高考数学新一轮总复习 7.7 立体几何中的向量方法考点突破课件（Ⅰ）理.ppt

第7课时立体几何中的向量方法 平行与垂直 理科 一 考纲点击1 理解直线的方向向量与平面的法向量 2 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直 平行关系 3 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 二 命题趋势1 从考查内容看 本节是高考的必考内容 主要考查利用空间向量及其坐标运算解决直线 平面间的平行 垂直关系问题 2 从考查形式看 主 客观题型均可能出现 而解答题中主要是与求角问题结合 侧重考查平行 垂直关系的判定 属中档题 有四个命题 若p xa yb 则p与a b共面 若p与a b共面 则p xa yb 若 x y 则p m a b共面 若p m a b共面 则 x y 其中真命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 对点演练 答案 b 2 用向量证明空间中的平行关系 1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 或l1与l2重合 2 设直线l的方向向量为v 与平面 共面的两个不共线向量v1和v2 则l 或l 存在两个实数x y 使v xv1 yv2 3 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l 或l 4 设平面 和 的法向量分别为u1 u2 则 v1 v2 v u u1 u2 两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1 1 0 1 v2 2 0 2 则l1与l2的位置关系是 解析 v2 2v1 v1 v2 又l1与l2不重合 l1 l2 答案 平行 对点演练 3 用向量证明空间中的垂直关系 1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 v1 v2 v1 v2 0 2 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l v u 3 设平面 和 的法向量分别为u1和u2 则 u1 u2 u1 u2 0 1 若平面 垂直 则下面可以作为这两个平面的法向量的是 a n1 1 2 1 n2 3 1 1 b n1 1 1 2 n2 2 1 1 c n1 1 1 1 n2 1 2 1 d n1 1 2 1 n2 0 2 2 解析 两个平面垂直时其法向量也垂直 只有选项a中的两个向量垂直 答案 a 对点演练 2 利用空间向量解决立体几何中的平行问题时应注意的问题 1 证明两条直线平行 只需证明这两条直线的方向向量是共线向量 但要注意说明这两条直线不共线 2 证明线面平行的方法 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 但要说明直线不在平面内 证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线 也要说明直线不在平面内 利用共面向量定理 即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量 同时要注意强调直线不在平面内 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 2bc e f e1分别是棱aa1 bb1 a1b1的中点 求证 ce 平面c1e1f 题型一利用空间向量解决空间的平行问题 归纳提升 用向量证明线面平行的方法有 1 证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直 2 证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 3 证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示 1 如图所示 平面pad 平面abcd abcd为正方形 pad是直角三角形 且pa ad 2 e f g分别是线段pa pd cd的中点 求证 pb 平面efg 针对训练 证明 平面pad 平面abcd且abcd为正方形 ab ap ad两两垂直 以a为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系a xyz 则a 0 0 0 b 2 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 e 0 0 1 f 0 1 1 g 1 2 0 如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd 底面abcd是菱形 ab 2 bad 60 1 求证 bd 平面pac 2 若pa ab 求pb与ac所成角的余弦值 3 当平面pbc与平面pdc垂直时 求pa的长 题型二利用空间向量解决空间的垂直问题 归纳提升 证明线面平行和垂直问题 可以用几何法 也可以用向量法 用向量法的关键在于构造向量 再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理 若能建立空间直角坐标系 其证法较为灵活方便 2 如图所示 已知直三棱柱abc a1b1c1中 abc为等腰直角三角形 bac 90 且ab aa1 d e f分别为b1a c1c bc的中点 求证 1 de 平面abc 2 b1f 平面aef 针对训练 2012 福建 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e为cd的中点 1 求证 b1e ad1 2 在棱aa1上是否存在一点p 使得dp 平面b1ae 若存在 求ap的长 若不存在 说明理由 题型三利用空间向量解决探索性问题 归纳提升 对于 是否存在 型问题的探索方式有两种 一种是根据条件作出判断 再进一步论证 另一种是利用空间向量 先设出假设存在点的坐标 再根据条件求该点的坐标 即找到 存在点 若该点坐标不能求出 或有矛盾 则判定 不存在 3 在四棱锥p abcd中 pd 底面abcd 底面abcd为正方形 pd dc e f分别是ab pb的中点 1 求证 ef cd 2 在平面pad内求一点g 使gf 平面pcb 并证明你的结论 针对训练 满分指导 利用向量证明空间的位置关系 1 求证 ac sd 2 若s