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文档简介
第七节几何概型 第十章 与长度有关的几何概型 例1 1 一只蚂蚁在三边长分别为3 4 5的三角形的边上爬行 某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为 2 已知m 1 7 则函数f x 4m 1 x2 15m2 2m 7 x 2在实数集r上是增函数的概率为 解析 1 如图 该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的长度为 1 2 3 6 故所求概率为p 2 f x x2 2 4m 1 x 15m2 2m 7 依题意 知f x 在r上恒大于或等于0 所以 4 m2 6m 8 0 得2 m 4 又m 1 7 所以所求的概率为 点评 求与长度有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度 然后求解 确定点的边界位置是解题的关键 变式探究 1 1 在长为12cm的线段ab上任取一点c 现作一矩形 邻边长分别等于线段ac cb的长 则该矩形面积小于32cm2的概率为 2 设f x x2 2x 3 x r 则在区间 上随机取一个实数x 使f x 0的概率为 解析 1 设ac x cm 00 解得0 x 4或8 x 12 由几何概型概率公式 得概率为p 故选c 2 由f x x2 2x 3 0 得 1 x 3 所以f x 0的概率为p 故选b 答案 1 c 2 b 与面积有关的几何概型 例2 在可行域内任取一点 规则如程序框图所示 求能输出数对 x y 的概率 点评 求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形 然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率 这类问题常与线性规划知识联系在一起 变式探究 2 1 如图 边长为2的正方形内有一不规则阴影部分 随机向正方形内投入200粒芝麻 恰有60粒落入阴影部分 则不规则图形的面积为 2 如图 设t是直线x 1 x 2与函数y x2的图象在x轴上方围成的直角梯形区域 s是t内函数y x2图象下方的点构成的区域 图中阴影部分 向t中随机投一点 则该点落入s中的概率为 解析 1 随机向正方形内投入200粒芝麻 恰有60粒落入阴影部分 则样本估计为 由此可以估计不规则图形的面积为 故选c 答案 1 c 2 b 与体积有关的几何概型 例3 在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中 点o为底面abcd的中心 在正方体abcda1b1c1d1内随机取一点p 则点p到点o的距离大于1的概率为 解析 依题意知 这是一个与体积有关的几何概型问题 在正方体abcda1b1c1d1内随机取一点p 因点p到点o的距离大于1 因此点p应在以o为球心 以1为半径的半球之外 但又在正方体内 设所求的概率为p a 则p a 故选b 点评 与体积有关的几何概型的概率问题 可根据题意列出条件 找出试验的全部结果构成的空间图形区域及事件a构成的空间图形区域 这一过程通常要用到立体几何的有关知识与公式 变式探究 3 2013 南京模拟 已知正三棱锥sabc的底面边长为4 高为3 则在正三棱锥内任取一点p 使得vpabc vsabc的概率是 几何概型的实际应用题 例4 甲 乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头 它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的 1 如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时 求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率 2 如果甲船的停泊时间为4小时 乙船的停泊时间为2小时 求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率 思路点拨 将两艘船的到达时间分别设为x y 依据题设条件得到关于x y的不等式 在坐标系中表示区域 用面积关系求得概率 解析 1 设甲 乙两船到达时间分别为x y 则0 x4或y x 4 如图1 作出区域 设 两船无需等待码头空出 为事件a 则p a 2 当甲船的停泊时间为4小时 两船不需等待码头空出 则满足x y 2或y x 4 设在上述条件时 两船不需等待码头空出 为事件b 点评 几何概型的实际应用 关键是将实际问题转化为几何概型的哪一种类型 如 约会问题 就是根据两人的时间转化为平面区域的面积问题 变式探究 4 2013 四川卷 节日前夕 小李在家门前的树上挂了两串彩灯 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立 且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生 然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮 那么这两串彩灯同时通电后 它们第一次闪亮的时刻相
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