为2 其余条件不变 求a的值 解题提示 求直线l在两坐标轴上的截距 利用面积为2求a的值 解析 由题意知a 1 令x 0 得y a 2 令y 0 得所以直线l与两坐标轴围成的面积解得a 0或a 8 直线方程的实际应用常常与实际应用题相结合 它涉及到直线方程的求法 函数建模思想 消元思想 二次函数最值求解等知识的综合应用 重要的是通过解析法的思想 把实际问题转化成数学问题来求解 直线方程的实际应用 例 某房地产公司要在荒地abcde上划出一块长方形地面 不改变方位 拟建造一幢八层的公寓楼 问如何设计才能使公寓楼占地面积最大 并求出最大面积 精确到1m2 审题指导 通过读题可发现 先应转化成代数问题 也就是建系 设点 列出关于未知量的函数式 再求解 规范解答 建立如图所示的平面直角坐标系 则线段ab的方程为设点p的坐标为 x y 则 公寓占地面积为s 100 x 80 y 当x 5时 此时点p的坐标为故以dc de为邻边 长为100 5 95 m 宽为作长方形c de p时 公寓楼的占地面积最大 最大面积约为6017m2 变式备选 如图所示 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李 如果超过规定重量 则需要购买行李票 行李票费用y 元 与行李重量x 千克 之间的关系用直线ab的方程表示 1 求直线ab的方程 2 旅客最多可免费携带多少千克行李 解析 1 由图知点a 60 6 b 80 10 由直线方程的两点式或斜截式可求得直线ab的方程是x 5y 30 0 2 由 1 知x 5y 30 0 令y 0 得x 30 即旅客最多可免费携带30千克行李 典例 12分 2011 泰安高一检测 求经过点 4 3 且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程 审题指导 所求直线在两坐标轴上的截距绝对值相等 故可设直线方程的截距式 需注意 零截距 的情形 规范解答 设直线在x轴与y轴上的截距分别为a b 1 当a 0 b 0时 设直线方程为 2分 直线经过点 4 3 4分 a b 或 6分 直线方程为x y 1 0或x y 7 0 8分 2 当a b 0时 则直线经过原点及 4 3 直线方程为3x 4y 0 10分综上 所求直线方程为x y 1 0或x y 7 0或3x 4y 0 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 2011 海南高二检测 直线ax by c 0 ab 0 在两坐标轴上的截距相等 则满足的条件是 a a b b a b c a b且c 0 d a b且c r 解析 选d 当c 0时 直线过原点 显然成立 当c 0时 令x 0得令y 0得由得a b 综上所述a b且c r 1 下列说法正确的是 是表示过点 x1 y1 且斜率为k的直线 b 在x轴和y轴上的截距分别是a b的直线方程为 c y kx b与y轴的交点到原点的距离是b d 不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式 解析 选d a不正确 因为该方程不包含点 x1 y1 b不正确 该方程不包括截距为零的直线 c不正确 截距不与距离完全相同 只有当b 0时 y kx b与y轴的交点到原点的距离是b 2 直线x 2y 4 0的截距式方程为 解析 选d 依据截距式方程的形式得直线x 2y 4 0的截距式方程为选d 3 过点a 1 2 b 1 4 的直线方程为 解析 因为a b两点的横坐标相等 故直线方程为x 1 答案 x 1 4 直线ax by c 0 当a 0 b 0 c 0时 此直线必经过第 象限 解析 把直线ax by c 0化成斜截式得因为a 0 b 0 c 0 所以故直线必经过第一 二 三象限 答案 一 二 三 5 设直线l的方程为 m2 2m 3 x 2m2 m 1 y 2m 6 根据下列条件分别求m的值 1 在x轴上的截距为1 2 斜率为1 3 经过定点p 1 1 解析 1 直线过点 1 0 m2 2m 3 2m 6 解得m 3或m 1 当m 3时 l的方程为 y 0 不合题意 当m 1时 l的方程为2x y 2 0 符合题意 m 1 2 由斜率为1 得解得m 1或当m 1时 m2 2m 3 0且2m2 m 1 0 不合题意 当时 l的方程为合题意 3 由直线过定点p 1 1 得 m2 2m 3 2m2 m 1 2m 6 解得或m 2 一 选择题 每题4分 共16分 1 2011 厦门高二检测 直线x y 5 0的倾斜角为 a 45 b 60 c 120 d 135 解析 选a 直线x y 5 0的斜率k 1 由tan 1可知 45 2 2011 聊城高一检测 若mx ny 12 0在x轴和y轴上的截距分别是 3和4 则m和n的值分别是 a 4 3 b 4 3 c 4 3 d 4 3 解析 选c 由题意可知 直线过点 3 0 0 4 代入方程求解得m 4 n 3 选c 3 直线ax by ab 0 ab 0 在两坐标轴上的截距之和是 a a b b a b c a b d 只能恒为正数 解析 选a 把直线ax by ab 0 ab 0 化成截距式得在两坐标轴上的截距之和为a b 4 直线l过点a 1 1 和b 2 5 且点c 1005 b 也在直线l上 则b的值为 a 2008 b 2009 c 2010 d 2011 解析 选d 方法一 由题意可知kab kac b 2011 方法二 由两点式得 直线l的方程为即y 2x 1 又点c 1005 b 在l上 b 2 1005 1 2011 二 填空题 每题4分 共8分 5 2011 南京师大高二检测 若一直线经过点p 1 2 且斜率与直线y 2x 3的斜率相等 则该直线的方程是 直线方程的一般式 解析 直线y 2x 3的斜率k 2 又所求直线过点p 1 2 所求直线的方程为y 2 x 1 2 即2x y 4 0 答案 2x y 4 0 6 设直线l的方程为x y 2 a 0 若a 2 则直线l不经过第 象限 解析 由x y 2 a 0得y x 2 a 令x 0得y 2 a a 2 2 a 0 可知l不经过第二象限 答案 二 三 解答题 每题8分 共16分 7 求经过a 2 3 b 4 1 的直线的两点式方程 并把它化成点斜式 斜截式和截距式 解析 直线过a 2 3 b 4 1 两点式方程为即 点斜式方程为斜截式方程为截距式方程为 8 2011 海口高二检测 已知直线l在两坐标轴上的截距之和为12 又直线l经过点 3 4 求l的方程 解析 由题可设l的方程为依题意得 解得或所以所求的直线方程为或即4x y 16 0或x 3y 9 0 方法技巧 揭秘与截距有关的问题的求解策略1 采用截距式求直线方程时 要注意考虑 截距为零 的情况 2 一般地 在截距非零的情况下 可设方程为 ab 0 在截距为零的情况下 由于直线过原点一般可设y kx 3 当题目中出现 截距相等 截距互为相反数 或 截距间成倍数关系 等条件时 一般要先讨论截距是否为零 然后再转化成2 4 求解有关直线与坐标轴围成的三角形的面积问题时 常把直线的方程设为截距式 挑战能力 10分 已知点a 4 0 b 0 2 动点p x y 在线段ab上运动 1 求xy的最大值 2 在 1 中xy取最大值的前提