湘教版高中数学选修2-2《4.3.2 函数的极大值和极小值》ppt课件.ppt

课标要求 1 了解极大 小 值的概念 结合图象 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2 能利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值 极小值 4 3 2函数的极大值和极小值 如果不等式对一切x u v 成立 就说函数在x c处取得极大 小 值 称c为f x 的一个极大 小 值点 为f x 的一个极大 小 值 极大值 极小值统称 极大值点和极小值点统称为 自学导引 1 f c f x 或f c f x f c f c 极值点 2 如果函数f x 在某个区间内有导数 求极值的一般方法为 1 求导数f x 2 求f x 的驻点 即求的根 3 检查f x 在驻点左右的符号 如果在驻点左侧附近为 右侧附近为 那么函数y f x 在这个驻点处取得极大 小 值 f x 0 正 负 负 正 在一个给定区间上 函数的极值有怎样的情形 提示在一个给定的区间上 函数可能有若干个极值点 也可能不存在极值点 函数可以只有极大值 没有极小值 或者只有极小值没有极大值 也可以既有极大值 又有极小值 极大值不一定比极小值大 极小值也不一定比极大值小 自主探究 关于极值 如下叙述正确的是 A 若f x0 0 则f x0 是极值B 对于函数f x 极大值和极小值是唯一的C 极大值总比极小值大D 极大值可能是最大值解析比如y x2 极大值0也是最大值 答案D 预习测评 1 已知函数f x x R 且在x 1处f x 存在唯一的极小值 则 A 当x 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0C 当x 1 时 f x 0D 当x 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 2 解析 f x 在x 1处存在极小值 x1时 f x 0 故选C 答案C 函数y x3 27x的极大值是 解析 y 3x2 27 令y 0 得x 3 又y 3 x 3 x 3 y 0 x3 y 0 3 x 3 故x 3是函数的极大值点 y极大值 f 3 54 答案54 3 函数f x ax3 bx在x 1处有极值 2 则a b的值分别为 解析因为f x 3ax2 b 所以f 1 3a b 0 又x 1时有极值 2 所以a b 2 由 解得a 1 b 3 答案1 3 4 1 函数f x 在点x0及其附近有定义是指在点x0及其左 右邻域都有意义 2 按定义 极值点xi是区间 a b 内部的点 如图 不会是端点a b 要点阐释 1 函数极值概念的理解 3 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在区间上单调的函数没有极值 4 极大值与极小值没有必然的大小关系 即极大值不一定比极小值大 极小值不一定比极大值小 5 不可导函数也可能有极值点 例如函数y x 它在点x 0处不可导 但x 0是函数的极小值点 即函数f x 在极值点处不一定存在导数 6 可导函数的极值点一定是它导数为零的点 反之 函数的导数为零的点不一定是该函数的极值点 因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件 其充分条件是这点两侧的导数异号 7 函数f x 在 a b 上有极值的话 它的极值点的分布是有规律的 如上图 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点 同样 相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 一般地 当函数f x 在 a b 上连续且有有限个极值点时 函数f x 在 a b 内的极大值点和极小值点是交替出现的 1 确定函数定义域 2 求导数f x 3 求方程f x 0的根即函数驻点 4 检查f x 在f x 0的根左右两侧的符号 若左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 若左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 若左 右同号 则不是极值点 通常利用列表的形式概括表示并进行判断是什么类型的极值点以及极值 2 求可导函数极值的步骤 典例剖析 点评 1 为了便于确定方程f x 0的根是不是极值点 是极大值点还是极小值点 通常借用表格进行 2 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 已知函数f x ax3 bx2 cx a 0 在x 1处取得极值 且f 1 1 1 求常数a b c的值 2 判断x 1是函数的极大值点还是极小值点 试说明理由 并求出数值 题型二求含参数的函数的极值 例2 若函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处取得极值10 试求a b的值 2 如图所示 三次函数f x x3 ax2 x在区间 1 1 上有极大值和极小值 求常数a的取值范围 题型三函数极值的逆用 例3 点评正确理解函数在给定区间上有极值的实质 将函数的极值问题转化为二次方程根的分布问题 这样本题就能迎刃而解 已知函数f x x3 3ax2 3 a 6 x 1既有极大值又有极小值 求实数a的取值范围 解 f x 3x2 6ax 3 a 6 由题意f x 0有两个不等的实根 0 即36a2 36 a 6 0 a2 a 6 0 即a3 3 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1处有极值0 求常数a b的值 误区警示f x0 0是函数f x 在x0处存在极值的必要不充分条件 例4 错因分析根据极值定义 函数先减后增为极小值 先增后减为极大值 此题未验证x 1两侧导数f x 的符号 故求错 纠错心得